讓課堂在數形結合中升華

1、小學數學論文讓課堂在數形結合中升華 溫嶺市太平小學 陳 艷【摘 要】 數形結合-就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，抽象思維與形象思維相結合，提升學生的思維品質。數形結合在小學里，既是重要的數學思想與方法，又是學習數學、理解數學的有效手段。本文擬從數形結合教學出發(fā)，利用數形結合思想，探索出一條“借形悟數、借數明形、數形結合”的數學教學及問題解決之路，幫助學生有效地建立數學概念，感悟解題方法，探究數學奧秘，培育學生的推理和歸納的能力，促進學生對數學知識的有效建構，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)學生良好的思維習慣?！娟P鍵詞】 借形悟數 借數明形 數形結合數形結合就是通過數(數量關系)與形（空間形式）的相

2、互轉化、互相利用來解決數學問題的一種思想方法。它既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。“數”和“形”是緊密聯(lián)系的。我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質時，又往往離不開“數”。數形結合，可將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，達到抽象思維與形象思維相結合的目的。著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀、形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”?？梢?數形結合在數學教學中的地位非常重要,尤其對以形象思維為主的小學生來說,更是如此。因此，我們教師要站在一切為了學生發(fā)展的高度，有計劃地滲透數形結合思想，培養(yǎng)學生主動運用數形結合思想的意識，形成良好的思維品質。一、借

3、形悟數，在直觀中理解“數” 小學生都是從直觀、形象的圖形開始學習數學的，低年級的具體形象尤為明顯，中高年級逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，在很大程度上仍帶有具體形象性。教師教學“數”的問題，可以借助形的直觀性質，突出圖的形象思維，學生們往往能在圖形的操作或觀察中學會收集，學會探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)圖形與數學知識的關系，親歷將實際問題抽象成數學模型，在形成表象的基礎上進行想象、領悟，達到最終理解數學本質，解決數學問題，形成數學思想的目的。 1以形悟數，在直觀中建立概念 在小學數學概念教學中，如果能夠建立抽象的數學概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數學概念中最本質的屬性用恰當的圖形演示出來，

4、把數和形結合起來，就可以豐富學生的感性材料，為建構數學概念奠定基礎。保留一位保留兩位7.795 7.8 7.80例如：四年級下冊小數意義中教學近似值，我們老師強調近似值末尾的0不能去掉，學生只是記住這個概念。而如果能引導學生比 較近似值7.8和7.80的異同點。 這樣用數軸來表示，形象直觀的表示出為什么7.80末尾的0不能去掉？也能深刻感悟到7.80比7.8更精確，使學生對保留小數位數的精確度有了本質的認識。教學中借助數軸分析，使學生很直觀、形象地領悟近似值7.8和7.80的異同，建立了小數近似值的概念，不再是死記硬背末尾的0不能去掉，而且對小數位數的精確度有了本質的認識，還為近似值7.8的取

5、值范圍和7.80的取值范圍打下了基礎。這樣在學生的腦海中形成數學的模型，可以形象地幫助學生理解和記憶。 2以形解數，在聯(lián)接中體悟方法抽象的數量關系通過看得清、摸得著的圖表示出來，化隱為顯，化難為易，幫助學生理解、掌握，其實質都是以形解數。在解題過程中，學生也可以自己創(chuàng)造地畫圖，把一些數學問題進行有效的轉化，從而使解題思路更加明了，使不同層次的學生能獲得屬于自己理解的一種解題方法。如在教學乘法分配律之后，出現(xiàn)了：1997×2013-1996×2014這題，由于題中的數據比較大，直接計算容易發(fā)生錯誤，首先引導學生利用分配律來解題，但通過兩次乘法分配律來換算，學生的錯誤率較高,于

6、是把這題通過代數變形進行教學,學生不僅能聽懂,表達此題的意義,且正確率也明顯的提高。在教學時，借助圖形進行如下的教學：首先構建如圖1的兩個長方形，長方形ABCD和長方形AEFG，CD=2013，AD=1997，AE=2014,EF=1996，由圖所知，把原式的計算就轉化為求兩個長方形的面積之差。借助幾何直觀容易看出長方形GDCH和長方形BEFH的寬都是1，所以，原式=S長方形ABCD-S長方形AEFG=2013×1-1996×1=17。通過這樣的圖形來幫助學生分析題目，學生很直觀的看到這兩個小長方形面積的差是多少就是此題算式的過程展現(xiàn)，一道很復雜的有關“數”的計算題，就被“

7、形”的聯(lián)接很輕松、直觀的解決了，同時在數與形的聯(lián)接中使學生充分感受到解決問題策略的多樣性。3以形構數，在過程中探究奧秘在解決一些抽象的、復雜的、不好解釋的問題時，利用形象、直觀的“形”來揭示復雜、抽象的數學問題，以形構其數，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易，能調動學生主動積極參與學習，探究奧秘，更能提高學生的思維能力。如六上數學廣角解決特殊的分數加法計算：12+14+18+116+132+164+教學時先讓學生來觀察算式中加數有什么規(guī)律？發(fā)現(xiàn)：后面一個分數是前一個分數的12。緊接著就讓學生把算式讀下去，體會要這樣無窮無盡地加下去。這時老師可以設置懸念，算式都讀不完，連加數都不知道有多

