2022年初中函數(shù)知識點總結(jié)2

1、函數(shù)知識點總結(jié)( 掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像) （一）平面直角坐標系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系2、各個象限內(nèi)點的特征: 第一象限：（+，+）點 p（x,y ） ，則 x0,y 0；第二象限：（- ，+）點 p（x,y ） ，則 x0,y 0；第三象限：（- ，- ）點 p（x,y ） ，則 x0,y 0；第四象限：（+，- ）點 p（x,y ） ，則 x0,y 0；3、坐標軸上點的坐標特征： x軸上的點，縱坐標為零；y 軸上的點，橫坐標為零；原點的坐標為（0 , 0） 。兩坐標軸的點不屬于任何象限。4、點的對稱特征：已知點p(m,n),

2、關(guān)于 x 軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫坐標相同，縱坐標反號關(guān)于 y 軸的對稱點坐標是(-m,n) 縱坐標相同，橫坐標反號關(guān)于原點的對稱點坐標是(-m,-n) 橫，縱坐標都反號5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：平行于 x 軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于 y 軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。6、各象限角平分線上的點的坐標特征：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)。7、點 p（x,y ）的幾何意義：點 p（x,y ）到 x 軸的距離為 |y|，點 p（x,y ）到 y 軸的距離為 |x|。點 p（x,y ）到坐標原點的距離為

3、22yx8、兩點之間的距離：x軸上兩點為a)0 ,(1x、b)0,(2x |ab|12xx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -y軸上兩點為c), 0(1y、d),0(2y |cd|12yy已知 a),(11yx、b),(22yx ab|=212212)()(yyxx9、中點坐標公式：已知a),(11yx、b),(22yx m 為 ab的中

4、點則： m=(212xx , 212yy) 10、點的平移特征：在平面直角坐標系中，將點（ x,y ）向右平移a 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（ x-a ，y） ；將點（ x,y ）向左平移a 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a ，y） ；將點（ x,y ）向上平移b 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，yb） ；將點（ x,y ）向下平移b 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，yb） 。注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點的坐標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量： 在一個變化過程中可以取不同數(shù)值

5、的量。常量： 在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)： 一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x 和 y，并且對于x 的每一個確定的值， y 都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x 稱為自變量，把y 稱為因變量， y是 x 的函數(shù)。 *判斷 a是否為 b的函數(shù)，只要看b取值確定的時候，a是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、定義域： 一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法：（ 1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（ 2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；（ 3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的

6、式子時，底數(shù)不等于零；（ 5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -一般來說， 對于一個函數(shù)， 如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析

7、式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)及性

8、質(zhì)一般地，形如y=kx(k 是常數(shù)， k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k 叫做比例系數(shù). 注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零 ) k 不為零 x 指數(shù)為 1 b取零當 k0 時，直線 y=kx 經(jīng)過三、 一象限， 從左向右上升， 即隨 x 的增大 y 也增大； 當 k0 時，圖像經(jīng)過一、三象限；k0，y 隨 x 的增大而增大；k0 時，向上平移； 當 b0 ，圖象經(jīng)過第一、三象限；k0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b0 直線從左向右是向上的 k0 直線與 y 軸的正半軸相交 b0 ，y 隨 x 的增大而增大；k0 時，將直線y=kx 的圖象向上平移b 個單位；當 b0，b0 2、k0，b0

9、 3、k0，b0 4、k0 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -4、直線 y=kxb(k 0) 與坐標軸的交點(1) 直線 y=kx 與 x 軸、 y 軸的交點都是(0，0) ；(2) 直線 y=kxb 與 x 軸交點坐標為與 y 軸交點坐標為(0 ，b) 5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)

10、關(guān)系式；（ 2）將 x、y 的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法：方法：聯(lián)立方程組求x、y 例題：已知兩直線yx+6 與 y2x-4 交于點 p，求 p點的坐標？7、直線 y=k1x+b1 與 y=k2x+b2 的位置關(guān)系（1）兩條直線平行：k1=k2 且 b1b2 （2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且 b1=b2 平行于軸（或重合）的直線記作. 特別地，軸記作直線8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)

