2022年數(shù)學物理方程谷超豪版第二章課后答案

1、精品資料歡迎下載第 二 章熱 傳 導 方 程m 1c ux, y, z, t2u x, y, z, t1dxdydztt22cu dtdv11tttc u dvdtt§ 1熱傳導方程及其定解問題的提1. 一勻稱細桿直徑為 l ，假設(shè)它在同一截面上的溫度是相同的，桿的表面和四周介質(zhì)發(fā)生熱兩者應(yīng)當相等，由奧、高公式得：2tt交換，聽從于規(guī)律dqk1uu1dsdt2uu mddtxxyy1d udvdtm zz1t1c u dvdt t又假設(shè)桿的密度為，比熱為 c ，熱傳導系數(shù)為 k ，試導出此時溫度 u 滿意的方程；其中 c 叫做孔積系數(shù) =孔隙體積；一般情形c1；由于, t1, t2

2、的任意性即得方程：解：引坐標系：以桿的對稱軸為x 軸，此時桿為溫度 uu x,t；記桿的截面面積l為 s ；24cudutxxduduyyzz由假設(shè)，在任意時刻t 到 tt 內(nèi)流入截面坐標為x 到 xx 一小段細桿的熱量為3. 砼混凝土 內(nèi)部貯存著熱量，稱為水化熱，在它澆筑后逐步放出，放熱速度和它所貯存的dq1ukxx s tukx s t2uk2x s x t水化熱成正比；以q t表示它在單位體積中所儲的熱量，q0 為初始時刻所儲的熱量，就xxxdqqck桿表面和四周介質(zhì)發(fā)生熱交換，可看作一個“被動”的熱源；由假設(shè)，在時刻t 到 tt 在截面為dt，其中為常數(shù)；又假設(shè)砼的比熱為，密度為，熱傳

3、導系數(shù)為，求它在澆后溫x 到 xx 一小段中產(chǎn)生的熱量為度 u 滿意的方程；dq2k1 uu1lx t4k1 u lu1 s x t解： 可將水化熱視為一熱源；由dqdtq 及 q t 0q0 得q tq0et ；由假設(shè)，放又在時刻 t 到 tt 在截面為 x 到 xx 這一小段內(nèi)由于溫度變化所需的熱量為熱速度為tdqcu x,ttu x,ts xcus x tq0e3t t它就是單位時間所產(chǎn)生的熱量，因此，由原書71 頁， 1.7 式得由熱量守恒原理得：cus x ttt2uk2x s x tx4k1u lu1 s x tua2u2tx22u2uy2z2q0 e tca2kc消去 s xt

4、，再令x0 ， t0 得精確的關(guān)系：4. 設(shè)一勻稱的導線處在四周為常數(shù)溫度足微分方程u 0 的介質(zhì)中，試證 :在常電流作用下導線的溫度滿2cuku tx 24k1uul1uk2utcxk1puu c00.24i 2rc2uk2u4k122 u4k1其中 i 及 r 分別表示導體的電流強度及電阻系數(shù)，表示橫截面的周長，表示橫截面面積， 而 k 表或t其中a 2cx2kc luu1auu1x 2c l示導線對于介質(zhì)的熱交換系數(shù)；解：問題可視為有熱源的桿的熱傳導問題；因此由原71 頁1.7 及1.8 式知方程取形式為c2.試直接推導擴散過程所滿意的微分方程；解： 在擴散介質(zhì)中任取一閉曲面s，其包圍的

5、區(qū)域為，就從時刻t1 到 t 2 流入此閉曲面的溶2kua 2u2tx2f x,t質(zhì)，由 dmd u dsdt ，其中 d 為擴散系數(shù)，得其中 a, fx, tcf x, t / c, f x,t為單位體積單位時間所產(chǎn)生的熱量；nt2mdu dsdtn由常電流 i 所產(chǎn)生的2 rf1 x, t為 0.24i 2r /2；由于單位長度的電阻為r ，因此電流 i 作功為t1s濃度由 u 變到 u 2 所需之溶質(zhì)為i乘上功熱當量得單位長度產(chǎn)生的熱量為0.24i 2 r /其中 0.24 為功熱當量；因此單位體積時間所產(chǎn)生的熱量為0.24i 2r /2a 2 2n12t由常溫度的熱交換所產(chǎn)生的視為“被

