2022年初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)專題經(jīng)典

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)一、圓的概念集合形式的概念：1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（補(bǔ)充 ）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平

2、行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)c在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)b在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)a在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離dr無交點(diǎn) ；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；drd=rrd四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點(diǎn)drr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)drr；rddcbao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)rrdrr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)drr；內(nèi)含（圖

3、5）無交點(diǎn)drr；圖 1rrd圖3rrd五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論 1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共 4 個(gè)定理，簡稱2 推 3 定理：此定理中共5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2 個(gè)即可推出其它3 個(gè)結(jié)論，即：ab是直徑abcdcede弧bc弧bd弧ac弧ad中任意 2 個(gè)條件推出其他3 個(gè)結(jié)論。推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在o中，abcd弧ac弧bd例題 1、 基本概念1下面四個(gè)命

4、題中正確的一個(gè)是（）a平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑b平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦圖 2rrd圖4rrd圖 5rrdoedcbaocdab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)c弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心d在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2下列命題中，正確的是（） a過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對的弧b過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心c弦所對的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心d弦的垂線平分弦所對的弧例題 2、垂徑定理1、 在直徑為52cm 的

5、圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示， 如果油的最大深度為 16cm，那么油面寬度ab 是_cm. 2、在直徑為 52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為_cm. 3、如圖，已知在o中，弦cdab，且cdab，垂足為h，aboe于e，cdof于f. （ 1）求證：四邊形oehf是正方形 . （ 2）若3ch，9dh，求圓心o到弦ab和cd的距離 . 4、已知： abc 內(nèi)接于 o，ab=ac ，半徑 ob=5cm ，圓心 o 到 bc 的距離為 3cm，求 ab 的長5、如圖， f 是以 o 為圓心， bc 為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，a 是的中點(diǎn)， ad

6、 bc 于 d，求證： ad=21bf. 例題 3、度數(shù)問題1、已知：在o中，弦cm12ab，o點(diǎn)到ab的距離等于ab的一半，求：aob的度數(shù)和圓的半徑. 2、已知： o 的半徑1oa，弦 ab、ac 的長分別是2、3.求bac的度數(shù)。例題 4、相交問題如圖，已知o 的直徑 ab 和弦 cd 相交于點(diǎn)e，ae=6cm ，eb=2cm， bed=30 ，求 cd 的長 . 例題 5、平行問題在直徑為50cm 的 o 中，弦 ab=40cm ，弦 cd=48cm，且 abcd，求： ab 與 cd 之間的距離 . 例題 6、同心圓問題a b d c e o oabdefc精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

7、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab，交小圓于c、d 兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為ba,.求證：22babdad. 例題 7、平行與相似已知：如圖，ab是o的直徑，cd是弦，于cdaee，cdbf于f.求證：fdec. 六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推 3 定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1 個(gè)相等，則可以推出其它的3 個(gè)結(jié)論，即：aobdoe；abde；ocof；弧ba弧bd

8、七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：aob和acb是弧ab所對的圓心角和圓周角2aobacb2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在o中，c、d都是所對的圓周角cd推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在o中，ab是直徑或90cfedcbaocbaodcbaocbao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)90cab

9、是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在abc中，ocoaobabc是直角三角形或90c注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理?！纠?1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19 所表示的情形，四個(gè)工件哪一個(gè)肯定是半圓環(huán)形？【例 2】如圖，已知o中， ab為直徑， ab=10cm ，弦 ac=6cm ， acb的平分線交 o于 d，求 bc 、 ad和 bd的長【例 3】如圖所示，已知ab為 o的直徑， ac為弦， od bc ，交 ac于 d，bc=4cm （ 1）求證： ac

10、 od ；（2）求 od的長；（3）若 2sina 1=0，求 o的直徑【例 4】四邊形abcd 中， ab dc ， bc=b ，ab=ac=ad=a ，如圖，求bd的長【例 5】如圖 1，ab是半 o的直徑，過a 、b 兩點(diǎn)作半 o的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半o上 c 點(diǎn)時(shí)，則有ac acbc bc=ab2（ 1）如圖 2，若兩弦交于點(diǎn)p在半 o內(nèi)，則 ap ac bp bd=ab2是否成立？請說明理由（ 2）如圖 3，若兩弦 ac 、bd的延長線交于p點(diǎn)，則 ab2= 參照（ 1）填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性cbao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

