高等數(shù)學(xué)上冊(cè)課件：2-3 無(wú)窮小與無(wú)窮大

1、科學(xué)出版社二、二、 無(wú)窮大無(wú)窮大 三三 、 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較 一、一、 無(wú)窮小無(wú)窮小 第三節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大 第二二章 科學(xué)出版社當(dāng)一、一、 無(wú)窮小無(wú)窮小定義定義1 . 0 xx 時(shí), 函數(shù),0)(xf則稱函數(shù)f0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時(shí)為無(wú)窮小;1lim0 ,xx 函數(shù) x1x時(shí)為無(wú)窮小;,011limxx函數(shù) x11當(dāng)x,)x (或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小 .時(shí)為無(wú)窮小.,)x (或若x D科學(xué)出版社注注: 1. 無(wú)窮小是一個(gè)變量的變化過(guò)程,0 xx 時(shí), 函數(shù),0)(xf(或 )x則稱函數(shù))(xf為0 xx 定義定義1. 若(或 )x則 時(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小

2、.除 0 以外任何常數(shù)都不是無(wú)窮小 ! 不是很小的數(shù);2.當(dāng)說(shuō)到無(wú)窮小時(shí)， 一定要指出自變量的變化過(guò)程.當(dāng)如 x1x 時(shí)為無(wú)窮小;當(dāng)1x 時(shí)不是無(wú)窮小.科學(xué)出版社定理定理1.1.1) 有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮??；2) 任意個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小；3) 無(wú)窮小與有界變量的乘積仍是無(wú)窮?。?4) 無(wú)窮小與極限不為零的變量的商仍是無(wú)窮小.證：證： 設(shè)00lim( )0,lim( )0,0,xxxxf xg xbb則0( )lim0( )xxf xg x由局部保號(hào)性，0,當(dāng)00(; )xUx時(shí)，有( )0,2bg x 即120( )g xb有界.所以( )1( )( )( )f xf xg xg x

3、是無(wú)窮小與有界變量的乘積，( )( )f xg x仍是無(wú)窮小.存在 由 3) 其余證明留作習(xí)題.科學(xué)出版社其中 為0 xx時(shí)的無(wú)窮小 . 定理定理 2 . ( 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )0lim( )xxf xA Axf)(,證證:0lim( ),xxf xA( ),f xA對(duì)自變量的其他變化過(guò)程類似可證 .令設(shè)0lim( )xxf xA（）0lim( )0 xxf xA( ),f xA()()0lim0 xx則則00lim( )limxxxxf xAA科學(xué)出版社lim ( ),lim ( ),f xAg xB則有l(wèi)im ( ) ( )f x g x lim( ) lim ( )f xg x證

4、證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為同一變化過(guò)程的無(wú)窮小) 于是( )( )() ()f xg xAB()ABAB由定理 1 可知()AB也是無(wú)窮小, 再利用極限A B與無(wú)窮小的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理. 若利用定理2很容易證明極限運(yùn)算法則.如乘法法則：注注.科學(xué)出版社31lime0.xxx計(jì)算：311) lime;xxx2012)limsin.xxx解：解： 1) 因?yàn)?1lim0,xx所以2) 因?yàn)?0lim0,xx1sinx在0(0;1)U中有界,所以201limsin0.xxx同理01limsin0,kxxx例例1.01limc

5、os0(0).kxxkxlim e0,xx科學(xué)出版社( )f xM 定義定義2 . 若任給任給 M 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù)f當(dāng)0 xx 時(shí)為正無(wú)窮大, 使對(duì)0lim( )xxf x 若在定義2中將 (1)式改為(1)則記作0()lim( )xxxf x()xX()x (lim( ).xf x (正數(shù)正數(shù) X ) ,記作( ),f xM 總存在|( )|,f xM稱函數(shù) f 為無(wú)窮大,但極限不一定存在, 不宜寫(xiě)成lim f(x) =的形式科學(xué)出版社注注:1. 無(wú)窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無(wú)窮大 , 必定無(wú)界 . 但反之不真 !例如例

