第9章習(xí)題答案

1、第4篇電磁學(xué)第9章靜電場9.1基本要求掌握靜電場的電場強度和電勢的概念以及電場強度疊加原理和電勢疊加原理。掌握電勢與電場強度的積分關(guān)系。能計算一些簡單問題中的電場強度和電勢。了解電場強度與電勢的微分關(guān)系。理解靜電場的規(guī)律：高斯定理和環(huán)路定理。理解用高斯定理計算電場強度的條件和方法。了解導(dǎo)體的靜電平衡條件，了解介質(zhì)的極化現(xiàn)象及其微觀解釋。了解各向同性介質(zhì)中和之間的關(guān)系。了解介質(zhì)中的高斯定理。了解電容和電能密度的概念。9.基本概念電場強度：試驗電荷所受到的電場力與之比，即電位移：電位移矢量是描述電場性質(zhì)的輔助量。在各向同性介質(zhì)中，它與場強成正比，即電場強度通量：電位移通量:電勢能：（設(shè)）電勢：（設(shè)

2、）電勢差：場強與電勢的關(guān)系（）積分關(guān)系（）微分關(guān)系電容：描述導(dǎo)體或?qū)w組（電容器）容納電荷能力的物理量。孤立導(dǎo)體的電容：；電容器的電容：靜電場的能量：靜電場中所貯存的能量。電容器所貯存的電能：電場能量密度：單位體積的電場中所貯存的能量，即9.基本規(guī)律庫侖定律：疊加原理（）電場強度疊加原理：在點電荷系產(chǎn)生的電場中任一點的場強等于每個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的場強的矢量和。（）電勢疊加原理：在點電荷系產(chǎn)生的電場中，某點的電勢等于每個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。高斯定理：真空中靜電場內(nèi)，通過任意閉合曲面的電場強度通量等于該曲面所包圍的電量的代數(shù)和的1/e 0倍。在有電介質(zhì)的靜電場中,

3、通過任意閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和.（為閉合曲面內(nèi)的自由電荷）高斯定理表明靜電場是有源場，電荷是產(chǎn)生靜電場的源。環(huán)路定理：，說明靜電場是保守場。導(dǎo)體的靜電平衡條件（）導(dǎo)體內(nèi)部的場強處處為零；（）導(dǎo)體表面的場強處處與導(dǎo)體表面垂直。靜電平衡時導(dǎo)體上的電荷分布規(guī)律：電荷只分布在導(dǎo)體的表面，體內(nèi)凈電荷為零。靜電平衡時導(dǎo)體的電勢分布規(guī)律：導(dǎo)體為等勢體，其表面為等勢面。9.學(xué)習(xí)指導(dǎo)電場強度的計算方法（）根據(jù)點電荷的場強公式，利用疊加原理，求和（場源為點電荷系）或積分（場源為帶電體）。在應(yīng)用此法時，應(yīng)盡量采用投影式，將矢量運算化成標(biāo)量運算。（）利用高斯定理來計算。這種方法只有當(dāng)場

4、源的電荷分布具有某種對稱性時才較為簡便。因此，利用此法時，首先要判別場源電場是否具有某種對稱性，其次是要選好高斯面：（）要使待求的場點位于高斯面上；（）要使高斯面上的處處相等，或使高斯面上某些部分的為零，另一些部分的相等。（）已知電勢分布，利用場強與電勢的微分關(guān)系來計算。電勢的計算方法（）根據(jù)點電荷的電勢公式，利用疊加原理，求和（場源為點電荷系）或積分（場源為帶電體）。（）利用電勢的定義式來計算。電容的計算：先假定電容器上帶有電荷，再求其場強和電勢差，最后代入電容的定義式。 介質(zhì)中場強的計算:(1)確定帶電體和電介質(zhì)是否具有對稱性.(2)根據(jù)場的對稱性,選取合適的高斯面.(3) 利用介質(zhì)中的高

