彈性力學(xué)復(fù)習(xí)資料縮印

1、2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上包括孔口邊界上受有均勻壓力q試證x y q及xy 0能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。分別證明：1、將應(yīng)力分量2-17設(shè)有矩形截面的懸臂粱，在自由端受有集中荷載F，體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力x和切應(yīng)力xy的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力y 0，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達(dá)式是否就表代入平衡微分方程、相容方程yxxyfyy)(1(b)示正確的解答。M (x)顯然a、 b是滿足的彎應(yīng)力方向余弦l cos(n,x) m cos(n, y)將 xy

2、qxy 0代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式2 對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的(lx myx)sfx(S)(mylxy)sfy(S)(c )那么有x cos(n,x)q cos(n, x)y cos( n,y)qcos( n,y)所以qxyq。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。3對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量xyq及xy 0代入物理(1)q(1) q方程，得形變分量xqEyE qxy0(d )然后，將d、的變形分量代入幾何方程，得u(1)V(1)Vuqq0xEyExy(e)u(J)qx f1(y) v (1) qyf2

3、 (x)前而式的積分得到EE(f)其中的f1和f2分別是y和x的待定函數(shù),可以通過幾何方程的第三式求出,將式解1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程為Fx ,橫截面對z軸仲性軸的慣性矩為1M (x) yx Iz3xy2-hFs(x)4y2(I亍12FA xyh ;該截面上的剪力為6F h2討7h312 ,根據(jù)材料力學(xué)公式,FsxF，剪應(yīng)力y2;并取擠壓應(yīng)力2經(jīng)驗證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方程也能滿足相容方程再考察邊界條件：在yxxyy)yy)y能滿足fy 0y)(1f)(丄xh /2的主要邊界上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件:h/2h/ 20( yx ) y h/2在次要邊界x=0上，列

4、出三個積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2h/2h/2h/2h/2滿足應(yīng)力邊界條件。(x)x 0dy(x)x °ydy(xy)x 0 dydfi ydf2xf代入e的第三式得dydx在次要邊界X 1上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一h/2h/2idyh/2h/212Flydydfi y個常數(shù)3,于是有 dydf2xdx，積分以后得h/2h/2iydy12F21yFlfi( y) y uo f2(x) x Vo>滿足應(yīng)力邊界條件代入f得位移分量(1)uqx(1)v e qyy u0x V其中u。，,為表示剛體位移量

5、的常數(shù)，須由約束條件求得。從式g可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件，因而，應(yīng)力分量是正確的解答。h/2h/2(xy) x 0 dyh / 2h/2因此，他們是該問題的解答。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為 h，寬度為b, h?b,在兩側(cè)面上受到均布剪力 q2Cx 6Dy(e)的作用。試用應(yīng)力函數(shù)AxyBx2y求解應(yīng)力分量。gy(f)xy2Cy解1相容條件:將應(yīng)力函數(shù)代人相容方程0中,其中(g)根據(jù)斜邊界的邊界條件，它的邊界線方程是y xtan即fxfy0,按照一般的應(yīng)力邊界條件，有1( x ) y xtan m(m( y)yxtan將e、f、 g代入得l (2Cx 6Dx ta

6、nm(gxta n,在斜面上沒有任何面力,xy) yx tan1(l(xy) yx tanm(2Cx ta n )02Cx tan )0(h)(i)(2)應(yīng)力分量表達(dá)式(3)考察邊界條件:6Bxy在主要邊界很明顯滿足相容方程。由圖可見，I cos n,xm cos(n, y)xyA 3Bx2b/2上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件,x)x b/20(xy ) x b/2在次要邊界y 0上，yy 0，而yxy 00的條件不可能精確滿足否b/2那么只有A=B=0 ，可用積分的應(yīng)力邊界條件代替b/ 2yx) y cdx 04把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得12q應(yīng)力分量為x 0，y歹xy2qb2。xy(1

7、x21韋)3-8設(shè)題3-8圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。解1相容條件:設(shè)Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3不管上述中的系數(shù)取何值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。(2)體力分量fxo, fyg由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式y(tǒng)7fxX2Cx6Dy(b)xyy2fyy6Ax2Bygy(c)2Bx 2Cy(d)3考察邊界條件：利用邊界條件確定待定系數(shù)先考察主要邊界上y 0的邊界條件：yy0 0 , wy 00將應(yīng)力分量式b和式c代入，這些邊界條件要求(,),0 6Ax 0 ,()0 2Bx 0 得 a=0,B=0。式b、 c、 d成為cos(_2cos代

