2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章三角函數(shù)7.2任意角的三角函數(shù)7.2.1三角函

1、7.2.1 三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1 .理解任意角的正弦、 余弦、正切的定義.（重點(diǎn)）2 .會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的定義確定三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).（難點(diǎn)）1 .通過任意角的三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng) 學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及直觀想象核心素養(yǎng).2 .借助角在各象限符號(hào)的判斷，提升學(xué)生的 直觀想象及數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng) .1 .任意角的三角函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a的終邊上任意一點(diǎn) P的坐標(biāo)是（x, y）,它與原點(diǎn)O的距離是 r （r = W+ y2 > 0）三角函數(shù)定義名稱sin ay正弦COS axr-余弦tan ay x正切2 .三角函數(shù)在各象限的符號(hào)思考：記憶正弦、余弦、正切在各象限的符號(hào)有

2、什么訣竅嗎？提示對(duì)正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號(hào)可用下列口訣記憶：“一全正，二正弦，三 正切，四余弦”，該口訣表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是 正值，第四象限余弦是正值.1 .已知角a終邊經(jīng)過P乎，2 ,則COS a等于（）13312 B T C TD. ±2B 由三角函數(shù)定義可知，設(shè)x=23, y = 2,則r =1x2+ y2 =1, 故COS a2 .若三角形的兩內(nèi)角a, 3滿足sin a cos B<0,則此三角形必為（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上三種情況都可能B Sin a cos B <0, a , B e (0

3、,), .si n a >0, cos 3 <0,(3 為鈍角.3 .若角a的終邊上有一點(diǎn) P(3,4),則sin a + cos a二由三角函數(shù)定義知， sin a =3 cos a =1,5 55- sin a + cos a = . 54.已知cos 0 - tan 0 <0,那么角 0是 象限角.第三或第四cos 0 - tan 0 <0, .cos 0 , tan 0 異號(hào).故由象限角知識(shí)可知 0在第三或第四象限.任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1 (1)若sin a =f, COS a=2，則在角a終邊上的點(diǎn)有()55A. (4,3)B. (3, 4)C. (4

4、, - 3)D. (3,4)(2)已知角 a 的終邊過點(diǎn) P( 3a,4a)( aw0),則 2sin a + cos a=.思路探究(1)由定義確定終邊位置，結(jié)合函數(shù)值求解.(2)分a>0, a< 0兩種情況分別求解.(1) A(2)1 或一1 (1)由 sin a, cos a 的定義知 x=4, y=3, r = 5 時(shí)，滿足題意, 故選A.(2)因?yàn)?r = 3a 2+ 4a 2 = 5| a| ,若a>0,則r=5a,角a在第二象限.sin a = y= = - cos ar 5a 5x 3ar5a35'所以2sina+ cos a ;=8-5-3=1.若a

5、<0,則r = - 5a,角a在第四象限,sin4a一 4-3a3“一cos-5a 55a5'所以2sina+ cos a ;8 3=115 5.由角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟：(1)已知角a的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：已知由a的終邊上一點(diǎn) P(x, y) , P到原點(diǎn)的距離為 r(r>0),則sin a =y, cos a =x a的終邊求a的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便.(2)當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定要注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若 正、負(fù)未定，則需分類討論.1 .設(shè)函數(shù)f( 9 )=事sin 0 + cos 0 ,其中

6、角0的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與 x軸 非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn) P(x, y),且0W 8 w兀.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，平,求f( 8 )的 值.解由點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,喙 和三角函數(shù)定義得sin 8 =*，cos 8 = J所以 f ( 8 )=乖sin9 + cos 9 = 3X 乎 +2 = 2.三角函數(shù)符號(hào)的判斷【例2】判斷下列各式的符號(hào).(1)sin 2 015 ° cos 2 016 ° tan 2 017 ° ;(2)tan 191 ° -cos 191 ° ;(3)sin 2cos 3tan 4.思路探究先確定角所在象限，進(jìn)一步確定各

7、式的符號(hào)解(1)2 015° =5X360° +215° ,2 016° =5X360° +216° , 2 017° =5X360° +217.它們都是第三象限角，.sin 2 015 ° <0, cos 2 016 ° <0, tan 2 017 ° >0,.sin 2 015 ° cos 2 016 ° tan 2 017 ° >0.(2) 191°角是第三象限角，tan 191 ° >0, cos

8、191 ° <0,.tan 191 ° -cos 191 ° >0 .(3) <2<兀,<3<兀,< <4<32,.2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角, .sin 2>0 , cos 3<0 , tan 4>0 ,sin 2cos 3tan 4<0.由三角函數(shù)的定義知sin a =y, cos a=-，tan a = r>0 ,可知角的三角函數(shù)值rrx的符號(hào)是由角終邊上任一點(diǎn)Px, y的坐標(biāo)確定的，則準(zhǔn)確確定角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值符號(hào)的關(guān)鍵.2.判斷下列式子

9、的符號(hào)：sin 320 ° - cos 385 ° tan 155 ° tan( 480° ).解270° <320°<360°,360°<385° <450°, 90° <155°<180° ,540°< 480°< 450° ,則320°為第四象限角，385。為第一象限角，155。為第二象限角，一480。為第三象限角，所以 sin 320 ° <0, cos

10、385 ° >0, tan 155 ° <0, tan( -480° )> 0.所以 sin 320 ° - cos 385 ° tan 155 ° - tan( -480° )>0,即符號(hào)為正.1 .對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的理解三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出的.從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離 總是正值.根據(jù)三角函數(shù)定義知：(1)正弦值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào).(2)余弦值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào).(3)正切值的符號(hào)是由x, y的符號(hào)共同決定的，即 x, y同號(hào)為正，異號(hào)

11、為負(fù).2 .對(duì)三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x, y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角a的終邊位置確定.即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).(2)要善于利用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律解題，并且注意掌握解題時(shí)必要 的分類討論及三角函數(shù)值符號(hào)的正確選取.(3)要牢記一些特殊角的正弦、余弦、正切函數(shù)值.1.已知P(1 , 5)是a終邊上一點(diǎn)，則sin a =(A. 1C.5 .'2626C = x=1, y= 5,r = 26,y 5 126 sin = -=- 26 .2.sin 1 cos 2 tan 3 的值是（）A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C. 0D.不存在一一一.兀 兀一兀一A . 0<1<y, 于2<兀,萬<3<兀， .sin 1>0 , cos 2<0 , tan 3<0 ,sin 1 cos 2 tan 3>0.3.如果sin x= |sin x| ,那么角x的取值集合是 x| 2k nt w xw2k 兀 + 兀，kC Z sin x=|s