8、少個，我們怎么知道和是多少？給學生的感覺根本不可能解決，然而老師開始引導畫個圖來幫助思考，從而突出形的重要。首先把這個正方形看作1，先取12，再取12的一半14，這樣陰影部分就表示了1214的和，那再取14 的一半18加下去，表示了121418的和，再加116，再加132，再加164，再加，再加，就這樣無窮無盡地，一直不斷、無限地加下去，你現(xiàn)在有什么發(fā)現(xiàn)了嗎？學生開始議論了，這樣一直加下去，空白部分越來越小，越來越小，一部分學生說小到沒有了，陰影部分占滿了整個正方形，所以它的和就等于1。另一部分學生堅持總有一點點空隙，不可能等于1。這時課件動畫展示，并告訴學生數學上無限接近1就是等于1。這樣一

9、道雖有規(guī)律，但有無限個分數相加的算式，按照常規(guī)根本無法計算，但是通過數與形的結合，既讓學生在畫圖中探究了奧秘，并且在探究奧秘過程中深刻地感悟極限思想，又讓學生享受著探究數學奧秘的有趣過程。二、借數明形，在轉換中建立“形”“形”具有形象直觀的優(yōu)勢，但有些隱含在內的數學知識卻不易被發(fā)現(xiàn)。在“形”中覓“數”，借助“數”的形態(tài)，歸結為較容易處理的數量關系式來研究，來解決圖形問題。通過形與數之間的分析、判斷、計算，才能凸顯出來。在數形的轉換中，建立數中有形，形中有數，從而獲得數學知識和問題的解決。 1以數顯形，在觀察中理解本質在課堂教學中，教師要引導學生在圖形的直觀中觀察探究，抽象出數的規(guī)律，以數顯示形

10、，數能使形的規(guī)律更細致，并在觀察探究中深化學生對數學知識的認知，通過數的運算和變式，進一步理解其本質。如六年級上冊數學廣角數與形，一副點陣圖從不同的角度去觀察，會發(fā)現(xiàn)不同的規(guī)律。橫著 斜著 折線 4×4=16 1+2+3+4+3+2+1 =16 1+3+5+7=16圖形橫 著斜 著折 線2×21+2+11+33×31+2+3+2+11+3+55×51+2+3+4+5+4+3+2+11+3+5+7+9學生的直觀就是橫著看4×4=16，老師問除了這樣橫著劃分，還可以怎樣有規(guī)律的劃分？有少部分學生想到橫著劃分了接著斜著劃分，當老師追問還有別的劃分方法

11、嗎？學生基本答不上了。于是指引他們折線去觀察，學生一開始懵懵懂懂，就依樣畫葫蘆的列式，沒想到會有規(guī)律。于是讓學生結合圖觀察算式的特點，通過形的結合，才能明白都可以用4的平方來計算，初步形成表象。接下來提供了2×2、3×3、5×5的點陣圖，讓學生在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解本質。當圖形和算式結合起來，學生就容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。斜著劃分規(guī)律：1+2+3+4+N+ +4+3+2+1=N2 折著劃分規(guī)律：從1開始，n個連續(xù)奇數相加，和就是n的平方。這樣數與形的對照，給予學生充分探索規(guī)律的時間和空間，讓學生動腦思考，從點陣圖中找出不同的計算規(guī)律，在自主探究中理解“從簡單的情形開始，找

12、出規(guī)律，明白計算方法”的策略，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、觀察歸納和解決問題的能力。2以數想形，在對比中抽象本真學生從直接感知到表象，再到形成概念的過程中，以數想形，抓住這個中間環(huán)節(jié)，讓學生多角度地靈活思考，大膽地想象，對知識的理解逐步深化，有效幫助學生在對比中，理解圖形的性質，也有利于發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力。例如在教學“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質時，教師可以呈現(xiàn)一個算式，讓學生畫出可能會是怎樣的三角形。如：4×3÷2，學生可以畫出如下圖形：然后老師將各種三角形匯合在一組平行線間，通過觀察這一組圖形,讓學生發(fā)現(xiàn)“不同形狀的三角形只要

13、等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質。圖形是推理和計算的直觀模型，以數想其形，讓學生在想象中發(fā)展空間觀念，在對比中領悟本真，突出圖形的形象思維，又幫助獲得準確結論，是訓練學生掌握幾何圖形知識的很好手段，有效地培養(yǎng)學生數中有形、形中有數的意識。3以數釋形，在明理中構建概念 圖形以其形象、直觀常常成為教學的有效輔助，2011版新課程標準更是把“幾何直觀”作為十個核心關鍵詞之一，足見它在培養(yǎng)學生數學的基本思想、積累基本活動經驗中的重要作用，但是教學過程中有時僅僅憑借圖形并不能很好地解釋某些數學概念、數學規(guī)律，必須借助“數”的解釋，才能讓“形”發(fā)揮更大的作用。如教學比例的意義時，教材提供了幾幅不同大

