2022年數(shù)列的概念與簡單表示法知識點

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念與簡單表示法1、數(shù)列的概念 數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每個數(shù)稱為該數(shù)列的項。數(shù)列中每一項都和它的序號有關(guān)。數(shù)列的一般形式為,21naaa，或者簡記為na，其中na表示數(shù)列na的通項。注： 研究對象 : “數(shù)” ( 與集合相區(qū)別 )。 首項（第 1 項） ：數(shù)列中的排在第1 位的數(shù)。第 2 項 ：數(shù)列中的排在第2 位的數(shù)。通項（第 n 項） ：數(shù)列中的排在第n 位的數(shù)。 注意na與na含義的區(qū)別：na：表示數(shù)列na中的第 n 項。na：表示數(shù)列,21naaa，簡單記法。 數(shù)列的項性質(zhì)：有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的數(shù)有關(guān)，而且與排列順序有關(guān)?？芍貜?fù)

2、性：數(shù)列中數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)。補充知識：集合中元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性。例：a 1 、2、3、4、5、6 和 6、5、4、3、2、1構(gòu)成同一個結(jié)合，不同的數(shù)列b 1 、2、2、3、5、5 可以表示數(shù)列，但不能構(gòu)成集合。 從函數(shù)的角度研究數(shù)列：對于任意一個數(shù)列na，其每一項與序號都有對應(yīng)的關(guān)系，見下表：序號（項數(shù) n）1 2 3 n 項1a2a3ana數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集*n ( 或它的有限子集 1,2,3 ，,n ) 的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。注：1、數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)（離散型） ，其圖像是一系列孤立的點。2、函數(shù)不一定是數(shù)列。精品學(xué)習(xí)資料 可選

3、擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -2、數(shù)列的表示方法 列表法：列出表格表示出數(shù)列的項和序號的關(guān)系例：數(shù)列 6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示序號（項數(shù)）1 2 3 4 5 6 項6 66 666 6666 66666 666666 圖像法：在平面直角坐標(biāo)中， 數(shù)列的圖像是一系列橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點（n,na） 。 通項公式

4、法：用數(shù)學(xué)式子表示數(shù)列。最常用的數(shù)列表示方法。3、數(shù)列的通項公式： 數(shù)列的第 n 項叫做數(shù)列的通項。 如果數(shù)列na的第 n 項na與序號 n 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。注： 并不是所有的數(shù)列都可以用通項公式表示例：小數(shù)點后每一位所構(gòu)成的數(shù)列1,4,1,5,9，2,6 精確到 1,0.1,0.01,0.001， 的近似值組成的數(shù)列3,3.1 ， 3.14,3.142 ， 只給出一個數(shù)列的若干項，而未指明數(shù)列構(gòu)成規(guī)律時，該數(shù)列的通項公式不能唯一確定。例：數(shù)列 1,4,7,10 ，通項公式可以是2n3na, 也可以43212n3nnnnan數(shù)列通項公式的表示

5、方法不唯一。例：數(shù)列 -1 ，1,-1,1,-1，通項公式可以是)(cosnan, 也可以是n1- ）（na。4、數(shù)列的遞推公式： 遞推公式：如果已知數(shù)列na的第一項（或前幾項），且任何一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即或，那么這個式子叫做數(shù)列na的遞推公式。 通項公式與遞推公式異同點：相同點：都可以確定一個數(shù)列，都可以求出數(shù)列的任意一項。不同點：通項公式可以通過代入項數(shù)n 直接求出項na。簡單直接遞推公式需要通過一次或者多次賦值，求出需要的項na。賦值繁瑣所以我們經(jīng)常會研究根據(jù)遞推公式求通項公式的問題。（相應(yīng)專題練習(xí)）na1na)(1nnafa),(21nnnaaf

6、a精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -5、數(shù)列的前 n 項和：nnkkaaaa211叫做數(shù)列na的前 n 項和，記作ns數(shù)列的通項na與前 n 項和ns的關(guān)系：naaas21n) 2() 1(11nnssnsann注：1、1nnnssa不是對一切正整數(shù)n 都成立的， 而是對于2n的一切正整數(shù)恒成立，因為當(dāng)1n時，1nnnssa，0s無意義。

7、2 、由前 n 項和ns求通項公式時，要分兩種情況：1n和2n，然后驗證兩種情形可否用同一式子表示。若當(dāng)1n時，1a也適合na的表達式，則將兩種情況統(tǒng)一合寫。若不能，則需要采用分段形式來表示。例： （1）ns*1-1nn）（；（2）nns2n2；（3）322nnns；（4）ns2n；（5）32nns；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -6、數(shù)

8、列的分類：分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義舉例項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3 ， n 無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,4,9, ,2n , 項的變化趨勢遞增數(shù)列從第 2 項起， 每一項都大于它的前一項的數(shù)列3,4,5 ， n+2 遞減數(shù)列從第 2 項起， 每一項都小于它的前一項的數(shù)列1,21, 31, , n1常數(shù)列各項相等的數(shù)列6,6,6, ,6 擺動數(shù)列從第 2 項起， 有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列1,-2,3,-4, 7、數(shù)列的性質(zhì)：單調(diào)性，周期性，有界性 單調(diào)性：遞增數(shù)列：*nn，1nana遞減數(shù)列：*nn，1nana擺動數(shù)列：有大有小常數(shù)列：*nn，1na=na求數(shù)列的最大（

9、?。╉棧话阆妊芯繑?shù)列的單調(diào)性，可以用11nnnnaaaa*,2nnn或11nnnnaaaa*,2nnn求解，也可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值問題或利用數(shù)形結(jié)合求解。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - - 周期性：*nn，kna=na（k 為正整數(shù)），那么稱數(shù)列na是以 k 為周期的周期函數(shù)。例：)(sinnan、)cos( nan、nna)1(注意：sinnna，ncosan不是周期函數(shù)。)( 為常數(shù)ccan遞推公式（創(chuàng)新題型） ：1-1-nnnaaa，3121aa， 有界性：*nn，man, 那么稱na為 有界數(shù)列，否則稱na為無界數(shù)列。例：1、)(sinnan、,n1nanna2等均為有界數(shù)列2、32nan、2nan、nna2等均為無