6、動”的熱源 ，從本節(jié)第一題看出為4 k1對應(yīng)為tn t cn e4a2 2n12其中 l 為細桿直徑，故有uu 0l2pl /l 44 ，代入得l因此得u x, t cnen 0t42n1sin 2n1 x2f2 x,tk1 p uu由初始值得f xcn sinx0n 02因熱源可迭加，故有f x,tf1 x, tf2 x,t；將所得代入ua2u2tx2f x, t因此即得所求：cn2f x sin 2n021 xdxa2 2n12uk2uk1p uu0.24i 2r故解為u x,t2f 2n1 s i ndet2n14s i nx0tcx2cc2n 00225*.設(shè) 物 體 表 面 的 絕

7、對 溫度 為 u ， 此 時它 向 外 界輻 射 出 去 的熱 量 依 斯 忒 - 波 耳 茲 曼stefan-boltzman 定律正比于 u 4，即用分別變量法求解熱傳導方程的混合問題u2udqu 4dsdttx2t0,0x1今假設(shè)物體和四周介質(zhì)之間只有輻射而沒有熱傳導，又假設(shè)物體四周介質(zhì)的肯定溫度為已知函數(shù) f x, y, z, t ,問此 時該物體熱傳 §導問題的邊界條件應(yīng)如何表達？x0x1u x,02解： 由假設(shè)， 邊界只有輻射的熱量交換，輻射出去的熱量為dq1u 4 |dsdt, 輻射進來的1x1x12s熱量為 dq2f 4 |s dsdt, 因此由熱量的傳導定律得邊界條

8、件為：u0,tu1,t 0t0uk|sn u 4 |sf 4 |s解：設(shè) ux xt t 代入方程及邊值得§2混合問題的分別變量法1. 用分別變量法求以下定解問題的解：x"xt't0x 00x 102ua2uttx 20,0x求非零解對應(yīng)為x x 得nn2tn2 , x n2cne nsin n x2tn=1,2, 解：設(shè) uu0,t u x,0x xt t 代入方程及邊值得u xf x,t00t0x故解為 由始值得ux, t 2cne nn 12t sin n xx0x1x "x0ta 2 t0x 00x 0cn sinn xn 112121x1x12求

9、非零解x x 得 n 2n124, x n x2 n1sinx2n0, 1,因此cn2x sin n0xdx1x sin n12xdx21nxcosn x1n22sinn10x 221 1nx cosn x1n22sinn1x122當0 時，通解為x xaxbx ' xa4n 22sin n2由邊值得x ' 0x ' l a0所以u x, t4n 22sin n2e n22t sin n x即 b 可任意，故x x1 為一非零解；n 13 當0 時，通解為假如有一長度為l 的勻稱的細棒，其四周以及兩端x0, xl 處勻稱等到為絕熱，初x xacosxb sinx始溫度分

10、布為u x,0f x, 問以后時刻的溫度分布如何？且證明當f x等于常數(shù)u0 時，恒有x ' xasinxbcosxu x, tu 0 ；解：即解定解問題u tu |22 uax 2u |0由邊值得因0, 故相當于x ' l basinx ' 0asin0l0b0lbcosl0xx 0xx l要 x x 非零，必需 a0, 因此必需 sinl0, 即u |t 0f xlnn整數(shù)設(shè) ux xt t 代入方程及邊值得x"x0x '0x ' l 0nn整數(shù)t' a 2t0l求非零解 x x ：n(1) 當0 時，通解為這時對應(yīng)x xcoslx

11、取a1x xaexbex因 n 取正整數(shù)與負整數(shù)對應(yīng)x x 一樣，故可取由邊值得x ' xaeablaebxbex0el0xn xnlcosnx l n 2ln1,2,n1,2,因0 故相當于ab0aelbel0對應(yīng)于n0, x 0 x1, 解 t 得t0 t c 0n an 2 t視 a, b 為未知數(shù)，此為一齊次線性代數(shù)方程組，要x x 非零，必需不同為零，即對應(yīng)于2 ,lx n xcoslx, 解 t 得tn t cnel此齊次線性代數(shù)方程組要有非零解，由代數(shù)知必需有11ll0由迭加性質(zhì)，解為u x,tc0 anlcnen 1 2 tncosx le1但ele1elel0 elc

12、n en 0 anl 2 tcosnx ln因 l0,0, ex 為單調(diào)增函數(shù)之故；因此沒有非零解x x ；由始值得f xcn cosxn 0l因此c0l1f x dx l 0lnc2f x cos n l 0lxdxn1,2,l0u2 f n 1 l 0n u0 sin ln 2d el tnsinxl所以u x, t1 f xdx2 f cosn and el2 tcosnx5長度為 l 的勻稱細桿的初始溫度為0 ，端點 x0 保持常溫u0 ，而在 xl 和側(cè)面上，熱lll 0n 1 l 0ll量可以發(fā)散到到四周的介質(zhì)中去，介質(zhì)的溫度取為0 ，此時桿上的溫度分布函數(shù)ux, t滿意下述當 f

