矩陣論習(xí)題答案

1、.自測(cè)題 一一、解： 因?yàn)辇R次方程的基礎(chǔ)解系為，所以V的一組基為，顯然A1，A2，A3線性無(wú)關(guān).，有，于是有 ，即A可由A1，A2，A3線性表示，故A1，A2，A3為V的一組基；且dimV=3.二、解： （1），有 =,.又因任意兩個(gè)二階方陣的乘積、和仍為二階方陣，故，即為從V到V（自身）的線性算子，所以為線性變換.（2）先求的自然基下的矩陣A ：故 .顯然, 從自然基到所給基的過(guò)渡過(guò)陣為；,所以在下的矩陣為.三、解： （1）不是內(nèi)積. 因?yàn)椴⒉灰欢ù笥诹?（2）因?yàn)?, , 即 . 四、解： （1），.行列式因子： ;不變因子： ;初等因子： .（2） ;（3）對(duì);.再求的一個(gè)廣義特征向量：

2、由 得 .取 ,故 .五、解： （1） ，故 ；（2）的收斂半徑為1，而若在其收斂域內(nèi)，故絕對(duì)收斂，且.六、解：（1） ；又因?yàn)椋?所以 ；.故 .（2）因?yàn)?，故可分?（3） 均可取.七、證： 設(shè)分別為在兩組基下的坐標(biāo)，則，當(dāng)時(shí)有：，則，故C有特征值1.反之，由于1是過(guò)渡過(guò)陣C的一個(gè)特征值，設(shè)其對(duì)應(yīng)的特征向量為X，即，由坐標(biāo)變換公式知，在基，下的坐標(biāo)，故有.八、證： A對(duì)稱正定，存在正交矩陣C，使其中特征值.對(duì)，有，使,其中.令.于是故. 而，所以.因Z的任意性，知，即A與I相合.自測(cè)題二一、解： , ,其中，故取V的基為I ，.二、解：（1）從基到基的過(guò)渡矩陣，所以在新基下的坐標(biāo)為 .（2

3、）不是線性變換.因?yàn)?（3）不是內(nèi)積. 如，不具有非負(fù)性.三、解：（1）利用Schmidt正交化方法，得，.（2）從到的過(guò)渡陣，故所求.四、解：（1）由于A實(shí)對(duì)稱，所以存在正交陣Q，使.故；.（2）取， ，得,即有.五、解： （1）；.， 所以,不變因子為；初等因子為.故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.（2）cosA的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為：J=.六、證：（1）因；故（2）因A有范數(shù)小于1，故絕對(duì)收斂；且其和的形式為.七、解：；取， ；則有（最大秩分解）；,則，所以, 方程的極小范數(shù)最小二乘解為. 八、證：（1）因?yàn)?，則有 n必為偶數(shù).（2）設(shè)的分量中絕對(duì)值最大者為，則的第k個(gè)方程；，故有.自測(cè)題三一

4、、 解：（1）不是. 設(shè)，則=（一般情況下），又（一般情況下），即.（2），故得一組基為，且.二、解： （1） ,在基下的矩陣為：.（2） ,可見(jiàn)矩陣A有三個(gè)不同的單根1，3，5，故A可以對(duì)角化，即可以對(duì)角化.（3）設(shè)度量矩陣 ，則 , , .故 .三、解：設(shè)，使得，是標(biāo)準(zhǔn)正交的.，已標(biāo)準(zhǔn)正交化，（，）=（，）=0， =1， 即得；解得：；即.因?yàn)?，為?biāo)準(zhǔn)正交基，且把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基，故為正交變換, 它在基下的矩陣表示為.四、解： 由自測(cè)題一中第四題（2）知A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，相似變換矩陣.由，求得的一組基為，則在該基下的矩陣為J.五、證： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ; 從而 . =, =

