一元函數(shù)微分學(xué)總結(jié)

1、二、典型例題分析與解答二、典型例題分析與解答 第二、三章機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一元函數(shù)微分學(xué)總結(jié)一、知識點與考點一、知識點與考點 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、知識點與考點一、知識點與考點(一)導(dǎo)數(shù)與微分00000()()()limx xxf xxf xdyf x|dxx若令0 xxx1.導(dǎo)數(shù)定義:則0000( )()()limxxf xf xf xxx0( )(0)(0)limxf xff x2.左右導(dǎo)數(shù):0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xf xxxx0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf

2、xf xf xxxx左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0()( )( ) = limxf xxf xf xx00() =( )x=xf xf x |.導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù),且有函數(shù) y = f (x) 在點4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:0()f x處的導(dǎo)數(shù)0 x表示曲線y = f (x)在點處的切線斜率.00()M x ,y即有0() = tanf x.曲線的切線方程為000()().yyf xxx3.導(dǎo)函數(shù)的定義:曲線的法線方程為00001()()0 .() yyxxf xf x （）yxo0y0 x00()M x ,yTN 是 x0時比x 高階的無窮小量,并稱Ax為f (x)在其中A是與

3、x 無關(guān)的量,若函數(shù)的增量可表示為y=Ax+ ,則稱 y = f (x) 在點 x 處可微 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 記為dy , 即dy=Ax .5.微分的定義:由于x=dx ,所以( ),Af x6.微分的幾何意義:( )dyf x dx.點 x 處的微分,yxoxTxxdyy當(dāng)y是曲線y = f (x) 上點的縱坐標(biāo)的增量時, dy表示曲線的切線縱坐標(biāo)的增量.7.基本定理定理1(導(dǎo)數(shù)存在的判定定理)定理2(函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù),但連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo).可導(dǎo)000()()().-+f xf x= f x定理4.(函數(shù)與其反函數(shù)的導(dǎo)

4、數(shù)的關(guān)系)可微1dxdydydx反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).定理3.(函數(shù)一階可導(dǎo)與可微的關(guān)系)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (5)(6)(7)設(shè) ( )yf u及dydy du,dxdu dx ( )yfx(4) ( )dyf u du均為可導(dǎo)函數(shù), 則復(fù)合函數(shù) 可導(dǎo), 且或 (微分形式不變性)2( )uuvuv =vv2( )uvduudvd=vv()cu = cu()d cu = cdu2( )ccv =vv2( )ccdvd=vv()uvw =uvw+uvw+uvw()d uvw = vwdu+uwdv+uvdw( )u=x( )( )xuxy = yuf u x8.運算

5、法則(1)()uv =uv()d uv = dudv()u v =uv+uv()d u v = vdu+udv(3)(2) 9.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式(3)(1)( )0C = .(2)(4)(8)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1(ln )x .x1() =-d xxdx.( ) = 0d C(ln )dxdx.x()lnxxaaa.1() =-xx.(5)(6)(7)()lnxxd aaadx.()xxe e .()xxd ee dx.1(log)lnax .x a(log)lnadxdx.x a(sin )cosx x.(sin )cosdxxdx.(cos )sinx x.

6、(cos )sin dxxdx.(9)221(tan )=seccosxx.x22(tan ) =seccosdxdxxdx.x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (10)(11)(14)(15)(12)(13)221(cot )=cscsinxx.x 22(cot ) =cscsindxdxxdx.x (sec )sec tanxxx.(sec )sec tandxxxdx.(csc )csc cotxxx. (csc )csc cot dxxxdx.21(arcsin )1x.x2(arcsin )1dxdx.x21(arccos )1x.x 2(arccos )1dxdx.x 21(ar

7、ctan )1x.x2(arctan )1dxdx.x(16)21(arccot )1x.x 2(arccot )1 dxdx.x(17)221ln(1)1xx.x10.高階導(dǎo)數(shù)220()( )limxd yf xxf xydxx1110()( )limn( n)( n)( n )( n)nxd yfxxfxyydxx例例1. 設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx06lim200 )0(fxxx012lim200 )

