北師大數(shù)學八年級上冊第五章應用二元一次方程組(基礎)

1、北師大數(shù)學八年級上冊第五章應用二元一次方程組(基礎)應用二元一次方程組（基礎）知識講解 【學習目標】1以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關系，設未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學模型；2熟練掌握用方程組解決雞兔同籠，增收節(jié)支，里程碑上的數(shù)等實際問題.【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系1.和差倍分問題：增長量原有量×增長率 較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.2.增收節(jié)支問題：（1）增長（遞減）率公式：原來的量×（1+增長率）=后來的量； 原來的量×（1-遞減率）=后來的量；

2、（2）利潤公式：利潤=總收入-總支出 ；利潤售價成本(或進價)成本×利潤率；標價成本(或進價)×(1利潤率) （3）銀行利率公式：利息=本金×利率×期數(shù).本息和（本利和）本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù)) .年利率月利率×12.月利率年利率×.要點詮釋： 增收節(jié)支問題常常借助列表分析問題中所蘊涵的數(shù)量關系，這種方法清晰明了，能夠充分突出解題過程3.行程問題： 速度×時間=路程.順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.4.數(shù)字問題：已知各數(shù)位

3、上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想 列方程組解應用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關系一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：方程兩邊表示的是同類量：同類量的單位要統(tǒng)一；方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據(jù)等量關系列出方程組）；解：解方程組，求

4、出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、雞兔同籠問題1. （2016茂名）我國古代數(shù)學名著孫子算經(jīng)中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程組為（）abcd【思路點撥】設有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)

5、100匹馬恰好拉了100片瓦，已知一匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，列方程組即可【答案與解析】解：設有x匹大馬，y匹小馬，根據(jù)題意得，故選c【總結升華】本題考查了二元一次方程的應用，利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出2個等量關系，準確的找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵舉一反三：【變式】根據(jù)圖中所給出的信息，求出每個籃球和每個羽毛球的價格. 【答案】解：設每個籃球元，每個羽毛球元.根據(jù)題意列方程組： 解得 答：每個籃球20元，每個羽毛球2元.類型二、增收節(jié)支問題2.（2015北京）九章算術是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架它的代數(shù)成就主要包括

6、開方術、正負術和方程術其中，方程術是九章算術最高的數(shù)學成就九章算術中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩問：牛、羊各直金幾何”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩問：每頭牛、每只羊各值金多少兩”設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為 【思路點撥】由實際問題抽象出二元一次方程組根據(jù)“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關系，即可列出方程組【答案與解析】解：根據(jù)題意得：.【總結升華】考查了由實際問題抽象出二元一次方程組的能力，解決本題的關鍵是找到題目中所存在的等量關系舉一反三【變式】小明想開一家時尚點專賣店，

7、開店前他到其它專賣店調(diào)查價格他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按50的利潤定價，褲子按40的利潤定價.由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實際出售時，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺得上衣款式好，銷路會好些，想問問上衣的成本價，但店員有事走開了，你能幫助他嗎？【答案】上衣成本褲子成本500元上衣利潤褲子利潤157元分析：設上衣的成本價為元，褲子的成本價為元：成本（元）實際售價（元）利潤（元）上衣x褲子y解：設上衣的成本價為x元，褲子的成本價為y元，則上衣利潤為 元，褲子利潤為(1+40%)y-y元，依題意得整理得: ×26

8、,得9x=2700, x =300.把其代入，得y=500300=200答：上衣成本300元，褲子成本200元.3. 蔬菜種植專業(yè)戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲，乙兩種貸款，共13萬元，徐先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【思路點撥】本題的等量關系：甲種貸款+乙種貸款13萬元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息6075元.【答案與解析】解：設甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據(jù)題意得：解得：答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元【總結升華】利息貸款金額×利息率.類型三、里程碑上的數(shù)