5、斯定理求出的分布.(4) 由,求出的分布.5電場能量的計算：先要弄清場強的空間分布，找出電能密度的表達式，再代入公式求積分。以上僅為一般情況，實際問題尚需根據(jù)具體情況靈活處理。例1 長米的直導(dǎo)線均勻地分布著線密度為的電荷。求：在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點相距處點的場強。例1圖解 以導(dǎo)線中心為坐標(biāo)原點，如圖所示建立坐標(biāo)系。線元在點產(chǎn)生的電場強度為（方向如圖所示）由于對稱性，其疊加場強沿軸正方向，水平方向場強相互抵消。在點的場強為 方向沿y軸正方向。當(dāng)導(dǎo)線l為無限長時，由上式可求得場強為。例2圖例2 一帶電細線彎成半徑為的半圓形，其電荷線密度為,式中為半徑與軸所成的夾角,為一常數(shù)，如圖所示，試求

6、環(huán)心O處的電場強度。解 在處取電荷元，其電量為它在O點處產(chǎn)生的場強為在 x、y 軸上的兩個分量， 所以 例3 一半徑為R的無限長帶電細棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為.現(xiàn)取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出電勢分布曲線.解 無限長均勻帶電細棒電荷分布呈軸對稱,其電場和電勢的分布也呈軸對稱分布.取高度為,半徑為且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面,由高斯定理知當(dāng)時 例3 圖得 當(dāng)時 得 取棒表面為零電勢,空間電勢的分布為當(dāng)時 當(dāng)時 例3圖是電勢隨空間位置的分布曲線.9.5 習(xí)題詳解9.1 某電場的電場線分布情況如圖所示，一負電荷從M點移到N點。有人根據(jù)這個圖作出下列幾點結(jié)論，其中哪點是正確的？

7、（ ）習(xí)題9.1圖（A）電場強度EM < EN （B）電勢VM < VN（C）電勢能EPM < EPN （D）電場力的功W > 0。解：正確答案（C）。電場線的疏密程度反映了場強的強弱，由圖可見，M點處電場線密度較N點處電場線密度大，故有EM > EN ；電場線的性質(zhì)告訴我們，沿著電場線方向電勢是逐點降低的，應(yīng)有VM > VN ；電勢能，故，答案（C）正確；電場力作功。9.2 下列敘述中正確的是( )（A）等勢面上各點的場強大小一定相等（B）場強指向電勢降落的方向（C）電勢高處，電勢能也一定高（D）場強大處，電勢一定高 解：正確答案（B）。等勢面上各點只有電

8、勢相等的結(jié)論，沒有各點場強大小相等的結(jié)論；場強方向是沿著電場線的方向，也就是電勢降落的方向，答案（B）正確；電勢能，電勢能與和均有關(guān)，若電勢高，而為負電荷時，其電勢能就低；場強大處，只能反映該處電場線密度大，不能說明該處電場一定高，比如，在負點電荷的電場中，靠近點電荷處的電場線密度大，場強大，但是電勢卻低。9.3 半徑為R的均勻帶電球面，總電量為Q，如圖所示設(shè)無窮遠處的電勢為零，則球內(nèi)距離球心為r的P點處的電場強度的大小和電勢為( )習(xí)題9.3圖OPQRr（A）E0，（B）E0，（C），（D） , 解：正確答案（B）。 由電荷分布的球面對稱性可知，其電場分布亦具有球面對稱性，即以O(shè)點為球心的球

