初中數(shù)學(xué)——方程思想解題實(shí)例

1、方程思想解題實(shí)例 一、 知識梳理方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定 未知數(shù)，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量 和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程 或方程組的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到 解決的思維方法 方程思想的獨(dú)特優(yōu)勢是使問題簡單化，方便解題，我們在初中階段陸續(xù)學(xué)習(xí)了一元一次方程，二元一次方程（組），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解決實(shí)際問題中的魅力。同樣，方程思想在幾何問題及函數(shù)問題中仍然有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，我們會經(jīng)常利用到這些方程、方程組作為解題的工具 方程思想的本質(zhì)是用設(shè)未知數(shù)用未知量表示已知量的方法，通過分析題中的等量關(guān)系，利用所學(xué)定理、性質(zhì)等尋找出等量關(guān)系。本專題主要從

2、幾何中的方程思想及函數(shù)中的方程思想展開討論。二、課堂案例講練幾何中的方程思想在幾何中建立等量關(guān)系的常用方法有利用勾股定理建立等量關(guān)系；利用圖形中的線段相等建立等量關(guān)系；利用圖形中的相似三角形對應(yīng)邊成比例建立等量關(guān)系。利用三角形外角定理及三角形內(nèi)角和建立等式（一）利用勾股定理建立等量關(guān)系例1如圖所示，折疊長方形（四個角都是直角）的一邊ad使點(diǎn)d落在bc邊的點(diǎn)f處，已知ab=dc=8cm，ad=bc=10cm，求ec的長解析：想求得ec長，利用勾股定理計(jì)算，需求得fc長，那么就需求出bf的長，利用勾股定理即可求得bf長解：設(shè)ec的長為xcm，de=（8-x）cm ade折疊后的圖形是afe，ad=

3、af，d=afe，de=ef ad=bc=10cm，af=ad=10cm 又ab=8cm，在rtabf中，根據(jù)勾股定理，得ab2+bf2=af282+bf2=102bf=6cm fc=bc-bf=10-6=4cm 在rtefc中，根據(jù)勾股定理，得：fc2+ec2=ef242+x2=（8-x）2，即16+x2=64-16x+x2，化簡，得16x=48 x=3故ec的長為3cm 前思后想：翻折中較復(fù)雜的計(jì)算，需找到翻折后相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理求解所需線段，另本題也可以利用三角形相似，及線段相等建立等量關(guān)系來解決.課堂訓(xùn)練：1. 有兩張相同的矩形紙片，邊長分別為2和8，若將兩張紙片交叉重疊，

4、則得到重疊部分面積最小是 _4，最大的是 _.2.動手操作：在一張長12cm、寬5cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個菱形小穎同學(xué)按照取兩組對邊中點(diǎn)的方法折出菱形efgh（見方案一），小明同學(xué)沿矩形的對角線ac折出cae=cad，acf=acb的方法得到菱形aecf（見方案二）（1）你能說出小穎、小明所折出的菱形的理由嗎？（2）請你通過計(jì)算，比較小穎和小明同學(xué)的折法中，哪種菱形面積較大？（二）利用三角形相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系例1：有一塊兩直角邊長分別為3cm和4cm的直角三角形鐵皮，要利用它來裁剪一個正方形，有兩種方法：一種是正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，另兩個頂點(diǎn)在兩條直角邊上，如圖（1）；另一

5、種是一組鄰邊在直角三角形的兩直角邊上，另一個頂點(diǎn)在斜邊上，如圖（2）兩種情形下正方形的面積哪個大？解析：（1）利用三角形的面積關(guān)系求出ab邊上的高，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長；（2）設(shè)出正方形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長前思后想：（1）利用面積法求出直角三角形斜邊上的高是解答此題的關(guān)鍵；（2）也可根據(jù)adeacb或bfebca來解答課堂訓(xùn)練：1. 如圖，鐵道口的欄桿ab的短臂oa=1.25m，長臂ob=16.5m，當(dāng)短臂端點(diǎn)a下降0.85m時，長臂端點(diǎn)b升高多少？ 下面是小明的解題過程： “如圖，連接aa，bb，因?yàn)閍o=ao，bo=bo，所以又1=2，所以aao

6、bbo，有，因?yàn)閍o=1.25，bo=16.5，aa=0.85，所以，解得bb=11.22，即長臂端點(diǎn)b升高了11.22m”你認(rèn)為小明的解題過程正確嗎？如果不正確，請寫出你的答案 2如圖，在矩形fghn中，點(diǎn)f、g在邊bc上，點(diǎn)n、h分別在邊ab、ac上，且adbc，垂足為d，ad交nh于點(diǎn)e，ad=8cm，bc=24cm，nf：nh=1：2，求此矩形的面積3. 如圖3，在梯形中，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為秒adcbmn圖3（1）求的長（2）試探究：為何值時，為等腰三角形（三）利用線段相等建立等量