11、 y=kxb 的圖象是一條直線， 它可以看作是由直線y=kx 平移 |b| 個單位長度而得到（當b0 時，向上平移；當b0 或 ax+b0 時，圖象分別位于第一、三象限， 同一個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減??；當 k0時，函數(shù)在x0 上同為減函數(shù)；k0 時，函數(shù)在x0 上同為增函數(shù)。定義域為x0；值域為y0。 3. 因為在y=k/x(k 0)中，x 不能為0， y 也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x 軸相交，也不可能與y 軸相交。 4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點p， q，過點p， q分別作x 軸， y 軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為s1， s2，則 s1 s2=|k| 5

12、. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。6. 若設(shè)正比例函數(shù)y=mx 與反比例函數(shù)y=n/x交于 a、b 兩點（ m 、n 同號），那么 a b 兩點關(guān)于原點對稱。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - 7. 設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一

13、次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則 n2 +4km （不小于）0。（ k/x=mx+n ，即 mx2+nx-k=0 ） 8. 反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x 軸與 y 軸。 9. 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱 , 并且關(guān)于原點中心對稱. (第 5點的同義不同表述) 10. 反比例上一點m向 x、y 軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo （ o 為原點）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表

14、示為f(x)=ax2+bx+c(a不為 0) 。其圖像是一條主軸平行于y 軸的拋物線。一般式 (已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.)y=ax2+bx+c(a0,a 、b、 c 為常數(shù) ) ，頂點坐標為(-b/2a， (4ac-b2/4a) ；頂點式 (已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. ) y=a(x+m)2+k(a 0,a 、m 、 k 為常數(shù) ) 或 y=a(x- h)2+k(a 0,a 、h、 k 為常數(shù) ) ，頂點坐標為（-m，k）或（ h,k ）對稱軸為x=-m 或 x=h ，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；交點式 (已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交

15、點式) y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x 軸有交點a（ x1， 0）和 b （ x2 ， 0）的拋物線 ；拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點頂點拋物線有一個頂點p，坐標為p ( -b/2a ， 4ac-b2/4a ) ，當 -b/2a=0時， p 在 y 軸上；當 = b2-4ac=0時， p 在 x 軸上。開口二次項系數(shù)a 決定拋物線的開口方向和大小。當 a 0 時，拋物線向上 開口；當a0 時，拋物線向下 開口。 |a|越大 ，則拋物線的開口越小 。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - -

16、 - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -決定對稱軸位置的因素一次項系數(shù)b 和二次項系數(shù)a 共同決定對稱軸的位置。當 a 與 b 同 號時（即ab 0），對稱軸在y 軸左 ；當 a 與 b 異 號時（即ab 0），對稱軸在y 軸右 。（ 左同右異）c 的大小決定拋物線與軸交點的位置 . 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經(jīng)過原點; , 與軸交于正半軸；, 與軸交于負半軸 . 直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為 (0, ). （2）與軸平行的直線與

17、拋物線有且只有一個交點(,). （3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根. 拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離 . （4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0 個交點、 1 個交點、 2 個交點 .當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根 . （5） 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點 ; 方程組只有一組解時與只有一個交

18、點；方程組無解時與沒有交點 . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故圓中常見的輔助線的作法1遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）常常添加弦心距， 或者作垂直于弦的半徑 （或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。作用：利用垂徑定理；利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)

19、系；利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形， 根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。2遇到有直徑時常常添加（畫）直徑所對的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。3遇到 90度的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。4遇到弦時常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點， 構(gòu)成等腰三角形， 還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點。作用：可得等腰三角形；據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。5遇到有切線時（1）常常添加過切點的半徑（連結(jié)圓心和切點）作用：利用切線的性質(zhì)定理可得oaab，得到直角或直角三角形。（2）常常添加連結(jié)圓上一點和切點作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。6遇到證

20、明某一直線是圓的切線時（1）若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。作用：若 oa=r，則 l 為切線。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -（2）若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心（即作半徑）作用：只需證 oal，則 l 為切線。（3）有遇到圓上或圓外一點作圓的切線7 遇到兩相交切線時（切線長）常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點。作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形。8遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利