9、面上各點電場強度大小均相等。由高斯定理可得P點場強E=0,帶點球面外電場分布為，故P點電勢9.4下面列出的真空中靜電場的電場強度公式，試判斷哪種表述是正確的（ ） (A) 點電荷 周圍空間的電場強度為 （ 為點電荷到場點的距離） (B)電荷線密度為 的無限長均勻帶電直線周圍空間的電場強度為 ( 為帶電直線到場點并且垂直于帶電直線的單位矢量) (C)電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面周圍空間的電場強度為 (D)電荷面密度為半徑為的均勻帶電球面外的電場強度為 ( 為球心指向場點的單位矢量) 解:正確答案 （D） （A）中場強表達式，等號左側(cè)是矢量，等號右側(cè)是標(biāo)量，等式不成立；（B）中正確

10、結(jié)果應(yīng)為；（C）中等式兩邊分別是矢量和標(biāo)量，等式不成立；（D）由高斯定理可求得電場強度為習(xí)題9.5圖9.5 如圖所示，閉合面內(nèi)有點電荷，為面上的一點，在面外點有另一電荷q，若將q移到面外另一點處，則下列說法正確的是（ ）（A）面的電場強度通量改變，點場強不變（B）面的電場強度通量不變，點場強改變（C）面的電場強度通量不變，點場強不變（D）面的電場強度通量改變，點場強改變解：正確答案（B） 面內(nèi)的電荷量沒變，故面的電場強度通量不改變，又由于q點的移動，改變了空間電荷的分布，故P點場強要改變。9.6 一個未帶電的空腔導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為R。在腔內(nèi)離球心的距離為d處 (d < R) 固定一電量為q

11、的點電荷，用導(dǎo)線把球殼接地后，再把地線撤去，選無窮遠處為電勢零點，則球心O處的電勢為（ ） (A) 0 (B) (C) (D) 解： 正確答案（D） 由于靜電感應(yīng)，在沒有接地前，球殼內(nèi)表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，外表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷。當(dāng)用導(dǎo)線把球殼接地后，導(dǎo)線中會有負電荷從大地上來，和外表面上的正電荷中和，撤去接地導(dǎo)線后，球殼上只有內(nèi)表面上有感應(yīng)電荷，外表面沒有感應(yīng)電荷。根據(jù)電勢的疊加原理，球心O處電勢為點電荷在該處產(chǎn)生的電勢與球殼上只有內(nèi)表面上感應(yīng)電荷在該處產(chǎn)生電勢的代數(shù)和，故正確答案為(D)。9.7 一正點電荷帶電量q，A、B、C三點分別距離點電荷、。若選B點的電勢為零，則點的電勢為_，點的電勢為_。

12、習(xí)題9.7圖ABC解 習(xí)題9.8圖9.8 在坐標(biāo)原點放一電荷量為的正電荷，它在點（，0）處激發(fā)的電場強度為，現(xiàn)在引入一個電荷量為的負電荷，試問應(yīng)將負電荷放在什么位置_才能使點的電場強度等于零.解 的方向為方向，可知在點產(chǎn)生的場強為方向，大小亦為，由可得，則負電荷應(yīng)該放在點處。9.9 如圖所示，真空中兩個正點電荷 相距 。若以其中一點電荷所在處 點為中心，以 為半徑作高斯球面 ，則通過該球面的電場強度通量 _；若以 表示高斯面外法線方向的單位矢量，則高斯面上 、 兩點的電場強度分別為 _，和 _ 習(xí)題9.9圖 解 由高斯定理得；由電場疊加原理得 ；習(xí)題9.10圖9.10 真空中一半徑為

13、 的均勻帶電球面帶有電荷 ( )如圖所示，在球面上挖取一個非常小的面元 ，假設(shè)挖取面元后不影響其他各點的電荷分布，則挖取 后球心處電場強度的大小 _，其方向為_解 可將球心處的場強，看作是由小面電荷部分產(chǎn)生的場強與球面上其它部分面電荷產(chǎn)生的場強的疊加。在沒有挖之前，球心處場強為零，即，所以，方向由圓心 點指向。9.11 有一平行板空氣電容器，充電后與電源斷開，然后注入相對介電常數(shù)為的均勻 電介質(zhì)。則注入介質(zhì)后，下述各物理量與未注入介質(zhì)前之比分別為：電容器的電容 CC0 _；電容器中的電場強度EE0_；電容器中的電位移DD0_；電容器儲存的能量WW0_-。解 ；9.12 兩個點電荷所帶電荷之和為