8、(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11.方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例2.設(shè)函數(shù) y= y (x) 由方程確定,dydx.求cos()0 x yexy解法1:方程兩邊對x 求導(dǎo)數(shù)得:(1)sin()()0,x+yeyxyyxy解得sin()sin()x yx ydyyxye.dxexxy方程兩邊微分得:解法2:()sin()()0 x yedxdyxyydxxdy,sin()sin()x yx ydyyxye.dxexxy解得:sin() sin()x yx+yexxy dyyxyedx, 12.參

9、數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例3. 設(shè)求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21xt cosyt22d y.dx2,dxtdtsin, dytdtsin2dytdtdxtdt1 sin2t.t 22d ydx解:()ddydx dx1 sin()2dtdxt1 sin()2dt dtdttdx21 cossin 122ttttt 3sincos4tttt13.對數(shù)求導(dǎo)法:求“冪指函數(shù)”及多個因子相乘除函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時用對數(shù)求導(dǎo)法.解法解法1:取對數(shù)取對數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sinlnlnxyx1sincos lnxyx xyxsinsin(cos ln).xxyxx xx等式兩邊對 x

10、 求導(dǎo)數(shù):則有:sin lnx x例例4. 設(shè)sin(0),xyxxy.求解法解法2: 作作指數(shù)對數(shù)恒等變形指數(shù)對數(shù)恒等變形:sinsinln()sin ln=,xxxxxyxeesin ln= ()xxyesin ln=(sinln )xxexxsin1=(coslnsin).xxxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 425(1)2(3)xxyx123ln1ln(2)ln345ln yxxx例例5.設(shè)則有131214(2)5(3)yyxxx解解y.求取對數(shù)等式兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù):3 425(1)231214(2)5(3)(3)xxyxxxx(二) 中值定理機動 目錄 上頁 下頁 返

11、回 結(jié)束 1.羅爾定理(1)在閉區(qū)間a , b上連續(xù);(3) 且 f (a) = f (b) ;成立.(2)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)可導(dǎo);若函數(shù) f (x) 滿足條件:則在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點 使2.拉格朗日中值定理 若函數(shù) f (x) 滿足條件:(1)在閉區(qū)間a , b上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)可導(dǎo);則在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點 使等式( )0f .( )( )( )()()f bf af baab3. 柯西中值定理機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0;F(x)成立.( )( )( )()( )( )( )f bf af abF bF aF若函數(shù) f (

12、x) ,F (x) 滿足條件:(1)在閉區(qū)間a , b上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)可導(dǎo)且則在開區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點 使等式(三)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理1 設(shè)函數(shù) f (x)在(a , b)內(nèi)可導(dǎo),1. 函數(shù)的單調(diào)性()xa,b 若對都有( )0( )0),f xf x或則稱 f (x)在(a , b)內(nèi)單調(diào)增(減) .2.函數(shù)的極值0( )()f xf x設(shè)函數(shù) f (x) 在0 x內(nèi)有定義, x 為該鄰域內(nèi)異于機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0()U x的任意一點,若恒有(或0( )()f xf x則稱為 f (x) 在該鄰域的極大(小)值.0()f x極大值與極小值統(tǒng)稱為

13、函數(shù)的極值,方程使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理2. (函數(shù)取得極值的必要條件) 的根稱為函數(shù) f (x) 的駐點.則有設(shè)函數(shù) f (x)在點 處可導(dǎo),(可導(dǎo)函數(shù)的極值點必為駐點)( ) = 0f x0() = 0.f x且在該點處取得極值,0 x定理3.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (函數(shù)取得極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù) f (x)在內(nèi)可導(dǎo),0()U x0() = 0,f x且(或 f (x)在點0 x處連續(xù)但不可導(dǎo)).(1) 若當(dāng)x 由左至右經(jīng)過0 x時( )f x由“+”變“”,則0()f x為函數(shù)的極大值.(2)若當(dāng)x由左至右經(jīng)過時由“-”變“+”,(3) 若當(dāng)x由左至右經(jīng)過為函