5、，因此 , 是向量范數(shù). 又因?yàn)?，因此 , 與相容.六、解： ，特征根為；則.由于，故A可以對(duì)角化, 即存在可逆矩陣C ，使；.故得 七、證： 設(shè)，取，對(duì)于矩陣A，存在矩陣范數(shù)，使 . 便得證.八、證：（1） ,同理，有. （2） =，得2.自測(cè)題四一、 解：（1），所以在E1，E2，E3下的矩陣為.(2) 設(shè)有一組基，從E1 ,E2 ,E3到e1 ,e2 ,e3的過(guò)渡矩陣設(shè)為C ,即再設(shè)A在e1 ,e2 ,e3下的矩陣為B, 則 .要使B為對(duì)角陣，即找一個(gè)可逆矩陣，使為對(duì)角陣. 因?yàn)?對(duì)，求得特征向量，對(duì)=2，求得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，.令 ，得 ，則為對(duì)角陣.由 ，可得 .二、證： 易

6、得， 即，也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，故是正交變換.三、解：（1）令，由 ，知；??；，構(gòu)造初等反射矩陣 ，則有.（2）.因此 ，所以；因?yàn)?，故矩陣冪?jí)數(shù)收斂.四、解： 由正交矩陣行（列）向量組標(biāo)準(zhǔn)正交，得 四組解是：， ， ， .五、解： (1)； ;.因?yàn)?， , 故 .（2）， ，故可以進(jìn)行LU分解 .（3）易得，所以，B的特征根為 ，故的特征根為.的特征根為：1，4，4，16，4，16.（4）B可逆，且 ，所以均可取為：.（5）A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為：.（6）對(duì)應(yīng)于的特征向量 ，對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)，再求一個(gè)廣義特征向量.令 ， . 令 ，則 ；. .六、解：（1）由，即，若不是A的

7、特征根，則 ，所以只有零解，故.若是A的特征根，則，所以有非零解.設(shè)，則.（2）設(shè)其中為單位向量.則 .七、 證：（1）設(shè)次型 ，所以B為半正定矩陣. （2）當(dāng)A的列向量組線性無(wú)關(guān)時(shí)，若X0，則AX0，故>0 ，即A為正定矩陣.八、證：（1）為非奇異，為A的特征值，故0 ，而為的特征值，據(jù)特征值上界原理, 有，即.(2) 對(duì)，由已知有由已知,即 , 故知,；即對(duì) , 有，即無(wú)非零解.故 , 從而 ，即A+B可逆.自測(cè)題五一、 解：(1) 在V1中，.令 ,因線性無(wú)關(guān)，由定義知，它們是的基，且.(2) 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)；.在的標(biāo)準(zhǔn)基下，將對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)向量排成矩陣, 并做初等變換，可見(jiàn) .由維數(shù)定

8、理.二、解：(1) 因?yàn)?，過(guò)渡陣，且，所以在1，2，3下的坐標(biāo)為.（2）設(shè)則有與，兩式相減得，由于，所在地只有X=0，故.三、解：取中的簡(jiǎn)單基 由于= , , 則在1，下的矩陣為.A的特征值為： , 相應(yīng)的特征向量為：.令 , 則.再由 , 求得中另一組基：.四、解： (1) .(2) 當(dāng)時(shí)；故度量矩陣.五、解： （1）.（2） ，易得 .不變因子；初等因子.A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為：.六、解： （1），令 ，則A=BC.其中B為列最大秩矩陣，C為行最大秩矩陣 .（2） ，所以 .（3） .七、證明提示：類似習(xí)題4.1第16題（1）的證明.八、證明：兩邊左乘矩陣A ，有,故AB=AC .，設(shè)為