14、Q，問它們各帶電荷為多少時，相互之間的作用力最大？解設(shè)其中一個點電荷帶電，則另一個點電荷帶電，兩點電荷之間的庫侖力 由極值條件 ， 得 又因，表明兩個電荷平分時，它們之間的相互作用力最大。9.13 一半徑為的半圓環(huán)上均勻地分布電荷，求環(huán)心處的電場強度.習(xí)題9.13圖 解 在半圓環(huán)上取線元， 其電荷，此電荷可視為點電荷，它在環(huán)心產(chǎn)生電場，因圓環(huán)上電荷對軸呈對稱性分布，電場分布也是軸對稱的，則有，點的合電場強度，其大小由幾何關(guān)系，統(tǒng)一積分變量后，有方向沿軸負方向。習(xí)題9.14圖9.14 兩塊“無限大”的帶電平行電板，其電荷面密度分別為 ()及，如圖所示，試求I、各區(qū)域中的電場強度。解 無限大帶電平

15、面周圍場強大小為，方向由平面垂直向外；無限大帶電平面周圍場強大小為，方向垂直指向帶電平面。因此，兩帶電平面在各區(qū)域產(chǎn)生的合電場強度分別為 ， 方向向右； ， 方向向右； ， 方向向左。9.15 長的直導(dǎo)線上均勻地分布著線密度為的電荷。求在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線近端相距R處P點的場強。 習(xí)題9.15圖 (a)(b)解 如圖(b)所示，取A點為坐標(biāo)原點，向右為x軸正方向。在直導(dǎo)線上任取一線元dx到A點距離為x，帶電線元在點產(chǎn)生的電場強度為而直導(dǎo)線上各段帶電線元在P處產(chǎn)生場強方向相同（沿x軸正方向），故總場強為方向沿x軸正方向。9.16 在半徑為和（）的同心球面上，分別均勻地分布著正電荷和，求場強分布

16、。解 （1）對稱性分析：場強沿徑向；離球心O距離相等處，場強的大小相同?？梢妶鰪娋哂星?qū)ΨQ性，可以用高斯定理求場強。（2）選擇高斯面：選與帶電球面同心的球面作為高斯面。 q2S3R1R2S2S1q1當(dāng)r>R2時，取半徑為r的高斯面S1，如圖所示。由高斯定理有因為場有上述的對稱性，所以解得 當(dāng)R1<r<R2時，取半徑為r的高斯面S2，如圖所示。由高斯定理 因場強有球?qū)ΨQ性，故解出 當(dāng)r<R1時，取半徑為r的高斯面S3，如圖所示。由高斯定理因場強是球?qū)ΨQ的，則有所以 E=0從上面計算的結(jié)果得到場強的分布為9.17如圖所示，AB=2l，弧OCD是以B為中心 、l為半徑的圓，A

17、點有一正電荷，B點有一負電荷,求：（1）O點的場強與電勢，D點的場強與電勢；（2）把單位正電荷從O點沿弧OCD移動到D點，電場力對它做了多少功；（3）把單位負電荷從D點沿AB的延長線移動到無窮遠處，電場力對它做了多少功。習(xí)題9.17圖 C +q -qA B DO 解（1）點場強為正負兩個點電荷產(chǎn)生的場強的疊加 方向沿A指向B。點電勢為正負兩個點電荷產(chǎn)生的電勢的疊加 同理， 方向沿B指向A（2）（3）9.18 在習(xí)題9.15中，求P點的電勢。習(xí)題9.18圖解 如圖所示，取A點為坐標(biāo)原點，向右為x軸正方向。在直導(dǎo)線上任取一線元dx到A點距離為x，帶電線元在點產(chǎn)生的電勢為所有帶電線元在點產(chǎn)生的電勢為