14、數(shù)的極小值.則0 x( )f x則不變號,不是0()f x0 x時( )f x0()f x函數(shù)的極值.定理4機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (函數(shù)取得極值的第二充分條件)設(shè)函數(shù) f (x)在0 x處0()0,f x0() = 0,f x且(1) 若0()0,f x則0()f x為函數(shù) f (x)的極大值.(2) 若0()0,f x則0()f x為函數(shù) f (x)的極小值.3.函數(shù)的最值求連續(xù)函數(shù) f (x)在a , b上的最值的步驟:(1).求 f (x)在(a , b) 內(nèi)的駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點;(2).求出這些點的函數(shù)值及區(qū)間端點的函數(shù)值;(3).比較上述函數(shù)值, 其中最大者為最大值,

15、最小者為最大值.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12x ,x恒有1212()()22xxf xf xf(弧在弦的下方)(或則稱曲線 f (x)在(a , b)內(nèi)為凹(凸)弧.曲線上凹弧與凸弧的分界點4.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點設(shè)函數(shù) f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù),若對于(a , b)內(nèi)任意兩點1212()()22xxf xf xf(弧在弦的上方)xyoxyo1x2x122xxxyo1x2x122xx稱為曲線的拐點.定理1.(曲線凹凸性的判定定理)( ) 0,( )0)f xf x 或若在(a , b)上機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則曲線 y = f (x) 在00() = 0()

16、,f xf x或不存在0 x當(dāng)x 自左至右經(jīng)過定理2.(曲線拐點的判定定理) 若在處0 x時( )f x變號, 則00()x , f x是曲線y = f (x) 的拐點.(a , b) 上為凹(凸)弧.二二典型例題分析與解答應(yīng)填1.1已知則(3)2f ,0(3)(3)lim2hfhf_.h013()(3)lim2hfhf=h 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 0(3)(3)lim2hfhfh1(3)2f 注釋注釋: 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.122 1. 例例6.設(shè)例例7.2,1( ),1xexf xaxb x在在處可導(dǎo)處可導(dǎo),求求, .a b1x 解解:( )f x 在在1x 處處連續(xù)連

17、續(xù)且且可導(dǎo)可導(dǎo),即即(1 )(1 )(1),(1)(1).fffff211(1)lim( )lim,xxxff xee11(1 )lim( )lim(),xxff xaxbab(1 )(1)(1 ), (1) .abefff 由由2211(1)limlim22 ,1xxxxeefxeex11(1)limlim.11xxaxbeaxbabfaxx由由(1)(1)2 (2).fefa再代入再代入(1)得得.ae 例例8. 設(shè)f (x)可導(dǎo),( )( )(1sin )F xf x|x|則是F (x)在x=0可導(dǎo)的( ).(A) 充分必要條件 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (0)0f(B) 充

18、分條件但非必要條件;(C) 必要條件但非充分條件;解解:直接計算解此題.由于A(D) 既非充分條件又非必要條件.( ) sinf x |x|而f (x)可導(dǎo),所以F (x)的可導(dǎo)性與( )( )(1sin )F xf x|x|的可導(dǎo)性相同.=( )+( )|sin |,f xf xx故選項(A)正確. (x)在 x = 0 處可導(dǎo)的充分必要條件是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0( ) sin(0) = limxf x |x|x注釋注釋:即f (0) = 0 .本題考查函數(shù)在一點處可導(dǎo)的充要條件.0( )sin= limxf xxx(0)f0( ) sin(0) = limxf x |x|

19、x0( )sin= limxf xxx(0)f (0) =(0),ff令( )( ) sinxf x |x|由導(dǎo)數(shù)的定義知解題過程中化簡題目的解題技巧應(yīng)注意掌握.0= lim( )xf x0=lim( )xf x例例9 曲線在點(0,1)處的切線方程是_.曲線在點(0,1)的切線方程為解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注釋注釋: ( ) 1cos()( )1y xxyyxy x.yx兩邊對x求導(dǎo)得:(0)1y.1yx. 1yx.即為sin()ln()xyyxx將 x = 0, y = 1 代入式得:本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.1yx.例例10 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )yy x由方程