9、A的加號(hào)定則，兩邊左乘 ，有.自測(cè)題六一、解：（1） 當(dāng)時(shí)，由 得.取 , 因線性無(wú)關(guān)，則它們是V的一個(gè)基.（2）； ；故在基下的矩陣為：.（3）將A對(duì)角化 ，取 使 ；設(shè)所求基為 ，有：.得 ，則在基下的矩陣為對(duì)角形.二、解： (1) ,A的特征根 ；行列式因子 ，易得 ；不變因子 ；初等因子 .(2) A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 ；(3) ；A能進(jìn)行LU分解.三、解：（1）.（2） . 四、解：(1) 由,得,顯然, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有.(2) 因,得即 兩端右乘B得 , 從而 ,由于冪等陣B的任意性，故. 五、解： (1)兩兩正交的單位向量.為列滿秩矩陣,故.（2），且與都收斂；收斂.（3）

10、 ，而 ；由于；原式.（4）A的特征根為；B的特征根為；的特征根為 .六、證： (1)當(dāng)時(shí)，設(shè)A的最大秩分解為A=BC.則 . 而 .當(dāng)A=0時(shí)上式也成立.(2)經(jīng)計(jì)算 . 于是，是A的一個(gè)減號(hào)逆.(3).故 為正交矩陣.七、證：(1) 設(shè) ，則=+.所以是線性變換.(2) 是正交變換,即 ,得 . 由的任意性，上式等價(jià)于, 所以 .八、證： 由舒爾定理知，存在西矩陣U及上三角矩陣，使得，因此有，從而得.又因?yàn)? 由于R主對(duì)角線上的元素都是A的特征值，故由式得, 而式端是R的Frobenius范數(shù)的平方，又因在酉相似（即）下矩陣的F范數(shù)不變，所以 綜合、兩式便得到所需證的不等式.又不等式取等號(hào)

11、當(dāng)用僅當(dāng)ij時(shí)都有，即A酉相似于能角形矩陣，也就是A為正規(guī)矩陣.自測(cè)題七一、 解：（1）由，得基礎(chǔ)解系，；所以V1的一組基為，且.因?yàn)?，易知是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，故，的一組基為.（2）.所以 .解此方程組得 .所以的一組基為，且.二、解：（1） 即，故 A= ;(2) 由得到 , 即 , 顯然與 均為階可逆方陣，于是有 , 即 ,亦即, 故,從而 .三、解： （1） ， . ，所以初等因子為：.A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 .（2）.（3）兩邊求導(dǎo)數(shù)，利用 且得 .四、解：（1）；.（2） ,；故 ； ，故 .（3） ；. ，所以 ，故 的特征值為：（4），存在 ， .五、解：（1），.（2）；相

12、容.（3）；，極小范數(shù)解 .六、解：（1）.（2）A的4個(gè)蓋爾圓為它們構(gòu)成的兩個(gè)連通部分為，.易見(jiàn)，與S2都關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.由于實(shí)矩陣的復(fù)特征值必成共軛出現(xiàn)，所以S1中含A的一個(gè)實(shí)特征值，而S2中至少含A的一個(gè)實(shí)特征值.因此A至少有兩個(gè)實(shí)特征值.七證：（1）設(shè)為正交變換，為的特征值 , 則有(，=(,).,故 ；（2）設(shè)為的任一特征根，為的屬于的一個(gè)特征向量，即，則 . 記的特征子空間為 的特征子空間為.對(duì)有() 2 + () 2 ，而 () 2 () 2，所以 .又 且；得，即 ，故.自測(cè)題八一、解： (1) 在已知基下的矩陣為：;(2)(；基且到基的過(guò)渡矩陣為：；則.(3) 設(shè)度量矩陣, 則

13、 ；故 .二、解：(1) 令 矩陣 若的特征值為,則的特征值是, 故的個(gè)特征值為.從而 .(2)；特征根為.行列式因子：，;不變因子：；初等因子：；故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 .三、解：（1）由于A實(shí)對(duì)稱，所以易求得非奇異矩陣P，使，其中,于是=.(2) X. 四、解：（1） ；特征根為；則.（2）；B的特征根 ，的全部特征根為：-8，-6，16，16，12，12.（3） ，可取.五、解：，構(gòu)造，.同理，構(gòu)造.令 ,則 A=QR.六、證：（1）A為對(duì)稱正定矩陣，有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有 ；對(duì)有：；,（2）；是A的右逆.（3）因?yàn)?，且A為正交矩陣，所以有,則，即.故A一定有特征根-1.七、證： 由得