18、9.19一無限長直線，線電荷密度為，如果B點離直線的距離是A點的2.0倍，求A、B兩點之間的電勢差。解 9.20 一根長為L的細棒，彎成半圓形，其上均勻帶電，電荷線密度為，試求在圓心O點的電勢。解 半圓形導(dǎo)線半徑：,O點電勢可由電勢迭加原理求解。在帶電細棒上任意處取線元，所取線電荷元可視作點電荷，該電荷元在圓心處產(chǎn)生的電勢為 帶電細棒在圓心處產(chǎn)生的電勢為 9.21如圖所示，在XY平面內(nèi)有與Y軸平行、位于x= a/2和x=- a/2處的兩條無限長平行的均勻帶電細線，電荷密度分別為和，求Z軸上任一點的電場強度。 習(xí)題9.21圖圖（b）(a)解 過Z軸上任一點(0，0，z)分別以兩條帶電細線為軸作單

19、位長度的圓柱形高斯面，如圖（b）所示，按高斯定理求出兩帶電直線分別在該處產(chǎn)生的場強大小為方向如圖所示，按場強疊加原理，該處合場強的大小為 方向如圖所示，或用矢量表示9.22 如圖所示，一半徑為 、長度為 的均勻帶電圓柱面，電荷面密度為 。試求端面處軸線上 點的電場強度。      習(xí)題9.22圖(a)(b)解 取底面圓心處為坐標(biāo)原點， 軸沿軸線向上為正。在距 點為 處的圓柱面上取高度為 的圓環(huán)，其上電荷為            

20、;                        小圓環(huán)在 點產(chǎn)生的電場強度大小為                         

21、0;         方向沿軸正方向。由于柱面上所取各小圓環(huán)在 點產(chǎn)生的電場強度方向均沿軸正方向，所有小圓環(huán)在 點產(chǎn)生的電場強度的疊加即為帶電柱面在 點產(chǎn)生的電場強度，其大小為                            

22、;                                       電場強度方向沿 軸正向。          

23、60;        9.23 如圖所示，在真空中有一電荷面密度為 的無限大帶電平面，考察距離平面 處的電場強度，其大小的一半是由平面上半徑為 的圓周內(nèi)的電荷所激發(fā)的試求該圓的半徑習(xí)題9.23圖解 電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面在任意點的電場強度大小為                       

24、;               以圖中 點為圓心，取半徑為 的環(huán)形面積，其電荷為                             它在距離平面為 的一點處產(chǎn)生的電場強度 &

25、#160;                                           則半徑為 的圓面積內(nèi)的電荷在該點的電場強度為   &#

26、160;                              由題意,令 ，得到             9.24 求習(xí)題9.16中電勢的分布 S1 習(xí)題9.24圖解 根據(jù)場

27、強分布，可以從電勢的定義出發(fā)求出空間的電勢分布當(dāng)r>R2時當(dāng)R1<r<R2時當(dāng)r<R1時9.25 半徑分別為 1.0 cm與 2.0 cm的兩個球形導(dǎo)體，各帶電荷 1.0×10-8 C，兩球相距很遠若用細導(dǎo)線將兩球相連接求（1） 每個球所帶電荷；（2） 每球的電勢 解 （1）兩球相距很遠，均可視作孤立導(dǎo)體，孤立導(dǎo)體球電勢 可見兩球電勢不相等，相連后兩球電勢必相等，因此必然會有電荷在兩球體之間轉(zhuǎn)移，設(shè)達到平衡時小半徑球帶電量為，大半徑球帶電量，由電勢相等可得 解得 （2）6000V9.26 如圖所示，在真空中將半徑為R 的金屬球接地，在與球心O相距為r（r>R）處放置一點電荷q，不計接地導(dǎo)