韋達定理及其應(yīng)用

1、 韋達定理及其應(yīng)用一、 知識要點1、若一元二次方程中，兩根為，。則，；補充公式2、以，為兩根的方程為3、用韋達定理分解因式二、 例題1、 不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差：（1） （2） （3）2、 已知關(guān)于的方程，是否存有負數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存有，求出滿足條件的的值；若不存有，說明理由。3、 已知方程，作一個新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數(shù)。4、 解方程組5、 分解因式：（1） （2）三、 練習(xí)1、 在關(guān)于的方程中，（1）當(dāng)兩根互為相反數(shù)時的值；（2）當(dāng)一根為零時的值；（3）當(dāng)兩根互為倒數(shù)時的值2、 求出以一元二次方程的兩根的和與兩根的積為根

2、的一元二次方程。3、 解方程組4、 分解因式（1）= （2）四、 聰明題1、 已知一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足，分別是的，的對邊。（1）證明方程的兩個根都是正根；（2）若，求的度數(shù)。2、在中，斜邊AB=10，直角邊AC，BC的長是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，求的值。韋達定理的應(yīng)用：1.已知方程的一個根，求另一個根和未知系數(shù)2.求與已知方程的兩個根相關(guān)的代數(shù)式的值3.已知方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中 字母系數(shù)的值4.已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)5.已知方程的兩根x1，x2 ，求作一個新的一元二次 方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =06.利用求根公式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式ax2+bx+c

3、= a(x- x1)(x- x2) 題1： （1）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，則k= _（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的兩個根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)= _解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a5b=30ab解法二：由題意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a

4、- 2000a)（2005b - 2000b) =6a5b=30abab=1， a+b=-200 （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) b( a +2005+b) =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab解法三：由題意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a5b=30a

5、b題2：已知：等腰三角形的兩條邊a,b是方程x2-（k+2）x+2 k =0的兩個實數(shù)根,另一條邊c=1，求：k的值。淺談韋達定理在解題中的應(yīng)用 韋達定理是反映一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的重要定理縱觀近年各省、市的中考(競賽)試題能夠發(fā)現(xiàn)，關(guān)于涉及此定理的題目屢見不鮮，且條件隱蔽在證(解)題時，學(xué)生往往因未看出題目中所隱含的韋達定理的條件而導(dǎo)致思路閉塞，或解法呆板，過程繁瑣冗長下面舉例談?wù)勴f達定理在解題中的應(yīng)用，供大家參考一、直接應(yīng)用韋達定理若已知條件或待證結(jié)論中含有ab和a·b形式的式子，可考慮直接應(yīng)用韋達定理例1 在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，D是AB邊上一點，且B

6、CDC，設(shè)ADd求證：(1)cd2bcosA；(2)c·db2a2分析：觀察所要證明的結(jié)論，自然可聯(lián)想到韋達定理，從而構(gòu)造一元二次方程實行證明證明：如圖，在ABC和ADC中，由余弦定理，有a2b2c22bccosA；a2b2d22bdcosA(CDBCa) c22bccosAb2a20，d22bdcosAb2a20于是，c、d是方程x22bxcosAb2a20的兩個根由韋達定理，有cd2bcosA，c·db2a2例2 已知aa210，bb210，ab，求abab的值分析：顯然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可視為該一元二次方程的兩個根再觀察待求式的結(jié)構(gòu)，容易想到

7、直接應(yīng)用韋達定理求解解：由已知可構(gòu)造一個一元二次方程x2x1=0，其二根為a、b由韋達定理，得ab1，a·b1故abab2二、先恒等變形，再應(yīng)用韋達定理若已知條件或待證結(jié)論，經(jīng)過恒等變形或換元等方法，構(gòu)造出形如ab、a·b形式的式子，則可考慮應(yīng)用韋達定理例3 若實數(shù)x、y、z滿足x6y，z2xy9求證：xy證明：將已知二式變形為xy6，xyz29由韋達定理知x、y是方程u26u(z29)0的兩個根 x、y是實數(shù)，364z2360則z20，又z為實數(shù)，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy由已知二式，易知x、y是t23t80的兩個根，由韋達定理三、已知一元二

8、次方程兩根的關(guān)系(或系數(shù)關(guān)系)求系數(shù)關(guān)系(或求兩根的關(guān)系)，可考慮用韋達定理例5 已知方程x2pxq0的二根之比為12，方程的判別式的值為1求p與q之值，解此方程解：設(shè)x2pxq0的兩根為a、2a，則由韋達定理，有a2aP， a·2aq， P24q1 把、代入，得(3a)24×2a21，即9a28a21，于是a=±1 方程為x23x20或x23x20解得x11，x22，或x11，x22例6 設(shè)方程x2pxq0的兩根之差等于方程x2qxp0的兩根之差，求證：pq或pq4證明：設(shè)方程x2pxq0的兩根為、，x2qxP0的兩根為、由題意知，故有222222從而有()24()24把代入，有p24qq24p，即p2q24p4q0，即(pq)(pq)4(pq)0，即(pq)(pq4)0故pq0或pq40，即pq或pq4四、關(guān)于兩個一元二次方程有公共根的題目，可考慮用韋達定理例7 m為問值時，方程x2mx30與方程x24x(m1)0有一個公共根？并求出這個公共根