高等數(shù)學(xué)上冊課件：7-7 旋轉(zhuǎn)面、柱面

1、科學(xué)出版社第七節(jié)一、旋轉(zhuǎn)面一、旋轉(zhuǎn)面 二、柱面二、柱面旋轉(zhuǎn)面、柱面 第七七章 科學(xué)出版社定義定義. . 一、旋轉(zhuǎn)面一、旋轉(zhuǎn)面 繞其平面上一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面.該定直線L稱為旋轉(zhuǎn)軸 . .例如例如 :LC曲線C稱為母線.一條平面曲線C科學(xué)出版社建立yOz平面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為( , , ),P x y z當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,11(,)0F y z111(0,),Py zC若點(diǎn)給定 yOz平 面上曲線 C: 111(0,)Pyz1221,yyxzz則有22(, )0Fxyz則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到( , )0F y z OzyxC( , , )P x

2、 y z科學(xué)出版社思考：思考：:( , )0C F y z Oyxz22( ,)0.F yxz當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？科學(xué)出版社例例1.1. yOz平面上橢圓 22221(0)0yzababx分別繞z 軸，y 軸旋轉(zhuǎn)，2222221,xyzaab2222221xyzbab 所得曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面, 方程分別為xyzOx = sin(u) cos(v), y = sin(u) sin(v), z = 3 cos(u)xyz科學(xué)出版社xyzOxyzO例例2. 12222czax 分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解:222221xyzac繞 z 軸旋轉(zhuǎn)2222

3、21xyzac這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為xyzO求坐標(biāo)平面 xOz 上的雙曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)科學(xué)出版社例例3. yOz平面上拋物線 22(0)0ypzpx繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面，222xypz方程為xyz科學(xué)出版社xyzO例例4. 的圓錐面方程. 解解:cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz2222()zaxycota令兩邊平方L), 0(zyM試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為在yOz平面上直線L 的方程為科學(xué)出版社xyz二、柱面二、柱面實(shí)例實(shí)例. . 表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :表示圓C,

4、 222Ryx222Ryx沿圓周C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間222Ryx過此點(diǎn)作柱面.對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面C在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,O分析方程在 xOy 平面上科學(xué)出版社OxyzxyzOxyz定義定義.直線L沿著一條空間曲線 C 平行移動所成的曲面稱為柱面. 表示拋物柱面,直母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xOy平 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面面.22yx12222byax于z 軸的平面.0 yx表示直母線平行 C(且 z 軸在平面上)表示直母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, L的任

5、一位置OL叫做直母線.科學(xué)出版社xzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線是 xOz 平面上的曲線 l3.直母線柱面,準(zhǔn)線是 xOy 平面上的曲線 l1.直母線準(zhǔn)線是 yOz平面上的曲線 l2. 直母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1lOOO科學(xué)出版社例例5. . 方程22221,xyab22221xyab和22xpy 都表示母線平行于z 軸的柱面，雙曲柱面分別稱為橢圓柱面，和拋物柱面.xyzOxyzOxyzO科學(xué)出版社空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消

6、去 z 得柱面則C為0),(0),(zyxGzyxF( , )0,f x y ( , )00f x yzzyxCCO為曲線C到坐標(biāo)平面Oxy( , )0f x y 稱的投影柱面.投影柱面與坐標(biāo)平面Oxy的交線 C稱為曲線C 在坐標(biāo)平面 Oxy上的投影曲線， 科學(xué)出版社zyx1OC例如例如, ,在xOy 平面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC消去 x 得C 在yOz 平面上的投影曲線方程消去y 得C在zOx平 面上的投影曲線方程( , )00g y zx( , )00h x zy科學(xué)出版社zxy1又如又如, ,所圍的立體在 xOy 平面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xOy 平面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xOy 平面上的投影曲線所圍之域 .CO科學(xué)出版社例例6.6.求Viviani曲線2222220 xyzaxyax在三個坐標(biāo)平面上的投影曲線方程.解：解：第一個方程表示球面，222.22aaxy這是母線平行于z 軸的圓柱面，平面的投影柱面.方程不含z，第二個方程寫成所以就是曲線對xOyxayz科學(xué)出版社兩個方程相減，就消去了y，2().za xa 從這方程解出x, 代入第一個方程 ,42220.za ya