14、小的長方形國旗：教師可以這樣提問：為什么這幾面國旗大小不同，形狀卻完全一樣？在這個問題的指引下，讓學生寫出相對應的長與寬的比，發(fā)現(xiàn)它們的比值相等。這樣初步解釋了“大小不同，形狀相同”的緣由，初步感知比例。再引導學生換個角度思考，長與長、寬與寬、寬與長等等的比的比值是否也相等，再次感受“大小不同，形狀相同”的緣由，再次感受比例。是不是像這樣“大小不同，形狀相同”只限于長方形呢？讓學生根據老師提供的三角形、平行四邊形等圖形，寫出比例，再次強化比例的意義。這樣通過豐富的材料，讓學生經歷知識的形成過程，在不斷的比較、抽象、概括的過程中不但獲取了必要的基本知識和基本技能，還豐富了學生數學的基本思想，積累

15、了研究數學、建構知識的基本活動經驗，并且為后續(xù)內容的學習作了有效的鋪墊。三、數形結合，在思考中提升數形對照，以數輔形，以形助數，形象思維與抽象思維聯(lián)合而行。既有直觀的解釋，又便于嚴謹的邏輯推理，運用數形結合有時能使數量之間的內在聯(lián)系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，根據問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，使學生在思考中不斷提升。1. 數形結合，在融合中構建新知數與形相結合的例子在小學數學教材與教學中比比皆是。在教學中，有些數學算理如能與數形結合緊密聯(lián)系，學生便可容易理解和深刻掌握；有些概念

16、教學既以形的直觀來促進概念的內化，又以數的真實來促進感悟，能使學生積極有效地構建新知；數學廣角的教學，就更不開數與形的相結合，數形結合可在一定程度上減緩學生認識上的難度，形使數的規(guī)律更直觀，數使形的規(guī)律更細致。如異分母分數加減法教學14+310，利用數形結合，學生便可深刻體會通分的必要性，理解和掌握異分母分數加減法的算理，突破教學重點。再如六上數學廣角的練習中出現(xiàn)完全平方公式，用小學知識如何理解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們可以結合圖形用面積計算的知識探索一下。（a+b）2就看成邊長是a+b的大正方形面積，在大正方形中分出一個邊長為a的長正方形、一個邊長為b的中正方形和兩個相同的長方形

17、，像右圖這樣觀察，就發(fā)現(xiàn)大正方形面積就是a2+2ab+b2，所以得出（a+b）2=a2+2ab+b2此外，在容斥問題、行程問題中，圖形更是好幫手，甚至可以說離開了圖，小學生很難理解這類問題。 把“數”與“形”有機結合起來教學，能激發(fā)學生的學習興趣，喚起學生積極主動學習，有效構建新知，從而提高課堂效率。 2數形結合，在思考中提升思維圖形知識的學習，無一不是數與形相結合的，但教學時不能僅僅停留在空間觀念的形成和利用公式的計算上，而要在解決圖形問題時培養(yǎng)學生的問題意識和發(fā)展學生的思維能力，提升學生的思維品質。 如在學習圓的面積時，往往只停留在推導出面積計算公式就行了，如果能充分利用數和式來

18、表達推導過程中圖形所蘊含的特征，有利于發(fā)展學生的發(fā)散性思維。教學時設計如下題組問題來引導學生思考，可以提升數學思維。如果拼成長方形的寬是6厘米，這個圓的面積是多少？如果長方形的長是12.56厘米，這個圓的面積是多少？如果長方形的周長比圓的周長多20厘米，這個圓的面積是多少？拼成的長方形長寬之比是多少？如果長方形的周長是41.4厘米，這個圓的面積是多少？學生通過解決這一組問題，不僅促進他們對圓面積公式的理解，還能在解決問題的過程中，通過對圖形特征的觀察，深化圓面積推導圖的實質的理解。讓學生通過數的計算促進空間觀念的形成，提高了小學生的數學思維能力，提高學習有效性。總之，數學是研究數量關系與空間形式的一門學科。在小學里，數形結合既是重要的數學思想與方法，又是學習數學、理解數學的有效手段。課堂中把“數”與“形”有機結合起來研究問題，可以讓數量關系與圖形性質的問題很好地轉化，可以幫助學生借助幾何直觀建立數的概念，可以幫助學生理解數運算的意義，可以使解題思路與過程更加具體化，可以讓學生享受探究數學奧秘的過程，也可以借助圖形的表象發(fā)展空間觀念，更好地展現(xiàn)知識的建構過程。因此，在小學數學教學中，筆者十分重視數形結合的教學方法和學習方法，在