等腰三角形常用輔助線專題練習(xí)(含答案)

1、等腰三角形常用輔助線 專題練習(xí)（含答案）1.如圖：已知，點(diǎn)D、E在三角形ABC的邊BC上， AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE。 證明：作AFBC，垂足為F， 則AFDE。 AB=AC，AD=AE又AFBC ，AFDE， BF=CF，DF=EF （等腰三角形底邊上的高與 底邊上的中線互相重合）。 BD=CE.2.如圖，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC邊上任意一點(diǎn)，延長BA到E，使AE=AD， 連接 DE，試判斷直線AF與DE的位置關(guān)系，并說 明理由解：AFDE理由： 延長ED交BC于G， AB=AC，AE=AD B=C，E=ADE B+E=C+ADE ADE=C

2、DG B+E=C+CDG B+E=DGC，C+CDG=BGE， BGE+CGD=180° BGE=CGD=90° EGBC AFBC AFDE解法2：過A點(diǎn)作ABC底邊上的高，再用BAC=D+AED=2ADE, 即CAG=AED,證明AGDE 利用AFBC證明AFDE3.如圖，ABC中，BA=BC,點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)， DFAC交BC于E,求證：DBE是等腰三角形。證明：在ABC中， BA=BC， A=C， DFAC， C+FEC=90°， A+D=90°， FEC=D FEC=BED， BED=D， BD=BE， 即DBE是等腰三角形4. 如圖，A

3、BC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延長線與BC相交于F。求證：DFBC.證明：AB=AC， B=C， 又AD=AE， D=AED，B+D=C+AED， B+D=C+CEF，EFC=BFE=180°× 1/2 = 90°， DFBC;若把“AD =AE”與結(jié)論“DFBC”互換，結(jié)論也成立。若把條件“AB=AC”與結(jié)論“DFBC”互換，結(jié)論依然成立。5. 如圖，AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, A 求證：CM=MD.證明： 連接AC,ADAB=AE,B=E,BC=ED ABCAED(SAS)AC=ADAMCD AMC=AMD=90

4、76; AM=AM (公共邊) RTACMRTADM (HL)CM=DM6.如圖，已知AD是ABC的中線，BE交AC于F, 且AE=EF,求證：BF=AC證明：過B點(diǎn)做AC的平行線,交AD的延長線于G點(diǎn) AD為中線，BD=CD BG平行于AC， FGB=CAF， DBG=ACD 在AFE和GFB中,FGB=CAF，GFB=AFE AFEGFB FGB=FAEAE=EF,FAE=AFEBFG=G GFB為等腰三角形，且BF=BG 在ADC和GBD中 DBG=ACD，BD=CD， BDG=CDA ADCGBD BG=ACBF=AC7.已知：如圖，ABC(ABAC)中，D、E在BC上， 且DE=EC

5、,過D點(diǎn)作DFBA,交AE于點(diǎn)F,DF=AC, 求證：AE平分BAC證明：延長AE，過D作DMAC交AE延長線于M M=1,C=2 在DEM與CEA中 M=1,C=2, DE=CE DEMCEA DM=CA 又DF=CA,DM=DF,M=3 ABFD,3=4,4=1 AE平分BAC8. 已知：如圖，ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)D,在 延長線上取一點(diǎn)E,連接DE交BC于點(diǎn)F,若F是DE中點(diǎn)。求 證：BD=CE證明：過D作DFAC交BC于F， DFAC（已知）， DFC=FCE，DFB=ACB（平行線的性質(zhì)） AB=AC（已知）， B=ACB（等邊對(duì)等角）， B=DFB（等量代換）， BD