7、關(guān)系例1. 如圖，等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd，ad=10cm，bc=30cm，動點(diǎn)p從點(diǎn)a開始沿ad邊向點(diǎn)d以每秒1cm的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)q從點(diǎn)c開始沿cb邊向點(diǎn)b以每秒3cm的速度運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（1）t為何值時，四邊形abqp是平行四邊形？（2）四邊形abqp能成為等腰梯形嗎？如果能，求出t的值；如果不能，請說明理由解析：（1）當(dāng)ap=bq時，四邊形abqp是平行四邊形；（2）若四邊形abqp能成為等腰梯形，則一定要滿足pd=cq.解：（1）當(dāng)ap=bq時，四邊形abqp是平行四邊形，而ap=t×1=t；bq=bc

8、-cq=30-t×3=30-3tt=30-3t解之得：t=7.5 （2）四邊形abqp能成為等腰梯形四邊形abcd為等腰梯形ab=cd，b=c.若四邊形abqp是等腰梯形則ab=pq，b=pqb,cd=pq，c=pqb cdpq四邊形pqcd為平行四邊形 pd=cq .而pd=ad-ap=10-t×1=10-t；cq=t×3=3t,則10-t=3t,解得t=2.5前思后想：做此類運(yùn)動題時要先在圖上畫出符合題意的大致圖象，然后設(shè)出未知量，根據(jù)題意尋找等量關(guān)系，第（2）問可這樣思考：先逆向假設(shè)四邊形abqp能成為等腰梯形，則pd=cq，建立相關(guān)的等式，若能解出符合題意

9、的值，則存在，然后再順向?qū)懗鲞^程課堂訓(xùn)練：1. 如圖，在直角梯形abcd中，adbc，c90°，bc16，dc12，ad21。動點(diǎn)p從點(diǎn)d出發(fā)，沿射線da的方向以每秒2兩個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)，在線段cb上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)b運(yùn)動，點(diǎn)p，q分別從點(diǎn)d，c同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q運(yùn)動到點(diǎn)b時，點(diǎn)p隨之停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）。當(dāng)t為何值時，以b，p，q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？qadcpb2. 如圖，直角梯形abcd中，adbc，abc90°，已知adab3，bc4，動點(diǎn)p從b點(diǎn)出發(fā)，沿線段bc向點(diǎn)c作勻速運(yùn)動；動點(diǎn)q從點(diǎn)d 出發(fā)，沿線段da向點(diǎn)a

10、作勻速運(yùn)動過q點(diǎn)垂直于ad的射線交ac于點(diǎn)m，交bc于點(diǎn)np、q兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度當(dāng)q點(diǎn)運(yùn)動到a點(diǎn)，p、q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)q運(yùn)動的時間為t秒(1)求nc、pn的長(用t的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形pcdq構(gòu)成平行四邊形？(3) 當(dāng)t為何值時，四邊形pcdq構(gòu)成等腰梯形？；(4) 是否存在某一時刻，使射線qn恰好將梯形abcd的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由（四）設(shè)未知量求角度例1：已知：如圖所示，在abc中，ab=ac，d為ac上一點(diǎn)，且bd=bc，e為ab上一點(diǎn)，且ad=de=eb，那么a的度數(shù)是_度.45解析：設(shè)ebd

11、=x，根據(jù)等邊對等角得出a=2x，c=abc=3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出2x+3x+3x=180°，所以a=45°前思后想：等腰三角形中求某個角的度數(shù)時，通常都可以根據(jù)“三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)”，找出相應(yīng)的等量關(guān)系，通過列方程解決此類問題。課堂練習(xí)：1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為_.2.等腰三角形兩角的度數(shù)之比為4:1，其內(nèi)角的度數(shù)分別為_.3. 如圖，在abc中，ab=ac，點(diǎn)d在ac上，且bd=bc=ad，則a=_4. 如圖，點(diǎn)o是等邊abc內(nèi)一點(diǎn)，連接oa、ob、oc，將boc繞點(diǎn)c按順時針方向旋

