2022年初一數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題(含答案)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載初一數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題（含答案）初一奧數(shù)題一100 元，三年后負(fù)債 600 元求每人每年收入多少 ？是多少？甲多開支s的末四位數(shù)字的和4. 一個(gè)人以 3 千米/ 小時(shí)的速度上坡， 以 6 千米/ 小時(shí)的速度下坡， 行程 12 千米共用了 3 小時(shí) 20 分鐘，試求上坡與下坡的路程5. 求和：6. 證明：質(zhì)數(shù) p 除以 30 所得的余數(shù)肯定不是合數(shù)228. 如兩個(gè)整數(shù) x，y 使 x +xy+y 能被 9 整除，證明： x 和 y 能被 3 整除9. 如圖 195 所示在四邊形 abcd中，對(duì)角線 ac，bd的中點(diǎn)為 m，n，mn的延長線與 ab邊交于 p 點(diǎn)求證： pcd的

2、面積等于四邊形 abcd的面積的一半 解答：所以x=5000 元 所以 s 的末四位數(shù)字的和為 1995=243. 由于a-b0，即ab即當(dāng) b a 0 或 ba0 時(shí)，等式成立4. 設(shè)上坡路程為 x 千米，下坡路程為 y 千米依題意就有由有 2x+y=20，由有 y=12-x 將之代入得 2x+12-x=20 所以x=8 千米 ，于是 y=4 千米 5. 第 n 項(xiàng)為所以6設(shè) p=30qr ，0r 30由于 p 為質(zhì)數(shù)，故 r 0，即 0 r 30假設(shè) r 為合數(shù)，由于 r 30，所以 r 的最小質(zhì)約數(shù)只可能為 2，3，5再由 p=30qr 知，當(dāng) r 的最小質(zhì)約數(shù)為 2，3，5 時(shí)， p

3、不是質(zhì)數(shù)，沖突所以， r 肯定不是合數(shù)7設(shè)由式得 2p-12q-1=mpq，即4-mpq+1=2p+q 可知 m4由， m 0，且為整數(shù)，所以 m=1，2，3下面分別討論 p，q(1) 如 m=1時(shí)，有解得 p=1，q=1，與已知不符，舍去(2) 如 m=2時(shí)，有由于 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不行能的，故 m=2時(shí)無解(3) 如 m=3時(shí)，有解之得故p q=828由于 x2+xy+y2 =x-y 2+3xy由題設(shè)， 9x 2+xyy2 ，所以 3x 2xy22y ，從而 3 x-y由于 3 是質(zhì)數(shù)，故 3x-y進(jìn)而 9 x-y由上式又可知，93xy，故 3xy所以 3x 或 3

4、 y如 3x，結(jié)合 3x-y ，便得 3 y；如 3y，同理可得， 3x9連結(jié) an，cn，如圖 1103 所示由于 n是 bd的中點(diǎn)，所以上述兩式相加另一方面，因此只需證明spcd=scnd s cnps dnps andscnp s dnp由于 m，n 分別為 ac， bd的中點(diǎn)，所以scnp=s cpm-s cmn=s apm-s amn=sanp又 s dnp=s bnp，所以s cnpsdnp=sanp+sbnp=sanb=sand初一奧數(shù)題二1已知 3x2-x=1 ，求 6x3+7x2-5x 2000 的值2. 某商店出售的一種商品，每天賣出100 件，每件可獲利 4 元，現(xiàn)在他們

5、采納提高售價(jià)、削減進(jìn)貨量的方法增加利潤，依據(jù)體會(huì)，這種商品每漲價(jià)1 元，每天就少賣出 10 件試問將每件商品提價(jià)多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？3. 如圖 196 所示已知 cbab，ce平分 bcd，de平分 cda，1 2=90°求證： da ab4. 已知方程組的解應(yīng)為一個(gè)同學(xué)解題時(shí)把 c 抄錯(cuò)了，因此得到的解為222求 a b c 的值5求方程 xy- 2x + y=4 的整數(shù)解6. 王平買了年利率 7.11 的三年期和年利率為7.86 的五年期國庫券共 35000 元，如三年期國庫券到期后， 把本息再連續(xù)存兩個(gè)一年期的定期儲(chǔ)蓄， 五年后與五年期國庫券的本息總和為

