合肥工業(yè)大學-高等數(shù)學之線性代數(shù)第一章

1、第一章第一章第一節(jié)第一節(jié) 二階與三階行列式二階與三階行列式用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x例1;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當當021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.2

2、11222112112112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定.一、二階行列式一、二階行列式 111211 2212 212122.aaa aa aaa則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)構(gòu)成的行列式分母都為原方程組的系數(shù)構(gòu)成的行列式. .2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 271

3、4 DDx22 . 3721 一個三元線性方程組的解問題一個三元線性方程組的解問題111122133121122223323113223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 二、三階行列式二、三階行列式11 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31,a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 沙沙路法路法三階行列式的計算三階行列式的計算322113

4、312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的. .對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小結(jié)第二節(jié)第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)一、全排列的定義一、全排列的定義 當某兩個元素的先后次序與標準

5、當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有次序不同時，就說有1 1個逆序，一個排列個逆序，一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。例例4 (1) 求排列求排列365412中逆序數(shù)中逆序數(shù) . 定義定義 對于對于n n 個不同的元素，規(guī)定各元素之個不同的元素，規(guī)定各元素之間由小到大為間由小到大為標準次序標準次序. .二、二、 排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù) 321212 nnn逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.三、排列的奇偶性三、排列的奇偶性定理：對換改變排列的奇偶性定理：對

6、換改變排列的奇偶性. 第三節(jié)第三節(jié) n n階行列式的定義階行列式的定義333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa （1 1）每項都是位于不同行不同列的三個元素）每項都是位于不同行不同列的三個元素 的乘積共的乘積共6 6項項. . （2 2）每項的行標為標準次序時，正負號都取）每項的行標為標準次序時，正負號都取決于列標的逆序的奇偶性決于列標的逆序的奇偶性.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的

7、逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 n階行列式的定義階行列式的定義說明說明例例6 6計算對角行列式計算對角行列式4000830059201871(1)nnnnaaaaaa000022211211(2)6981057300490001D11212212300000nnnnnaaaaaaa (3)11212/ )1()1(nnnnnaaa （4）n 21 .1212/ )1(nnn ;21n n 21對角行列式對角行列式1 1 、行列式是一種特定的算

8、式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的要而定義的. .2、 階行列式共有階行列式共有 項，每項都是位于不同項，每項都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個元素的乘積組成個元素的乘積組成,正負號由下正負號由下標排列的逆序數(shù)決定標排列的逆序數(shù)決定.nn!n小結(jié) 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 互換行列式的兩行，行列式變號?；Q行列式的兩行，行列式變號。推論推論 如果行列式兩行完全相同，則此行列式為如果行列式兩行完全相同，則此行列式為0.0.性質(zhì)性質(zhì)2 2 把行列式的某一行的每個元

9、素乘以同一數(shù)，等把行列式的某一行的每個元素乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式于用數(shù)乘此行列式. .推論推論1 1 行列式中某一行的所有元素的公因子可以行列式中某一行的所有元素的公因子可以 提到行列式符號的外面。提到行列式符號的外面。 推論推論2 2 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列）元素成比例， 則此則此 行列式等于行列式等于0.性質(zhì)性質(zhì)3 3 若行列式中某一行元素均為兩數(shù)之和，若行列式中某一行元素均為兩數(shù)之和，則行列式可按照該行分拆成兩個行列式之和，則行列式可按照該行分拆成兩個行列式之和，其他各行保持不變其他各行保持不變. .（每次只能按照一行或者（每次只能按照一行或者

10、一列分拆）一列分拆）性質(zhì)性質(zhì)4 4 把行列式的某一行的各元素乘以同一數(shù)把行列式的某一行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行對應的元素上去，行列式不變。然后加到另一行對應的元素上去，行列式不變。 D DT T行列式稱為行列式行列式稱為行列式D D的轉(zhuǎn)置行列式。的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)性質(zhì)5 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。(故行列故行列式對行有的性質(zhì)對列也有式對行有的性質(zhì)對列也有)注：任一注：任一n階行列式均可以只經(jīng)過行（列）變換化為上（下）階行列式均可以只經(jīng)過行（列）變換化為上（下）三角形行列式三角形行列式例例8 例例9 例例10 拉普拉斯公式拉普拉斯公式 6 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開3332