6、如, 函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n當(dāng)2n但0)(2 nf,時(shí)所以x)(xf不是無(wú)窮大 !xxycosOxy科學(xué)出版社無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：若)(xf為無(wú)窮大,1( )f x為無(wú)窮小 ;若)(xf為無(wú)窮小, 且( )0,f x 則1( )f x為無(wú)窮大.則證明略這樣, 關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 無(wú)窮小來(lái)討論.定理定理3. 注注:在自變量的同一變化過(guò)程中,科學(xué)出版社例例2. 11x證證:要使1,1Mx即11,xM只要取,1M則對(duì)滿足0( 1)1xx 的一切 x , 111x證畢任給正數(shù) M ,證明有,M當(dāng)x -1時(shí)是無(wú)窮大科學(xué)出版社0 0(0,)a b

7、m n010111lim11nnxmmaaaxxbbbxx求101101lim,nnnmmxma xa xab xb xb中其解解: 若,nm101101limnnnnnxma xa xab xb xb若,nm101101limnnnmmxma xa xab xb xb01101111lim11nm nm nmxmmaaaxxxbbbxx 例例3.01101111limlimlim011limlimnm nm nmxxxmmxxaaaxxxbbbxx 00.ab科學(xué)出版社若,nm11()0101110101nnnn mnnmmmmma xa xaaa xa xxb xb xbbb xb x 故

8、 1()010010100limlimsgn()nnn mnmmxxma xa xaaaxb xb xbbb科學(xué)出版社三、無(wú)窮小的比較三、無(wú)窮小的比較,0時(shí)x23, sin2 ,xxxx都是無(wú)窮小,0sin2limxxx2,30limxxx, 20limxxx0,但 所以，雖然都是無(wú)窮小，有慢, 甚至相差很大,個(gè)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).因此需要對(duì)無(wú)窮小的量級(jí)建立一但是趨于0 的速度還是有快科學(xué)出版社lim0,kl lim0,1) 若則稱 是比 高階的無(wú)窮小,( )olim, 4) 若2) 若3) 若lim0,l ,設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱 是比 低階的無(wú)窮小;則稱 是 的同階同階無(wú)窮小;則

9、稱 是關(guān)于 的 k 階無(wú)窮小;稱 是 的等價(jià)無(wú)窮小, 記作定義定義3.特別的,當(dāng) l =1時(shí),5) 是比 高階的無(wú)窮小等價(jià)于 是比 低階的無(wú)窮小.或科學(xué)出版社當(dāng)0 x時(shí)sin;xxtan;xx211cos2xx根據(jù)前面已知的極限，可以得到下面等價(jià)無(wú)窮?。豪?.4.0.y 證明: 當(dāng)0 x時(shí),1) arcsin ;xx2) ln(1);xx3) e1.xx證：證： 1) 令arcsin ,yx則sin ,xy0 x且時(shí),于是0arcsinlimxxx0limsinyyy1.所以 arcsin .xx0 x 科學(xué)出版社0 x (3) e1xx3) 令e1,xy ln(1),xy0.y 0 x且時(shí)

10、,于是0e1limxxx0limln(1)yyy101limln(1)yyy1所以e1.xx2) ln(1)xx0 x 2) 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，0ln(1)limxxx10lim ln(1)xxxlne1所以ln(1).xx有0 x 0 x 科學(xué)出版社例例5. 證明: 當(dāng)0 x時(shí),11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnab)(ba1(naban 2)1nb1x分子科學(xué)出版社定理定理4 . 設(shè)1,1,lim11lim.證證:lim1lim1111lim11lim1lim11lim例如例如,0tan2limsin5xxx02lim5xxx5211lim存在 , 則11, 都是同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且科學(xué)出版社例例6. 53230() sin21) lim;tanxxxxx解解:,0時(shí)當(dāng)xsin2 2 ;xx33tanxx53230() sin2limtanxxxxx3333002limlim2xxxxxxx253230() 2limxxxxx計(jì)算因?yàn)榭茖W(xué)出版社220sin (e1)2) lim;ln(12 )xxxxx解：解：2sin (e1)xx2sin ()xx3,x,0時(shí)當(dāng)x2ln(12 )xx32.x所以220sin (e1)limln(12 )x