6、 47761 元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？ 一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為 5.22 7. 對(duì) k，m的哪些值，方程組至少有一組解？8. 求不定方程 3x 4y13z=57 的整數(shù)解9. 小王用 5 元錢買 40 個(gè)水果款待五位伴侶水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個(gè)的價(jià)格分別為 20 分、8 分、3 分小王期望他和五位伴侶都能分到蘋果，并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同，試問他能否實(shí)現(xiàn)自己的愿望？解答：1原式=2x3x 2-x+33x 2 -x-2x+2000 =2x×13×1-2x+2000=20032. 原先每天可獲利 4× 100 元，如每件提價(jià) x 元，就每

7、件商品獲利 4 x 元，但每天賣出為 100-10x 件假如設(shè)每天獲利為 y 元，就y 4 x100-10x=400 100x-40x-10x 2=-10x 2-6x 9 90400=-10x-3 2 490所以當(dāng) x=3 時(shí)， y 最大=490 元，即每件提價(jià) 3 元，每天獲利最大，為 490 元3. 由于 ce平分 bcd，de平分 adc及 1 2=90° 圖 1104 ，所以adc bcd=18°0 ，所以adbc又由于abbc，由， abad4. 依題意有222所以 a +b +c =345 x y-2 x+y=4，即 x y-2+ y -2=2 ， 所以 x+1

8、 y-2=2 由于 x 10，且 x， y 都是整數(shù)，所以所以有6設(shè)王平買三年期和五年期國庫券分別為x 元和 y 元，就由于 y=35000-x ，所以 x10.0711 ×31 0.05222+35000-x1+0.0786×5=47761，所以 1.3433x 48755-1.393x=47761 ， 所以 0.0497x=994 ，所以 x=20000 元 ，y=35000-20000=15000 元 7由于 k 1x m-4， m為一切實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有唯獨(dú)解當(dāng)k=1，m=4時(shí)，的解為一切實(shí)數(shù)，所以方程組有無窮多組解當(dāng) k=1，m4 時(shí)，無解所以， k1，m為任何實(shí)數(shù)

9、，或 k=1， m=4時(shí)，方程組至少有一組解8. 由題設(shè)方程得z3m-yx=19-y-43m-y-m =19+3y-13m 原方程的通解為其中 n，m取任意整數(shù)值9. 設(shè)蘋果、梨子、杏子分別買了x， y， z 個(gè)，就消去 y，得 12x-5z=180它的解是 x=90-5t ， z=180-12t 代入原方程，得 y=-230 17t 故 x=90-5t ， y=-230+17t ，z=180-12t x=20，y=8，z=12因此，小王的愿望不能實(shí)現(xiàn)，由于按他的要求，蘋果至少要有123+456=2120 個(gè)初一奧數(shù)題三1. 解關(guān)于 x 的方程2. 解方程2352其中 abc033. 求8x-

10、6x+4x-72x-3的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和4. 液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出 8 升后用水灌滿，再倒出混合溶液4 升，再用水灌滿， 這時(shí)農(nóng)藥的濃度為 72，求桶的容量5. 滿意-1.77x=-2x的自然數(shù) x 共有幾個(gè)？這里 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，例如-5.6=-6，3=3 6. 設(shè) p 是abc內(nèi)一點(diǎn)求： p 到 abc三頂點(diǎn)的距離和與三角形周長之比的取值范疇7. 甲乙兩人同時(shí)從東西兩站相向步行，相見時(shí)，甲比乙多行24 千米，甲經(jīng)過 9小時(shí)到東站，乙經(jīng)過 16 小時(shí)到西站，求兩站距離 8黑板上寫著三個(gè)數(shù)，任意擦去其中一個(gè)，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣連續(xù)下去，最終得到19，1997，1

11、999，問原先的三個(gè)數(shù)能否是 2， 2， 2？ 9設(shè)有 n 個(gè)實(shí)數(shù) x1， x2， xn，其中每一個(gè)不是 +1 就是-1 ，且求證： n 是 4 的倍數(shù) 解答：1化簡得 6a-1x=3-6b+4ab ，當(dāng) a 1 時(shí)，2將原方程變形為由此可解得 x=ab+c3當(dāng) x=1 時(shí)， 8-6+4-7 32-1 2=1即所求綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1依題意得2去分母、化簡得 7x -300x+800=0，即 7x-20x-40=0，5 如 n為 整 數(shù) ， 有 n x=n x， 所 以 -1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x由已知-1.77x=-2x，所以 -2x=-2x+0.23x，所以 0