9、（數(shù)字問題）4.有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把這兩個數(shù)的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù)【思路點撥】本題中的等量關系：個位上的數(shù)十位上的數(shù)5；原數(shù)+新數(shù)143【答案與解析】解：設原來的兩位數(shù)中，個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y則原數(shù)為10y+x，把這兩個數(shù)的位置對換后，所得的新數(shù)為10x+y，根據(jù)題意，得：，解方程組，得故這個兩位數(shù)為10y+x10×4+949答：這個兩位數(shù)為49【總結升華】對于兩位數(shù)、三位數(shù)的數(shù)字問題，關鍵是明確它們與各數(shù)位上的數(shù)字之間的關系：兩位數(shù)十位數(shù)字×10+個位數(shù)字；三位數(shù)百位數(shù)字×100+十位

10、數(shù)字×10+個位數(shù)字【變式】（2015黑龍江）為推進課改，王老師把班級里40名學生分成若干小組，每小組只能是5人或6人，則有幾種分組方案（）a4b3c2d1【答案】解：設5人一組的有x個，6人一組的有y個，根據(jù)題意可得：5x+6y=40，當x=1，則y=（不合題意）；當x=2，則y=5；當x=3，則y=（不合題意）；當x=4，則y=（不合題意）；當x=5，則y=（不合題意）；當x=6，則y=（不合題意）；當x=7，則y=（不合題意）；當x=8，則y=0；所以有2種分組方案故選：c類型四、行程問題5. a、b兩地相距480千米，一列慢車從a地開出，一列快車從b地開出 (1)如果兩車同時

11、開出相向而行，那么3小時后相遇；如果兩車同時開出同向(沿ba方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度各是多少？ (2)如果慢車先開出l小時，兩車相向而行，那么快車開出幾小時可與慢車相遇?【思路點撥】這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關系列方程(組)求解(1)“同時開出相向而行”可用下圖表示“同時開出同向而行”可用下圖表示(2)慢車先開出1小時，兩車相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來，并用等式表示出來【答案與解析】解：(1)設快車和慢車的速度分別為x千米/時和y千米/時根據(jù)題意，得，解得 答：快車和慢車的速度分別為100千米/時和60千米/時(2)設快車開出x小時可與

12、慢車相遇，則此時慢車開出(x+1)小時，根據(jù)題意，得60(x+1)+100x480解得 答：快車開出小時兩車相遇【總結升華】比較復雜的行程問題可以通過畫“線條”圖幫助分析，求解時應分清相遇、追及、相向、同向等關鍵詞應用二元一次方程組(基礎)鞏固練習【鞏固練習】一、選擇題1有一些蘋果箱，若每只裝蘋果25 kg，則剩余40 kg無處裝；若每只裝30 kg，則還有20個空箱，這些蘋果箱有( ) .a12只 b6只 c112只 d128只2. （2016臨沂）為了綠化校園，30名學生共種78棵樹苗其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，該班男生有x人，女生有y人根據(jù)題意，所列方程組正確的是（）a b c

13、d3. 用一根繩子環(huán)繞一棵大樹，若環(huán)繞大樹4周，則繩子還多1尺；若環(huán)繞大樹5周，則繩子又少3尺設這根繩子有x尺，環(huán)繞大樹一周需要y尺，則下列所列方程組正確的是（）a b c d4.（2015臺灣）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數(shù)變動的原因只有轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)入兩種，且轉(zhuǎn)出的人數(shù)比為1：3，轉(zhuǎn)入的人數(shù)比也為1：3若寒假結束開學時甲、乙兩校人數(shù)相同，則乙校開學時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差（）.a6 b9 c12 d185. m表示一個兩位數(shù)，n表示一個三位數(shù)，把m放在n的左邊組成一個五位數(shù)，那么這個五位數(shù)可以表示成（）amnb1000m+nc100m+1000nd100m+n