8、入式h、i求解C和將這些系數(shù)代入式xysinD,即得gC cot D2b、 c、 d得應(yīng)力分量的表達(dá)式gxcotgygycot4-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力解1應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力函數(shù)q，(Acos2得應(yīng)力分量2 gy cot2崇012如題4-12圖所示試求其應(yīng)力分量。Bsin22(Acos2丄一C D)2 (Acos2Bsi n22Asi n2進行求解Bsi n2C D)C D)2Bcos2 C()/2 0(a)()/2 q(b)()/2 0(c)()/2q(d)由式a得2 A cos2BsinC2D0(e)由式b得2Asin2BcosCq(f)由式c得2A cos2BsinC2D0(g)由

9、式d得2Asin2BcosCq(h)Aq-,B C0,式e、 f、g、h聯(lián)立求解，得2sin2考察邊界條件：根據(jù)對稱性,得將以上系數(shù)代入應(yīng)力分量，得/Cos2 .、 q(cot )sin,cos2.、q( cot )sinsin 2qsin4一 13設(shè)有內(nèi)半徑為，外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力q,試求內(nèi)半徑和外半徑的改變， 并求圓筒厚度的改變。解此題為軸對稱問題，只有徑向位移而無環(huán)向位移。當(dāng)圓筒只受內(nèi)壓力q的情 況下，取應(yīng)力分量表達(dá)式B=0,內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求r 0 R 0r q R 0由表達(dá)式可見，前兩個關(guān)于的條件是滿足的，而后兩個條件要求A由上式解得2C2C2 2qR r(R2 r2)2qr

10、r7)(a)把A,B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量,2宀(1)(1R2) I cosK sin(b)u H I sin K cos(c)式c中的取任何值等式都成立,所以個自由項的系數(shù)為零H=I=K=O。所以，軸對稱問題的徑向位移式b為qr2E(R(1)(1而圓簡是屬于平面應(yīng)變問題，故上式中代替，那么有(1)R2 (1)1 1q (匚1)2 r2(1u q -(1 )r2外徑改變?yōu)?)R2E品1)uR(1) R2(11 qER ,R2圓環(huán)厚度的改變?yōu)閡Rqr(1E2R2)R2qr(1E2)(R rR r4-15在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點處,如該處有一小圓孔.試求孔邊的最大正應(yīng)力。R22

11、rr2qr(1 2) 2RrERr2應(yīng)力分最為 xxy qH I鶴斜解 求出兩個主應(yīng)力，即2xy原來的間題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布壓力q,如應(yīng)力分量x q，yq，xy 0代入坐標(biāo)變換式，得到外邊界上的邊界條件()r qcos2(a)()r qsin 2(b)圖所示。()r r00(c)(d)由邊界條件式a、b、(c)、(d)可見，用辦逆解法是，可假設(shè)為的某一函數(shù)乘以cos2，而為的另一函數(shù)乘以sin 2而11 21 (_)2 2，因此可假設(shè)f ()cos 2(e)2112(-22)22 f0在孔邊，邊界條件是將式e帶入相容方程，得刪去因子cos2其中 A,B,C,D

12、cos 2 (Acosd4f ()d 42 d3f()9 d2f () d 29 df()以后，求解這個常微分方程，得為待定常數(shù)，代入得應(yīng)力D2)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式cos2 (2B4C2將上式代入應(yīng)力邊界條件2B由式a得4CR26DR4cos2 (12A 2 2Bsin2 (6 A 3 2B_6D)6AR2由式b得2B2Cr26DR(g)(h)由式c得2B4C 6DT7 T76 Ar2 2B由式(d)得2C產(chǎn)6D產(chǎn)(j)聯(lián)立求解式(g) (j)r，并令R0，得A 0, Bqr2,D4qr將各系數(shù)值代入應(yīng)力分量的去達(dá)式，得gh r(1 2 ) ghr2 r2、(1)cos2 (1)(1