12、.23x=0又由于 x 為自然數(shù)，所以 0 0.23x 1，經(jīng)試驗(yàn)，可知 x 可取 1，2，3，4， 共 4 個(gè)6. 如圖 1 105 所示在 pbc中有 bc pbpc， 延長 bp交 ac于 d易證 pbpc abac由，bcpbpcab+ac，同理acpapcac bc，ab papbac ab得 ab bcca2papb pc 2ab bcca所以7. 設(shè)甲步行速度為 x 千米/ 小時(shí)，乙步行速度為y 千米/ 小時(shí)，就所求距離為9x+16y 千米依題意得由得 16y=9x2，22由得 16y=249x，將之代入得2即 24 9x=12x解之得于是所以兩站距離為 9×816&#

13、215;6=168千米 8. 答案是否定的對(duì)于 2，2，2，第一變?yōu)?2，2，3，其中兩個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)以后無論轉(zhuǎn)變多少次，總是兩個(gè)偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù) 數(shù)值可以轉(zhuǎn)變，但奇偶性不變 ，所以，不行能變?yōu)?19， 1997， 1999 這三個(gè)奇數(shù)；又由于所以， k 是偶數(shù)，從而 n 是 4 的倍數(shù)初一奧數(shù)題四1. 已知 a，b，c，d 都是正數(shù)，并且 a d a，cdb 求證： acbd ab2. 已知甲種商品的原價(jià)是乙種商品原價(jià)的1.5 倍因市場變化，乙種商品提價(jià)的百分?jǐn)?shù)是甲種商品降價(jià)的百分?jǐn)?shù)的2 倍調(diào)價(jià)后，甲乙兩種商品單價(jià)之和比原單價(jià)之和提高了 2，求乙種商品提價(jià)的百分?jǐn)?shù)3. 在銳角三角形 abc中

14、，三個(gè)內(nèi)角都是質(zhì)數(shù)求三角形的三個(gè)內(nèi)角4. 某工廠三年方案中，每年產(chǎn)量遞增相同，如第三年比原方案多生產(chǎn)1000 臺(tái)， 那么每年比上一年增長的百分?jǐn)?shù)就相同， 而且第三年的產(chǎn)量恰為原方案三年總產(chǎn)量的一半，求原方案每年各生產(chǎn)多少臺(tái)？z=x+y+y+1+x-2y+4 ， 求 z 的最大值與最小值8. 從 1 到 500 的自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)顯現(xiàn) 1 或 5？9. 從 19， 20，21， 98 這 80 個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和為偶數(shù)的選法有多少種？解答：1. 由對(duì)稱性，不妨設(shè) b a，就 acbd acad=ac d ab2. 設(shè)乙種商品原單價(jià)為 x 元，就甲種商品的原單價(jià)為1.5x 元

15、設(shè)甲商品降價(jià) y，就乙商品提價(jià)2y依題意有 1.5x1-y+x1 2y=1.5x x1 2 ，化簡得 1.5-1.5y+1+2y=2.5× 1.02 所以 y=0.1=10 ，所以甲種商品降價(jià) 10，乙種商品提價(jià) 203. 由于 a+b c=180°，所以 a， b， c 中必有偶數(shù)唯獨(dú)的偶質(zhì)數(shù)為 2，所以 c=2°所以 a+b=178°由于需 a，b 為奇質(zhì)數(shù)，這樣的解不唯獨(dú)，如4. 設(shè)每年增產(chǎn) d 千臺(tái)，就這三年的每一年方案的千臺(tái)數(shù)分別為a-d ，a，ad 依題意有解之得所以三年產(chǎn)量分別是 4 千臺(tái)、 6 千臺(tái)、 8 千臺(tái)不等式組：所以x2；無解6設(shè)