14、6. 小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數(shù)如下：時刻12：0013：0014：30碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，數(shù)字之和為6十位與個位數(shù)字與12：00時所看到的正好顛倒了比12：00時看到的兩位數(shù)中間多了個0則12：00時看到的兩位數(shù)是（）a24b42c51d15二、填空題7（2016宜賓）今年“五一”節(jié)，a、b兩人到商場購物，a購3件甲商品和2件乙商品共支付16元，b購5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元設甲商品售價x元/件，乙商品售價y元/件，則可列出方程組 8（2015南昌一模）足球比賽中勝場積3分，平場積1分，負場積

15、0分中天隊第12輪比賽戰(zhàn)罷，輸了3場，共積19分，若設其勝了x場，平了y場，可列方程組： 9某市現(xiàn)有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加%，農(nóng)村人口增加%，這樣全市人口將增加1%，求這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口？設城鎮(zhèn)人口是x萬，農(nóng)村人口是y萬，得到的方程組為_. 10. 現(xiàn)有兩種溶液，甲種溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙種溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，問甲乙兩種溶液各需 升和 升.11已知甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大30，乙數(shù)的3倍比甲數(shù)的4倍少20，求甲、乙兩數(shù)，若設甲、乙兩數(shù)分別為x、y，可得方程組_，這兩數(shù)分別為_12. 學生問老師：“您今年多大了”老師風趣地說

16、：“我像你這么大時，你剛1歲；你到我這么大時，我已37歲了”那么老師現(xiàn)在的年齡是 歲三、解答題13某廠第二車間人數(shù)比第一車間人數(shù)的少30人，如果從第一車間調(diào)10人到第二車間，那么第二車間的人數(shù)就是第一車間人數(shù)的，這兩個車間各有多少人？14. 2010年春季我國西南大旱，導致大量農(nóng)田減產(chǎn)，如圖所示是一對農(nóng)民父子的對話內(nèi)容，請根據(jù)對話內(nèi)容分別求出該農(nóng)戶今年兩塊農(nóng)田的花生產(chǎn)量分別是多少千克?15.（2015義烏市）某校規(guī)劃在一塊長ad為18m，寬ab為13m的長方形場地abcd上，設計分別與ad，ab平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮（1）如圖1，若設計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的

17、寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比am：an=8：9，問通道的寬是多少？（2）為了建造花壇，要修改（1）中的方案，如圖2，將三條通道改為兩條通道，縱向的寬度改為橫向?qū)挾鹊?倍，其余四塊草坪相同，且每一塊草坪均有一邊長為8m，這樣能在這些草坪建造花壇如圖3，在草坪rpcq中，已知repq于點e，cfpq于點f，求花壇recf的面積【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】d； 【解析】設這些蘋果箱共只，則有，解得.2. 【答案】d；3. 【答案】b；4. 【答案】d； 【解析】設甲、乙兩校轉(zhuǎn)出的人數(shù)分別為x人、3x人，甲、乙兩校轉(zhuǎn)入的人數(shù)分別為y人、3y人，寒假結束開學時甲、乙兩校人數(shù)

18、相同，1016x+y=10283x+3y，整理得：xy=6，開學時乙校的人數(shù)為：10283x+3y=10283（xy）=102818=1010（人），乙校開學時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差；10281010=18（人），故選：d5. 【答案】b；【解析】m表示一個兩位數(shù)，n表示一個三位數(shù)，把m放在n的左邊組成一個五位數(shù)相當于把m擴大1000倍，表示這個五位數(shù)的代數(shù)式1000m+n6. 【答案】d；【解析】設小明12時看到的兩位數(shù)，十位數(shù)為x，個位數(shù)為y，由題意列方程組得：，解得：，所以12：00時看到的兩位數(shù)是15.二、填空題7. 【答案】；8. 【答案】；【解析】解：共踢了12場，其中負3場，x+y=123；勝一場得3分，平一場得1分，負一場是0分，共得19分3x+y=19，故列的方程組為9【答案】【解析】本題中的等量關系：一、現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口42萬；二、一年后城鎮(zhèn)增加人口+一年后農(nóng)村增加人口42×1%萬人，根據(jù)這兩個等量關系即可列方程組.10【答案】2,5【解析】解：設甲、乙兩種溶液x升、y升，根據(jù)題