86多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

1、8.6 8.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線和法平面一、空間曲線的切線和法平面定義定義設(shè)設(shè) m 是空間曲線是空間曲線 l 上的一個(gè)定點(diǎn)上的一個(gè)定點(diǎn), m*是是 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)當(dāng)m* 沿曲線沿曲線 l 趨于趨于m 時(shí)時(shí) , 割線割線mm* 的極限位置的極限位置 mt （如果極（如果極限存在）限存在） 稱(chēng)為曲線稱(chēng)為曲線 l 在在 m 處的切線處的切線下面我們來(lái)導(dǎo)出空間曲線的切線方程下面我們來(lái)導(dǎo)出空間曲線的切線方程。設(shè)空間曲線的方程。設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).且且導(dǎo)數(shù)不同

2、時(shí)為零導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零;),(0000ttzyxm 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于設(shè)設(shè).),(0000*tttzzyyxxm 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于ozyxm*.m的的方方程程割割線線*mmzzzyyyxxx 000ozyxm*.m考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過(guò)程切線的過(guò)程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)tmm 曲線在曲線在m處的處的切線切線方程方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切向量：切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：法平面：過(guò)過(guò) m0 點(diǎn)且與

3、切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,)()( xzxy 取取 x 為參數(shù)為參數(shù),),(000處處在在zyxm切線方程為切線方程為,)()(100000 xzzxyyxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(00000 zzxyyxxx ?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,0),(0),( zyxgzyxf例例 2 2 求曲線求曲線6222 zyx，0 zyx在在點(diǎn)點(diǎn))1,

4、2, 1( 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程.二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線。設(shè)曲面方程為。設(shè)曲面方程為0),( zyxfntm),(),(),(000tttt ,)()()(: tztytx 在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)m 的曲的曲線線),(000zyx切線方程為切線方程為)()()(000000tzztyytxx 曲線在曲線在m( )處的切向量處的切向量0tt 下面證明下面證明:此平面稱(chēng)為此平面稱(chēng)為 在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的切平面切平面. 上過(guò)點(diǎn)上過(guò)點(diǎn) m 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上在同一平面上. 令令),(),(),(000

5、000000zyxfzyxfzyxfnzyx 證證:在在 上上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttf,0處求導(dǎo)處求導(dǎo)兩邊在兩邊在tt ,0mtt對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)注意注意 得)(, )(, )(000tttt)(0t)(0t)(0t0),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfznt 切向量由于曲線由于曲線 的任意性的任意性 , 表明這些切線都在以表明這些切線都在以為法向量為法向量n的平面上的平面上 , 從而切平面存在從而切平面存在 .切平面切平面方程為方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfz

6、yx 通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱(chēng)稱(chēng)為為曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線.法線法線方程為方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的法向量法向量. .曲面在曲面在m處的法向量即處的法向量即),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx ?？臻g曲面方程為。空間曲面方程為),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxf 曲面在曲面在m處的處的切平面切平面方程為方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxx

7、yxfyx 曲面在曲面在m處的處的法線法線方程為方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖趍處的切平面方程為處的切平面方程為)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量.法向量法向量2211cosyxff將將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法

8、向量的法向量的方向余弦：方向余弦：分別記為分別記為則則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff,用用表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向.為銳角則向上向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx 例例 3 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面122 yxz在點(diǎn)在點(diǎn))4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程.例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的的切平面方程切平面方

9、程. 例例6 在橢球面在橢球面 上求一點(diǎn)，上求一點(diǎn)，1222222 czbyax使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxf則則2222,2,2czfbyfaxfzyx 2020202,2,2czbyax注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的點(diǎn)為所求的點(diǎn)為),(000zyxp的法線的方向向量為的法線的方向向量為 故橢球面上任一點(diǎn)故橢球面

10、上任一點(diǎn)練習(xí)練習(xí) 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .解解設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)),(000zyx,2,2,6000zyxn 已知平面的法向量為已知平面的法向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點(diǎn)滿(mǎn)足曲面和平面方程切點(diǎn)滿(mǎn)足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 依題意依題意2)曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（求法向量的方向余弦時(shí)注意（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)符號(hào)）三、小結(jié)三、小結(jié)1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采用用推導(dǎo)法推導(dǎo)法） 作業(yè)作業(yè) p45： 2；3；4；5；8；9 p73： 10；11；12求曲線0453203222zyxxzyx