高等數學上冊課件：2-3 無窮小與無窮大

1、科學出版社二、二、 無窮大無窮大 三三 、 無窮小的比較無窮小的比較 一、一、 無窮小無窮小 第三節(jié)無窮小與無窮大 第二二章 科學出版社當一、一、 無窮小無窮小定義定義1 . 0 xx 時, 函數,0)(xf則稱函數f0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數 1x當1x時為無窮小;1lim0 ,xx 函數 x1x時為無窮小;,011limxx函數 x11當x,)x (或為時的無窮小無窮小 .時為無窮小.,)x (或若x D科學出版社注注: 1. 無窮小是一個變量的變化過程,0 xx 時, 函數,0)(xf(或 )x則稱函數)(xf為0 xx 定義定義1. 若(或 )x則 時的無窮小無窮小

2、.除 0 以外任何常數都不是無窮小 ! 不是很小的數;2.當說到無窮小時， 一定要指出自變量的變化過程.當如 x1x 時為無窮小;當1x 時不是無窮小.科學出版社定理定理1.1.1) 有限個無窮小的和仍是無窮??；2) 任意個無窮小的乘積仍是無窮??；3) 無窮小與有界變量的乘積仍是無窮??； 4) 無窮小與極限不為零的變量的商仍是無窮小.證：證： 設00lim( )0,lim( )0,0,xxxxf xg xbb則0( )lim0( )xxf xg x由局部保號性，0,當00(; )xUx時，有( )0,2bg x 即120( )g xb有界.所以( )1( )( )( )f xf xg xg x

3、是無窮小與有界變量的乘積，( )( )f xg x仍是無窮小.存在 由 3) 其余證明留作習題.科學出版社其中 為0 xx時的無窮小 . 定理定理 2 . ( 無窮小與函數極限的關系 )0lim( )xxf xA Axf)(,證證:0lim( ),xxf xA( ),f xA對自變量的其他變化過程類似可證 .令設0lim( )xxf xA（）0lim( )0 xxf xA( ),f xA()()0lim0 xx則則00lim( )limxxxxf xAA科學出版社lim ( ),lim ( ),f xAg xB則有l(wèi)im ( ) ( )f x g x lim( ) lim ( )f xg x證

4、證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為同一變化過程的無窮小) 于是( )( )() ()f xg xAB()ABAB由定理 1 可知()AB也是無窮小, 再利用極限A B與無窮小的關系定理 , 知定理結論成立 .定理定理. 若利用定理2很容易證明極限運算法則.如乘法法則：注注.科學出版社31lime0.xxx計算：311) lime;xxx2012)limsin.xxx解：解： 1) 因為31lim0,xx所以2) 因為20lim0,xx1sinx在0(0;1)U中有界,所以201limsin0.xxx同理01limsin0,kxxx例例1.01limc

5、os0(0).kxxkxlim e0,xx科學出版社( )f xM 定義定義2 . 若任給任給 M 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數f當0 xx 時為正無窮大, 使對0lim( )xxf x 若在定義2中將 (1)式改為(1)則記作0()lim( )xxxf x()xX()x (lim( ).xf x (正數正數 X ) ,記作( ),f xM 總存在|( )|,f xM稱函數 f 為無窮大,但極限不一定存在, 不宜寫成lim f(x) =的形式科學出版社注注:1. 無窮大不是很大的數, 它是描述函數的一種狀態(tài).2. 函數為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例

6、如, 函數),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n當2n但0)(2 nf,時所以x)(xf不是無窮大 !xxycosOxy科學出版社無窮小與無窮大的關系：無窮小與無窮大的關系：若)(xf為無窮大,1( )f x為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且( )0,f x 則1( )f x為無窮大.則證明略這樣, 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.定理定理3. 注注:在自變量的同一變化過程中,科學出版社例例2. 11x證證:要使1,1Mx即11,xM只要取,1M則對滿足0( 1)1xx 的一切 x , 111x證畢任給正數 M ,證明有,M當x -1時是無窮大科學出版社0 0(0,)a b

7、m n010111lim11nnxmmaaaxxbbbxx求101101lim,nnnmmxma xa xab xb xb中其解解: 若,nm101101limnnnnnxma xa xab xb xb若,nm101101limnnnmmxma xa xab xb xb01101111lim11nm nm nmxmmaaaxxxbbbxx 例例3.01101111limlimlim011limlimnm nm nmxxxmmxxaaaxxxbbbxx 00.ab科學出版社若,nm11()0101110101nnnn mnnmmmmma xa xaaa xa xxb xb xbbb xb x 故

8、 1()010010100limlimsgn()nnn mnmmxxma xa xaaaxb xb xbbb科學出版社三、無窮小的比較三、無窮小的比較,0時x23, sin2 ,xxxx都是無窮小,0sin2limxxx2,30limxxx, 20limxxx0,但 所以，雖然都是無窮小，有慢, 甚至相差很大,個評判標準.因此需要對無窮小的量級建立一但是趨于0 的速度還是有快科學出版社lim0,kl lim0,1) 若則稱 是比 高階的無窮小,( )olim, 4) 若2) 若3) 若lim0,l ,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則

9、稱 是關于 的 k 階無窮小;稱 是 的等價無窮小, 記作定義定義3.特別的,當 l =1時,5) 是比 高階的無窮小等價于 是比 低階的無窮小.或科學出版社當0 x時sin;xxtan;xx211cos2xx根據前面已知的極限，可以得到下面等價無窮小：例例4.4.0.y 證明: 當0 x時,1) arcsin ;xx2) ln(1);xx3) e1.xx證：證： 1) 令arcsin ,yx則sin ,xy0 x且時,于是0arcsinlimxxx0limsinyyy1.所以 arcsin .xx0 x 科學出版社0 x (3) e1xx3) 令e1,xy ln(1),xy0.y 0 x且時

10、,于是0e1limxxx0limln(1)yyy101limln(1)yyy1所以e1.xx2) ln(1)xx0 x 2) 根據復合函數的極限運算法則，0ln(1)limxxx10lim ln(1)xxxlne1所以ln(1).xx有0 x 0 x 科學出版社例例5. 證明: 當0 x時,11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0時當 x11nxxn1nnab)(ba1(naban 2)1nb1x分子科學出版社定理定理4 . 設1,1,lim11lim.證證:lim1lim1111lim11lim1lim11lim例如例如,0tan2limsin5xxx02lim5xxx5211lim存在 , 則11, 都是同一自變量變化過程中的無窮小，且科學出版社例例6. 53230() sin21) lim;tanxxxxx解解:,0時當xsin2 2 ;xx33tanxx53230() sin2limtanxxxxx3333002limlim2xxxxxxx253230() 2limxxxxx計算因為科學出版社220sin (e1)2) lim;ln(12 )xxxxx解：解：2sin (e1)xx2sin ()xx3,x,0時當x2ln(12 )xx32.x所以220sin (e1)limln(12 )x