16、原式為 s，就所以又0.112-0.001=0.111 由于所以=0.1057由 x 1， y 1 得 -1 x1，-1 y1 所以 y1 0， x-2y+4 -1-2 ×1+4=1 0所以 z=x+y+y+1+x-2y+4=x+yx-y 51 當(dāng) x+y+0 時(shí)， z=-x+y x-y+5=5-2y 由-1 y1 可推得 35-2y 7，所以這時(shí)， z 的最小值為 3、最大值為 72 當(dāng) x+y 0 時(shí)， z=x y+x-y+5=2x+5由-1 x1 及可推得 32x+57，所以這時(shí) z 的最小值為 3、最大值為 7 由1 ， 2 知， z 的最小值為 3，最大值為 78. 百位上

17、數(shù)字只是 1 的數(shù)有 100，101， 199 共 100 個(gè)數(shù)；十位上數(shù)字是 1 或 5 的 其百位上不為 1 有 2× 3× 10=60個(gè) 個(gè)位上顯現(xiàn) 1 或 5 的 其百位和十位上都不是 1 或 5 有 2×3×8=48 個(gè) 再加上 500 這個(gè)數(shù)，所以，滿意題意的數(shù)共有100+60+48+1=209個(gè) 9. 從 19 到 98 共計(jì) 80 個(gè)不同的整數(shù)，其中有 40 個(gè)奇數(shù)， 40 個(gè)偶數(shù)第一個(gè)數(shù)可以任選，有 80 種選法第一個(gè)數(shù)假如是偶數(shù)，其次個(gè)數(shù)只能在其他的39個(gè)偶數(shù)中選取，有 39 種選法同理，第一個(gè)數(shù)假如是奇數(shù)，其次個(gè)數(shù)也有39種選法，

18、但第一個(gè)數(shù)為 a，其次個(gè)為 b 與第一個(gè)為 b，其次個(gè)為 a 是同一種選法， 所以總的選法應(yīng)當(dāng)折半，即共有種選法初一奧數(shù)題五1. 一項(xiàng)任務(wù)，如每天超額 2 件，可提前方案 3 天完工，如每天超額 4 件， 可提前 5 天完工，試求工作的件數(shù)和原方案完工所用的時(shí)間2. 已知兩列數(shù)2，5， 8， 11，14，17， 2200-1 ×3，5，9，13，17， 21，25， 5 200-1 ×4， 它們都有 200 項(xiàng)，問這兩列數(shù)中相同的項(xiàng)數(shù)有多少項(xiàng)？3223. 求 x -3px 2q 能被 x 2ax a整除的條件4. 證明不等式5. 如兩個(gè)三角形有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等求證：這兩個(gè)三角

19、形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之比6. 已知 x-1 2 除多項(xiàng)式 x4ax3 -3x 2bx3 所得的余式是 x+1，試求 a，b的值7. 今有長度分別為 1，2，3， 9 的線段各一條，可用多少種不同方法， 從中選用如干條，使它們能圍成一個(gè)正方形？8. 平面上有 10 條直線，其中 4 條是相互平行的問：這 10 條直線最多能把平面分成多少部分？9. 邊長為整數(shù)，周長為 15 的三角形有多少個(gè)？ 解答：1. 設(shè)每天方案完成 x 件，方案完工用的時(shí)間為y 天，就總件數(shù)為 xy 件依題意得解之得總件數(shù) xy=8×15=120件 ，即方案用 15 天完工，工作的件數(shù)為 120 件2.

20、 第一列數(shù)中第 n 項(xiàng)表示為 2 n-1 × 3，其次列數(shù)中第 m項(xiàng)表示為 5m-1× 4要使 2n-1 ×35+m-1 ×4 所以由于 1n 200，所以所以m=1，4，7，10， 148 共 50 項(xiàng) 3x3-3px+2q 被 x2 2axa2 除的余式為 3a 2-px 2q a3 ，所以所求的條件應(yīng)為4. 令由于所以5. 如圖 1-106a ，b 所示 abc與 fde中，a=d現(xiàn)將 def移至 abc中，使 a 與 d重合， de=ae， df=af，連結(jié) fb此時(shí)， ae f的面積等于三角形def的面積×得26. 不妨設(shè)商式為 x +·x由已知有x4 ax3-3x 2 bx32=x-1 2x 2+· x+x 12=x-2x 1x· x x1=x4+ -2x 3 +1-2 x 21 -2 x +1 比較等