20、由方程1xyyxe 確定確定,求求(0),(0).yy解解 由由( )( ), (1)xyxyy xexeyxy x( )( )( )xyxyy xeyxy xeyxy x( )( )(2( )( ),(2)xyxyxeyxy xyxy xxey xxy x0011()( )1.xyxyxxyyeeyxy x由原方程得由原方程得0,1,xy代入代入(1)得得(0)1,y再將再將0,1,xy(0)1,y代入代入(2)得得(0)2.y注釋注釋 本題考查求隱函數(shù)在求隱函數(shù)在一點一點處的一階、二階導(dǎo)數(shù)處的一階、二階導(dǎo)數(shù).注意求導(dǎo)數(shù)時注意求導(dǎo)數(shù)時,不必寫出導(dǎo)函數(shù)不必寫出導(dǎo)函數(shù).機動 目錄 上頁 下頁 返

21、回 結(jié)束 例例1111 證明方程證明方程cbacxbxax 23423在在(0,1)(0,1)內(nèi)至少有一實根內(nèi)至少有一實根 分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff則則的符號不易判別的符號不易判別不便使用介值定理不便使用介值定理用用 RolleRolle 定理來證定理來證證證 令令xcbacxbxaxxf)()(234 則則內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)，上連續(xù)，在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0)1()0( ff故由故由RolleRolle 定理知定理知0)()1 , 0( f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)(0,1)內(nèi)有一實根內(nèi)有一實根

22、例例12.處( ).設(shè)y=f (x)是方程則函數(shù)f (x)在點且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (C) 某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(B) 取得極小值;的一個解,(A) 取得極大值;解解: :240yyy0()0f x,0() = 0f x,0 x(D) 某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.由于y = f (x) 是方程240yyy的一個解,所以有( )2( )4 ( )0f xf xf x.即有000()2()4 () = 0f xf xf x.將0()0f x,0() = 0f x代入上式得00() =4 () 0f xf x.所以函數(shù)f (x)在點0 x處取得極大值.A選項(A)正確.機動 目錄 上頁 下頁 返

23、回 結(jié)束 例例13.且設(shè) f (x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則( ).(A) f (0) 是 f (x)的極大值;(0)0f ,0( )lim1xf x,|x|(B) f (0) 是 f (x)的極小值;(C) (0,f (0) )是曲線y= f (x)的拐點;(D) f (0)不是 f (x) 的極值點,(0,f (0) )也不是曲線y= f (x)的拐點.解解:由于0( )lim10 xf x,|x| 由極限的保號性知存在 x= 0的某去心鄰域,在此鄰域內(nèi)有( )0f x,|x|即有( )0f x.B即有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于0( )(0)(0)lim0 xf xf f .x當(dāng)x

24、 0時, ( ) 0,f x函數(shù) f (x)單調(diào)增.故選項(B)正確.例例14.由于x =1 是 (x)在(0,+)21( ) = 2ln +1+ xx.x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )0,x則 (x) 在x=1處取得極小值.又 (1) = 0 ,即則當(dāng)x 0 時,(1) = 2 0,則 (x) 在x=1處取得區(qū)間(0,+)22(1)ln(1)xxx.試證:當(dāng)x 0 時,22(1)ln(1)xxx.證證: 令 22( ) = (1)ln(1)xxxx.易知 (1) = 0 .1( ) = 2 ln2(1) xx xxxx1= 2 ln2x xx.x(1) = 0.內(nèi)的唯一的極小值點,上的最小值.證畢.例例15. 求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20sin1lim11xxex.x解法一解法一原式=02coslim1xxexxx221112x x ,則注釋注釋:本題考查洛必達法則求未定式極限.由于x0時,0coslimxxexx0sinlim1xxex1.解法二解法二原式=20sin1lim12xxexx0coslimxxexx0sinlim1xxex1.解法2先對分母用等價無窮小代換,再用洛必達法則.例例16.原式=解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注釋注釋:20