11、- - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在o中，四邊形abcd是內(nèi)接四邊形180cbad180bddaec例 1、如圖 7-107 ， o中，兩弦ab cd ，m是 ab的中點(diǎn)，過m點(diǎn)作弦 de 求證： e，m ，o ，c四點(diǎn)共圓九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：mnoa且mn過半徑oa外端mn是o的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推

12、論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論 2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。edcbanmao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：pa、pb是的兩條切線papbpo平分bpa利用切線性質(zhì)計(jì)算線段的長度例 1：如圖，已知： ab是 o的直徑， p為

13、延長線上的一點(diǎn)，pc切 o于 c，cd ab于 d，又 pc=4 ， o的半徑為 3求： od的長利用切線性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)例 2： 如圖，已知： ab是 o的直徑， cd切 o于 c，aecd于 e，bc的延長線與ae的延長線交于f，且af=bf 求： a的度數(shù)利用切線性質(zhì)證明角相等例 3： 如圖，已知： ab為 o的直徑，過a作弦 ac 、ad ，并延長與過b的切線交于m 、n求證： mcn=mdn pbao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)利用切線性質(zhì)證線段相

14、等例 4： 如圖，已知： ab是 o直徑， co ab ，cd切 o于 d，ad交 co于 e求證： cd=ce 利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例 5： 如圖，已知：abc中， ab=ac ，以 ab為直徑作 o ，交 bc于 d，de切 o于 d，交 ac于 e求證：de ac十一、圓冪定理（1）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在o中，弦ab、cd相交于點(diǎn)p，pa pbpc pd（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在o中，直徑abcd，2ceae bepodcbaoedcba精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

15、- - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（ 3）切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在o中，pa是切線，pb是割線2papc pb（4）割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在o中，pb、pe是割線pc pbpd pe例1. 如圖 1，正方形abcd的邊長為 1，以 bc為直徑。在正方形內(nèi)作半圓o，過 a作半圓切線，切點(diǎn)為f，交 cd于 e，求 de ：ae的值。例2. o 中的兩條弦ab與

16、cd相交于 e，若 ae 6cm ，be 2cm，cd 7cm，那么 ce _cm 。圖2 例3. 如圖 3，p是o 外一點(diǎn)， pc切o 于點(diǎn) c，pab是o 的割線，交o于 a 、b 兩點(diǎn)，如果pa ：pb1：4，pc 12cm，o 的半徑為 10cm，則圓心o到 ab的距離是 _cm。圖3 例4. 如圖 4，ab為o 的直徑，過b點(diǎn)作o 的切線 bc ，oc交o 于點(diǎn) e，ae的延長線交bc于點(diǎn) d， （1）求證：； （2）若 ab bc2厘米，求ce 、cd的長。圖4 decbpao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 1

17、1 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)例5. 如圖 5，pa、pc切o 于 a、c，pdb為割線。求證： ad bc cd ab圖5 例6. 如圖 6，在直角三角形abc中， a90，以ab邊為直徑作 o ，交斜邊bc于點(diǎn) d，過 d點(diǎn)作o 的切線交 ac于 e。圖6 求證： bc 2oe 。十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：12o o垂直平分ab。即：1o、2o相交于a、b兩點(diǎn)12o o垂直平分ab十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：（1）公切線長：12rto o c 中，22221122abcoooco；（2）外公切線長：2co是半徑之差；內(nèi)公切線長：2co是半徑之和。十四、 圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在o中abc是正三角形，有關(guān)計(jì)算在rt bod中進(jìn)行：:1:3 : 2odbdob；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在rt oae中進(jìn)行，:1:1:2oeae oa：bao1o2co2o1badcbaoecbado精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在rt oab中進(jìn)行，:1:3:2ab ob