12、轉(zhuǎn)60°得adc，連接od（1）求證：cod是等邊三角形；（2）若oa=3，oc=4，ob=5，試判斷aod的形狀，并說明理由（3）若aob=110°，boc=，請?zhí)骄浚寒?dāng)為多少度時，aod是等腰三角形？函數(shù)中的方程思想函數(shù)中的方程思想主要體現(xiàn)在：1.求兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn) 問題; 2.已知y的值，求相應(yīng)x的值。 例1：_.解析：根據(jù)題意分別求出a，b，c，d的坐標(biāo)，再用sacd-sbcd即可求出abc的面積 前思后想：本題也可將abc的面積分成兩個三角形面積的和來求解例2 (2012南京)若反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點(diǎn)，則k的值可以是（ ） a.-2

13、b.-1 c.1 d.2 解析：函數(shù)圖象交點(diǎn)問題都可以通過聯(lián)立方程組（也就是利用兩個函數(shù)值相等）來解決，此題聯(lián)立方程后會得到一個一元二次方程，沒有交點(diǎn)就意味著此方程無解，也就是判別式小于0.解：令 =x+2,得x2+2x-k=0,由兩圖象沒有交點(diǎn)，可得此方程無解，即b2-4ac=4+4k<0,解得k<-1,故選a 點(diǎn)評：用方程思想解函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，適應(yīng)面更廣，方法更簡單，只需令y1=y2，在所形成的一元二次方程中，若求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)，解出方程即可，若圖象無交點(diǎn)，則判別式<0，若圖象有交點(diǎn)，則判別式 0，若圖象有兩個不同的交點(diǎn)，則判別式0課堂練習(xí)：1. (2011黃石)若一次

14、函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_. 2.一次函數(shù)圖象y=kx+2與拋物線y=2x2+3x+1的交點(diǎn)個數(shù)為_. 3已知，如圖，一次函數(shù)y=2x+1與反比例函數(shù)y=交于a,b兩點(diǎn)，其中點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為1.（1）求反比例函數(shù)y=的解析式；（2）過點(diǎn)a作y軸的平行線，過點(diǎn)b作x軸的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)c，求abc的面積.課后作業(yè)檢測1.在abc中，a-c=35°，b-a=5°，求b=_.2.在abc中，ab=ac，bd平分abc交ac邊于點(diǎn)d，bdc=75°，則a的度數(shù)是_.3.如圖，a=15°，ab=bc=cd

15、=de=ef，則def=_.4.如圖，已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=1x圖象的一個分支，第二象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=-2x圖象的一個分支，在x軸上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點(diǎn)a、b，過點(diǎn)a、b作x軸的垂線，垂足分別為c、d.若四邊形acdb的周長為8且ab<ac，則點(diǎn)a的坐標(biāo)是 . （第4題） （圖） （圖）5.如圖，在梯形abcd中，adbc，a=60°，動點(diǎn)p從a點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿著abcd的方向不停移動，直到點(diǎn)p到達(dá)點(diǎn)d后才停止.已知pad的面積s（單位：cm2）與點(diǎn)p移動的時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，則點(diǎn)p從開始移動到停止移

16、動一共用了 秒（結(jié)果保留根號）.6.如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)p在線段bc上以3厘米/秒的速度由b點(diǎn)向c點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)q在線段ca上由c點(diǎn)向a點(diǎn)運(yùn)動（1）若點(diǎn)q的運(yùn)動速度與點(diǎn)p的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點(diǎn)q的運(yùn)動速度與點(diǎn)p的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使與全等？aqcdbp（2）若點(diǎn)q以中的運(yùn)動速度從點(diǎn)c出發(fā)，點(diǎn)p以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)b同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次在的哪條邊上相遇？7.（2012江寧二模）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：小明取出一張矩形紙片abcd，ad=bc=5，ab=cd=25他先在矩形abc

17、d的邊ab上取一點(diǎn)m，接著在cd上取一點(diǎn)n，然后將紙片沿mn折疊，使mb與dn交于點(diǎn)k，得到mnk（如圖）（1）試判斷mnk的形狀，并說明理由（2）如何折疊能夠使mnk的面積最大？請你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值 8全國第十屆數(shù)學(xué)教育方法論暨mm課題實(shí)施20周年紀(jì)念活動于9月27在無錫市一中拉開帷幕與會期間全國數(shù)十位老師上了精彩紛呈的展示課，其中青島一位老師的“折紙”課，武漢的裴光亞教授評價是：“栩栩如生，五彩繽紛”課堂上老師提出這樣一個問題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個菱形嗎？有兩位同學(xué)很快折出了各自不同的菱形，如下圖：（1）如果該矩形紙片的長為4，寬為3，則圖1、圖2