13、 xu0const 時，ll12n定解問題：2ua 2ub 2uc 0u 0dxl 0u0, cnu0 cosl 0lxdx0n1,2,tx 2u所以uu,t u 0u0,t u0 ,xhu x l04在 t0, 0xl 區(qū)域中求解如下的定解問題ux,00u22ut2 x2uu0 試求出u x, tu0, tul ,tu 0解：引ux, t v xwx,t 使 w 滿意齊次方程及齊次邊值，代入方程及邊值，運算后得u x,0f xvx 要滿意：2 d 2va2b2v0其中 ,u 0 均為常數(shù)，f x 均為已知函數(shù)；dx 提示：作變量代換 uu0vx, t et . v0u0, v 'hv

14、 x 10解：按提示，引 uu0v x, tet ，就v x, t 滿意vx 的通解為bbu22utx 2由邊值v xv0achx aaubshx av x 00, v x l0又v ' x0bbu 0shxbch b xv t 0f xu 0a得b baab bb 0由分別變量法滿意方程及邊值條件的解為a u0sha lbchl ah u0ch a lbshl av x, t nanel2 tnsinx解之得bu 0bbshl ahachb l abbchl ahash b l a再由始值得n 1f xu0lnan sinlx因此vxbu0chx abu 0 bbshl ahachb

15、b l sh b x aabbch b lahash b l abn 12 ln這時 w x, t 滿意：u0bch a lxhashlaxbchl ahashl a故an f xl 0u0 sinxdxl因此u x, tu0vx,t etwa 2twb 2w x 22wan sinn xvn 1lb0bchlx abhash b labxw x 00, xhw x 10bchl alhashl aw t 0v t 0v所以anvsin0ln xdxl設(shè) w x,t x xt t 代入方程及邊值條件得sin 2n xdxx ''x0x 0, x ' l t 'a

16、2b2 t0hx l 00l2應(yīng)用n 滿意的方程，運算可得22求非零解x x0 時，才有非零解；這時通解為lsin 2n xdxl p p1n由邊值得x xa cosxb sinx0l2pn又x 0x xab sin0得ax0x ' xb cosxlbchl0ax sinn xdx1bl22nn ch b l labcoslh sinl0a2l 2要 b0 ，即有非零解，必需coslh sinl0x cosn xlb shb 1 aalx sinn xl0即tglha 2l 2222 2 n c o s nln ch b l la令l, phlanb la 2l 2nban得tgp22

17、b 2l 2cosnchl a它有無窮可數(shù)多個正根，設(shè)其為1 ,2 ,得2nnlbshlaxsinn xdxl1a 22b 2l 2b ch b la ax n xsinx, la222nnl2b2 t0x sinn xnn sh b 1lx cosn x對應(yīng) t 為tn tanela222nb2 ta 2l 2llab nbal0因此w x, t aneln 1sinn x l222 2 ablnl2sinnashl la其中n 滿意方程tgpphl所以vsin0n xdxu 0a2a 2nlb 2l 2bn cosn再由始值得bbnchl alhb sinnb hanshlabch b l

18、ajasj b laa2nlu0222 2u02a 2lb22 2n cosnblh sinn bxn xsin kn x knun, tgu nlun, phl panb l2anb lbchl ahashl a即v x, ttn t sin knxuanltgn n 1a022nb 2l 2nhl代入方程得得an2u 0 a 2n p 22t 'a2k 2t nb2tn sin kn xb2u0 1hxnnnn1hlna 22b 2l 2 p 2p2n 1最終得bb由于 sinkn x 是完備正交函數(shù)系，因此可將b 2u0 1hx1hl 展成 sinkn x的級數(shù)，即ux, t b

19、chlxu0abhashlxab2u0 a2lb 2u0 1hx1hlan sin kn xbchl ahashl an 1由正交性得nnl2 p 2222 a2n2pl 2b tsinn xlanb2u01hx sin knxdx / nn其中n 滿意1 a 22ntgb2l 2 p 2pen phl 0ln nsin 21hllkn xdx2h2k 2h 2另一解法：設(shè) uvw 使?jié)M意w0, t u 0 , wxhw |z l0.為此取0l又b 2u 1hxsin knxdxb 2u 1kcoskxwaxb, 代入邊值得01hln0nn0解之得bu 0 ,a1a hu 0hlh alu0

