基本函數(shù)求導(dǎo)公式

1、基本函數(shù)求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)，都可導(dǎo)，則（1） （2） （是常數(shù)）（3） （4） 反函數(shù)求導(dǎo)法則若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)，而且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)都可以用前面的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出     可以推出下表列出的公式： 一、一個(gè)方程的情形 在第二章第六節(jié)中我們已經(jīng)提出

2、了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)過(guò)顯化直接由方程 =0 (1) 求它所確定的隱函數(shù)的方法?，F(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法來(lái)導(dǎo)出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，, ，則方程=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (2) 公式（2）就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式這個(gè)定理我們不證。現(xiàn)僅就公式(2)作如下推導(dǎo)。將方程(1)所確定的函數(shù)代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于連續(xù)，且，所以存在(x0,y0)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，于是

3、得 如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(2)的兩端看作的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，即得 例1 驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時(shí)，的隱函數(shù)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在=0的值。解 設(shè)，則,.因此由定理1可知，方程在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時(shí)，的隱函數(shù)。下面求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù) =， ; = 。隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).既然一個(gè)二元方程(1)可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)，那末一個(gè)三元方程 ()=0 (3)就有可能確定一個(gè)二元隱函數(shù)。與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)()的性質(zhì)來(lái)斷定由方程()=0所確定的二元

4、函數(shù)=的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)()在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程()=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 =,=. (4)這個(gè)定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導(dǎo).由于 (, )0,將上式兩端分別對(duì)和求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 +=0, +=0。因?yàn)檫B續(xù)，且,所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)0，于是得 =,=。 例2 設(shè)，求解 設(shè)() =，則=2, =.應(yīng)用公式(4)，得 =。再一次對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得二、方程組的情形下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方

5、程中變量的個(gè)數(shù)。而且增加方程的個(gè)數(shù)，例如，考慮方程組 (5)這時(shí)，在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立變化，因此方程組(5)就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)、的性質(zhì)來(lái)斷定由方程組(5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理3 設(shè)函數(shù)、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(jacobi)式): =在點(diǎn)不等于零，則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (6) 這個(gè)定理我們不證. 例3 設(shè)，求,和.解 此題可直接利用公式(6)，但也可依照推