14、,即 A,故 .自測(cè)題九一、解： 不是. 如取=（1，2），=（3，4），. 二、解：（1）令，則.，則+，所以是線性變換.（2），設(shè)在基下的矩陣為B，則.（3）令其中為B的列向量，由于 ，且是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組, 所以dim，且，其中，且為的一組基，得dimKer=4-dim(V)=2.令，得基礎(chǔ)解系. 記,則ker，且為的一組基.三、解： 非負(fù)性. A=0時(shí)，.相容性. 設(shè)A，BC，則有 同樣可驗(yàn)證齊次性與三角不等式.在此是矩陣范數(shù).四、解：（1）.（2）.（3），故有解，極小范數(shù)解為.五、解： （1）因，得.令，特征值.所以的所有特征值為：；.（2）B的特征值，的特征值；.六、解： 所

15、以取.七、證：（1）令 ，其中線性無(wú)關(guān).通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正交化，將變?yōu)閃的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.由已知可得;因而，線性無(wú)關(guān).把單位化，令，于是與均為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.同時(shí)，由題設(shè) ，而，則把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基，故為正交變換.（2）因?yàn)闉檎蛔儞Q，（）=（）A ，所以A為正交矩陣.又A的所有特征值都為實(shí)數(shù)，故有即A為實(shí)的正規(guī)矩陣，從而存在正交矩陣Q，使得,則A= ，即A為實(shí)對(duì)稱矩陣，故A是對(duì)稱變換.八、證：（1）設(shè)A的特征根是，令，則的特征根是由題設(shè)1， 故即，因此進(jìn)而，然而，故.（2）設(shè)A的三個(gè)特征根為 ，則，由于A是奇數(shù)階正交方陣，且，易證奇數(shù)維歐氏空間中的旋轉(zhuǎn)變換一定有特征值1，因此不妨設(shè)，則，于是

16、 ，從而.其中為實(shí)數(shù)（因或均為實(shí)數(shù)或?yàn)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù)）.又由于正交方陣的特征根的模為1.故有,所以，即.由哈密頓凱萊定理知：.自測(cè)題十一、解：（1）因?yàn)?求得 的基礎(chǔ)解系 即為V的一組基，且dimV=2.(2) 設(shè)A為P上任一n階方陣，則為對(duì)稱陣，為反對(duì)稱陣，且A=+，得.又若 , 則有, 且, 從而 , 則, 故.二、解：（1）.設(shè)在基下的坐標(biāo)為，則()在基下的坐標(biāo)為.且()及 , 其中.得基礎(chǔ)解系；取中兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,所以，dim.（2）由于中有一組基,，所以取，易知線性無(wú)關(guān)，則構(gòu)成V的一組基.設(shè)由基到基的過(guò)渡矩陣為C，則 ,所以在下的矩陣為 .三、解：（1）先由rankA=n，即A的列向量組線性無(wú)關(guān)，證ATA是正定矩陣（見(jiàn)自測(cè)題四中第七題），再由習(xí)題2-1第7題知，Rn構(gòu)成一個(gè)歐氏空間.（2）令C=ATA=（cij），所以自然基在該內(nèi)積定義下的度量矩陣為C=ATA.四、（1）證：A是冪收斂的， .（2）解：令， , B是冪收斂. 原級(jí)數(shù)和為.（3）解：設(shè)A的最大秩分解式為：,則.顯然, 五、解：令,，由于 , 所以方程組無(wú)解.全部最小二乘解為，極小范數(shù)最小二乘