20、0h1hl21 x cosk 2x knn111 sin kx l 20k|nhlbu 0因而wunhu 0xu 1hxb u0 knhcosknlknkn1cos knlh 這時 v ，滿意01hl01hlk 2 1hl sinknl 2va 2vtx2b2vb2u0 1 vhx1hlb 2u 0 1knb 2u11 coskn l 1 k nhl1hlh1hl1 hnv0, t 0hv|00xx ikvx,0w x,0u01hx1hl所以anb 2u 01kn n n按非齊次方程分別變量法，有將此級數(shù)代入等式右端得tn 滿意的方程為v x,ttn t xn xt 'a 2k 2tb

21、 2tnb 2u 01nnnn 1kn nn其中 xn x 為對應(yīng)齊次方程的特點函數(shù)，由前一解知為由始值得tn 0 sin kn xn 11u0 1hx1 hl2 v1vr 2rrv |0012v0r 22v |0u0n 1knsin kn xnn1v |r au 0u1v |r0 有限有tn 0u0 kn設(shè) vr ,rr , 代入方程得nn解tn 的方程，其通解為'r"1 r'r1r"0r 2tncne由t 0a2 k 2nub2 t1b 2u0k n n n1na 2 k 2b 2乘以 r 2 / r, 再移項得"r 2r"rrr &

22、#39;knn0nn右邊為 r 函數(shù)，左邊為函數(shù)，要恒等必需為一常數(shù)記為，分開寫出即得得cna 2k 2u 0nna 2 k 2b 211kn n nu022a 2k 2b2 t2再由齊次邊值得"r 2r"0rr'r0即有解tn tkn nna 2 k 2n12 a kn ebu02nn2 a2k 2b b2 t由以前的爭論知0n022因此v x,t n 1kn n nb 2 sin ka 2 k 2nx2 a kn eb對應(yīng) r 滿意方程nnnsin nn1,2nr 2r"rr 'n 2r0n1,2u x, tu0 1hx1hlkn nu 0nn

23、 a 2k 2b 2這是尤拉方程，設(shè) rr代入得n1rrn2r0a 2k 2e a2k 2b2 tb 2 sin kn x2n 20nn6.半徑為 a 的半圓形平板，其表面絕熱，在板的圓周邊界上保持常溫u0 ，而在直徑邊即rr nrr n界上保持常溫u1，圓板穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布；為兩個線性無關(guān)的特解，因此通解為解：引入極坐標，求穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布化為解定解問題r r c r nd r n2u1u12u0由自然邊界條件v |rn0 有限知nrn x 在 rn0 處要有限，因此必需dn0 由迭加性質(zhì)知r 2rrr 22u |u |t a0u1u 0u | u | tu10為有限vr ,cn r n

24、 s i nn滿意方程及齊次邊值和自然邊界條件，再由（拉普斯方程在極坐標系下形式的推導見第三章1 習題 3），其中引入的邊界條件u |r0 為有限時，v |rau 0u1叫做自然邊界條件；它是從實際情形而引入的；再引滿意uu1vr , 就 vr ,得u0u1cnan sin nn 1因此cn2nu0a0u1 sin n d2u 0nu1 1a n 1n (2) 2f ea x e a x eipx dx0eax eipx dxe ax e0ipx dx所以u r ,2u0nu1n 1u1 r n1 a 1 n sin n0=e aip x dxe a0ip x dx1aipeaip x0+&#

25、167;3柯 西問題1. 求下述函數(shù)的富里埃變換：21e aaipip x01aip1aip2aa 2p2(1) ex0或fea x =e a x eipxdx =e a xcos pxi sinpxdx(2) 2(3) 3e a xxa > 0,1,a > 0,k 為自然數(shù) ax2aa 2x 2 ka 2x2 k x 2ip x=2e0cos pxdxa2p 2解： 12fex ex2 eipx dxedx3f1e ipx=dx2i re se ipz xip 2p 224p24u2 a 2因re sex2 k ipz=a 21x2 kd k 1limz aie ipza 2z2

26、 k=edxeedu（柯西定理）z aia2z2 kk1 . zai dzk 1zai kp2p214v 241k 1=limcm zai k m eipz km 1=eedvek1. z1ai m 0k1k 1mmxx=limc 1k k1km12或者f ex 2ecos pxi sinpx dx22 ecos pxdx02 i pk1. zai m 0k zai k m ip k1k11.m0k11.m0m 1 eipzdix21x 2px21mmk mk m 1apxedp0sinpxdxe2sin pxe00 2cos pxdxkck 1 1kk1km1 2ai ip ep=i p1k