18、兩圖中的菱形面積分別為_.6；9（2）這時老師說，這兩位同學(xué)折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應(yīng)該怎樣折出來嗎？如圖3所示：在矩形abcd中，設(shè)ab=3，ad=4，請你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標(biāo)注上適當(dāng)?shù)淖帜?，并求出這個菱形的面積（3）借題發(fā)揮：如圖4，在矩形abcd中，ab=2，ad=3，若折疊該矩形，使得點(diǎn)d與ab邊的中點(diǎn)e重合，折痕交ad于點(diǎn)f，交bc于點(diǎn)g，邊dc折疊后與bc交于點(diǎn)m試求ebm的面積9.如圖，在等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd=10，ad=6，bc=18，m是cd的中點(diǎn)，p是bc邊上的一動點(diǎn)（p與b，c不重合），連接pm并延長交ad的延

19、長線于q（1）當(dāng)p在b，c之間運(yùn)動到什么位置時，四邊形abpq是平行四邊形？請說明理由（2）當(dāng)四邊形abpq是直角梯形時，點(diǎn)p與c距離是多少？10.如圖，在直角梯形abcd中，a=90°，abcd，ab=1，cd=6 。（1）若ad=5，在線段ad上是否存在點(diǎn)p，使得以點(diǎn)p、a、b為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)p、c、d為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，這樣的點(diǎn)p有幾個？它們到點(diǎn)a的距離是多少？若不存在，請說明理由。 （2）若設(shè)ad=m，在線段ad上存在唯一的一個點(diǎn)p，使得以點(diǎn)p、a、b為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)p、c、d為頂點(diǎn)的三角形相似？求m的值。 11.如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)a，與軸交于點(diǎn)d，拋物

20、線與直線交于a、e兩點(diǎn)，與軸交于b、c兩點(diǎn)，且b點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。求該拋物線的解析式；動點(diǎn)p在x軸上移動，當(dāng)pae是直角三角形時，求點(diǎn)p的坐標(biāo)p。12.（2012揚(yáng)州）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過a（-1，0）、b（3，0）、c（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)p是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)pac的周長最小時，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)m，使mac為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 答案：（一）利用勾股定理建立等量關(guān)系1.4， 2.（1）略 （2）方案一：30cm2 方案二：35.21 cm

21、2 , 方案二小明同學(xué)所折的菱形面積較大。（二）利用三角形相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系1. 不正確作acab，bdab，所以aco=bdo=90°，又1=2，所以ocaodb所以因?yàn)閍o=ao=1.25，bo=bo=16.5，ac=0.85，所以，解得bd=11.22，即長臂端點(diǎn)b升高了11.22m 2.46.08 cm2 3.（1）bc=10 （2）分三種情況討論：當(dāng)時，如圖1，由得，當(dāng)時，如圖2，過作于adcbmn圖1圖2adcbmnhe由等腰三角形三線合一性質(zhì)得 即當(dāng)時，如圖3，過作于點(diǎn).圖3adcbhnmf即綜上所述，當(dāng)、或時，為等腰三角形。（三）利用線段相等建立等量關(guān)系1. 分三

22、種情況：若pqbq。在rtpmq中，由pq2bq2 得，解得t；abmcdpq圖2若bpbq。在rtpmb中，。由bp2bq2 得： 即。由于7040無解，pbbq若pbpq。由pb2pq2，得整理，得。解得（不合題意，舍去）綜合上面的討論可知：當(dāng)t秒時，以b、p、q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。2.（1）nc=t+1,pn=3-2t，（2）t=2,(3）t=1, （4）不能，原因略（四）設(shè)未知量求角度1. 60°或120° 2. 120°,30°,30°或 20°,80°,80° 3. 36° 4.（

23、1）略 （2）略（3）125°或110°或140°函數(shù)中的方程思想1. k-2.2個 3. (1)y= (2) 課后作業(yè)檢測1.75° 2.40° 3.60° 4. 13，3 5. 4+23 6. （1）略 cm/s（2）s7.（1）略 （2）分兩種情況：情況一：將矩形紙片對折，使點(diǎn)b與點(diǎn)d重合，此時點(diǎn)k也與點(diǎn)d重合設(shè)mk=md=x，則am=25-x，在rtdnm中，由勾股定理，得,解得，即md=nd=13smnk=32.5 情況二：將矩形紙片沿對角線ac對折，此時折痕為ac設(shè)mk=ak= ck=x，則dk=25-x，同理可得即mk=nk=13 smnk=32.58. 解：（1）第一個菱形的面積=3×4÷2=6，第二個菱形也是正方形，邊長為3，則其