6、=DF（等角對(duì)等邊）， BD=CE（已知）， DF=CE（等量代換）， DFC=FCE， DGF=CGE（已證），DFGECG（AAS），DG=GE（對(duì)應(yīng)邊相等）9. 已知：如圖，在ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一點(diǎn)， BECB 交CD于E,ACDC, 求證：BE=1/2BC證明：過點(diǎn)A作AFBC交BC于點(diǎn)FABC是等腰三角形，AB=AC，ABF=ACF（1） AF是BC上的垂直平分線，AFBC，BF=CF=BC/2（2） BEBC，BE/AF DBE=BAF（3） CBE=90° DBE+ABF=90°=ACF+ECB（4） 由（1）和（4）知道：DBE=ECB（

7、5） 由（3）和（5）知道：BAF=ECB 又AB=CE，BFA=EBC=90° RTBFARTEBC（角角邊） BF=EB（6） 由（2）和（6）知道：BE=BC/210.如圖，AD為ABC的角平分線，M為BC的中點(diǎn)，MEDA交 BA延長線于E, 求證：BE=CF=1/2(AB+AC)證明： （1）延長EM，使EM=MG，連接CG點(diǎn)M是BC的中點(diǎn) ,BM=CM BME=CMG BMECMG（SAS)BE=CG,E=GAD平分BAC ,BAD=CAD MEDA,BAD=E，CAD=AFE E=AFE， AE=AF AFE=CFG ， G=CFG CF=CG ， BE=CG， BE=C

8、F(2)BE=AB+AE，2BE=2AB+2AECF=BE，AC=CF+AF，AE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) AC=AF+CF 2BE=AB+AC BE=CF=1/2(AB+AC)11.如圖，已知ABC中，ADBC,ABC=2C. 試說明AB+BD=CD的理由。 證明： 在DC上截取DE=BD，連接AE ADBC,ADB=ADE=90° AD=AD RTADBRTADE（SAS) AB=AE ，ABC=AEBAEB=C+EAC ABC=2C（已知） EAC=CAE=CE ，AB=CE CD=CE+DE ，AB+BD=CD

9、12.已知：如圖，AD是ABC的角平分線，且AC=AB+BD. 求證：B=2C. 證明：在AC上作AEAB，連結(jié)DE AC=AB+BDAE+CE ,BDCE AD是角平分線 ,BADEAD 又AB=AE，AD=AD ABDEAD BAED，BDDECEEDC=C，AED2C即:B2C13.如圖所示，已知在ABC中AD是A的平分線，且B=2C. 求證：AC=AB+BD.證明：延長AB到E，使AC=AE，連接DEAD是BAC的角平分線 BAD=DAC（角平分線的定義） 公共邊AD=AD AC=AE BAD=DAC ACDAED (SAS) ACB=DEA（全等三角形形的對(duì)角相等） BDE+DEB=

10、CBA CBA=2ACB ACB=DEA BDE=DEA BD=BE（等角對(duì)等邊） AB+BE=AE,AC=AE,BD=BEAB+BD=AC14.如圖，點(diǎn)E是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB, ABC外一點(diǎn)D滿 足BD=AC,且BE平分BDE。 求BDE的度數(shù) 解：連接CE， AC=BC，AE=BE，CE為公共邊， BCEACE， BCE=ACE=30° 又BD=AC=BC，DBE=CBE，BE為公共邊， BDEBCE， BDE=BCE=30°15.如圖，已知在ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一點(diǎn)，并且 EB=BD=DE. 求證：BD+DC=AD. A提示：證明ABEBCD即可 E B C16.已知：如圖，ABC中，C=90°，CMAB于M,AT平分 BAC交CM于D,交BC于T,過D作DEAB交BC于E， 求證：CT=BE證明1： 作DFBC交AB于F,則:AFD=B=ACD, AT為BAC的角平分線,AD為公共邊 AFDACD,AF=AC 連接TF AF=AC, AT為BAC的角平分線,AT為公共邊 ACTAFT, TFAF,TFCM DFCTBE,TFCD,DEBF 四邊形CTFD和四邊形BEDF都是平行四邊形 CT=D