13、 3)2(1)2(1T2rgh r(1 2 ) ghr2、(1)cos2 (1 3)2(1)-22(1Y-2(1 2 ) ghr2 r2、sin2 (1)(1 3)2(1Pr r沿著孔邊r，環(huán)向正應(yīng)力是最大環(huán)向正應(yīng)力為()max 4qr2q cos 2 (1_2)(13二q cos2 (1 3二)qsin2 (1 二)(1 3二)4q cos 2gh 2(12 ) ghcos 2沿著孔邊r，環(huán)向正應(yīng)力是(1)(1)143 4()max-一 gh ()min-一 9h最大環(huán)向正應(yīng)力為1，14-17在距外表為h的彈性地基中，挖一直徑為d的水平圓形孔道，設(shè)h»d,彈性地基的密度為，彈性模量

14、為 E，泊松比為，試求小圓孔附近的最大、最小應(yīng)力。8-1設(shè)有任意形狀的等截面桿，密度為，上端懸掛，下端自由。如題8-1圖所示,-一-LU.-川一 I胡° p"11 Li LLIIil .J MLIiL ljLMt.1 mA*ujm丄I I一試考察應(yīng)力分量x0, y0,gz, yz0, zx0,xy0是否能滿足所有一切條件。xgh，由水平條件解 按應(yīng)力求解空間問題時，須要使得六個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡徽分方程，滿足相容方程；并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件(I)fxfy0,fzg很顯然應(yīng)力分量滿足如下平衡徽分方程解 距地表為h處，無孔時的鉛直應(yīng)力xyzyzyxy7zxzxz

15、yzyxxzxfyfx可得gh(2)yxgz，應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程x向為水平回形孔道的軸向，在橫向y，z平面的主應(yīng)力為ghgh(1(1(1(2)原來的問題變?yōu)楣艿涝谧笥覂蛇吺芫級毫υ谏舷聝蛇吺芫級毫?gh，在上下兩邊受均布壓力局部：第一局部是四邊的均布壓力12"gh，如圖(a)所示?？梢詫⒑奢d分解為兩12 gh22(1)如圖(b)所示，第二部(12 ) gh分是左右兩邊的均布拉力12(12) gh2 r12 q(1 r2(1)q»(C)所示1厶R22(1)和上下兩邊的均布壓力。對于第一局部荷載，可應(yīng)用解答對于第二局部解答，可應(yīng)用解答，教材中式(4-18 )。

16、將兩局部解答疊加，即得原荷載作用下的應(yīng)力分量(基爾斯的解答)。y22z2(1(1(1(3)xyyzxz考察應(yīng)力邊界條件:柱體的側(cè)面和下端面,面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界面方向余弦分別為n 11分量、方向余弦分別代入下式fx fyfz0。.在(x,y)平(側(cè)面方向余弦分別為n 0, l,m為任意的；在下端應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件，將應(yīng)力和面力(Ixmyxn zx )sfx(m y n zy1 xy ) sfy(nx 1 xzm yz )sfz直桿的側(cè)面和下端的應(yīng)力邊界條件都能滿足，因此，所給應(yīng)力分是是本問題的解df3x,ydf2x,zdyazdf3x,ydfiy,zaxazdf2 x, zdfiy,

17、zdxdy滿足上述三個等式，只可能每個等式的左右兩邊等于同一個常數(shù)。積分以后得f1yzu0f2xzV0f3xy0代入位移分量表達(dá)式得21uExyz U021v xEyz V21xyEz 0其中U0,V0, 0,分量分別表示位移和剛體轉(zhuǎn)動，與形變無關(guān)。多連體上各個點的位移分量都是x, y,z的線性函數(shù)，所以滿足位移單值條件。8-2設(shè)有任意形狀的空間彈性體，在全部邊界上(包括在扎洞邊界上)受有均布壓力q,試證應(yīng)力分量x y z q, yz zx xy 0能滿足一切條件，因而就是正確的解答。解：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程,s相容方程及應(yīng)力邊界條件(在上)，多連體還應(yīng)滿足位移單值條件。(1)平衡條件fx fyfz 0，很顯然，應(yīng)力分量滿足平衡微分方程(2)相容條件:y z3q，應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程。(3)應(yīng)力邊界條件?？紤]一般的應(yīng)力邊界條件：法線的方向余弦為11 m n邊