27、m1.1 k m 1pkm 1 eap2kp2所以m.km1.i 2ak m積分得i pce41f22 k2 i1k 1 km1. .又i 0 =ex dx1ax k1. m0 mkm1.2021) k m 1k m 1ap故c=12i 2a k2mpk 1 kem1. 1 km 1pk m1eapp 2 k21) . m0mkm1.2a k m所以f ex =2ip=e 4fa 2xx 2 k1 d f i dp a21x2 k2 k 2 km1. 1 k m 13 x2 y 2 z2ik1. m0m. km1.2ak mu x, y, z, t12at,e4a 2td d d km1 p

28、km 2 eapap km 1 ape 2ki k2.1. 2 2a2k 2 e ap4.證明（ 3.20）所表示的函數(shù)滿意非齊次方程3.15以及初始條件（ 3.16）；證： 要證2k k2. 2a 2k1. 22 eapi2kk1. m2 k0m. km1.m1.u x, t 12at e x24a2 td1t2a0f , t x 2e 4a 2 t d d2ak m 1km 1 pkm 2eap apkm1u22u2. 證明當 fx 在 , 內(nèi)肯定可積時， ff 為連續(xù)函數(shù)；滿意定解問題atx2f x, t證：因f tf xeipx dxg p 對任何實數(shù) p 有u x,0x原書 85 頁

29、上已證解的表達式中第一項滿意| f f | | g p | f x | dxua 2u2tx 2u x,0x即關(guān)于 p 肯定一樣收斂，因而可以在積分下取極限，故gp 關(guān)于 p 為連續(xù)函數(shù)；3. 用富里埃變換求解三維熱傳導方程的柯西問題因此只需證其次項滿意2ua 2ut x22u2uy 2z2：u a 2u2tx 2u x,00f x,tu |t 0 x, y, zi xsyszs 如第一項，其次項關(guān)于的被積函數(shù)滿意2解： 令 f u x, y, zux, y, z, te123dxdydzu s1, s2 , s3 ,t a2tx2對問題作富里埃變換得 x, f x,du dta 2 s1 2

30、s22s32 u如記其次項為, 被積函數(shù)為, 即tu |t 0 x, y, z ei xs1ys2zs3 dxdydzd s1 , s2 , s3 012t22解之得us1, s2 , s3ea 2 s 2ss3 t故有x, td12222t0t因f 1 ea2 s 2ss3 t 12 3a2 s 2s12e2s3 t2t2dx 20x 2ei xs1ys2zs3 ds1ds2 ds32即a 2tt22da 2d1=23a2 s 2 t1ex2ixs1 ds1a2 s 2t2ey2iys2 ds2a 2s 2t3ez2izs3 ds33x2y2z2tx 22a 20ttf x, t0x2a 2

31、d12a再由卷積定理得e 4a 2tt1e2at4 a2 t1e2at4a2t1e2at4a 2tx20tx2明顯x,02a 2x20 得證；f x, t1=2at1 x2e2|1e2 d225. 求解熱傳導方程（ 3.22）的柯西問題，已知11x 211x22a 2t（ 1）u |t 0sin x2at2*2u |t 0x 21易驗它也滿初始條件；3用延拓法求解半有界直線上熱傳導方程（3.22） ,假設(shè)ux,0 x0x u0,t0（ 3）由解的公式u x, t12at e x24a2td解：（ 1） sinx 有界，故 x 2知，只需開拓x, 使之對任何 x 值有意義即可；為此，將積分分為兩

32、個0與，再在u x, t 12ats i n e4a 2td x 1第一個中用 0 來替換就得2224a t x12 x212at1sin x2ed22由邊界條件得ux, t 2a1 et 0224a te224a td=2at1sin xecos d141cosxesinda 2ta2t02at 01 e4 a te224a t d=sin xe 2at2 atsin xe12atesin x要此式成立，只需 2at 0e4 a t d21+x 2 無界， 但表達式u x, t112 e x 24a 2td即 作奇開拓，由此得解公式為 x 2x22at仍收斂，且滿意方程；因此 x2ux, t

33、 12at 0 e4a 2te4 a2 tdux,t112e4a 2tdx6. 證明函數(shù) x2 y 22at11 x2 2 ed14a2t對于變量 v x, y, t , , x, y, t 滿意方程14 a 2 te4 a2 t2at122222va2 vv 22tx2y21x2ated2xeded對于變量 , 滿意方程v22v2va 022證：驗證即可；因 x 2 y2又u t 0u1 t 0u2 t 01 x2 yv11 x 2 y 24a2 t8導出以下熱傳導方程柯西問題解的表達式22t 4 at 2e4a 2t 3u a 2 uu v1x4 a 22x 4a 2 t x 2 y2 e4a2 t2tu t