論文1__三維電阻率數(shù)據(jù)插值加密及數(shù)字圖像插值的研究

1、.摘 要本文主要分析比較了不同的插值方法對(duì)于已有的電阻率數(shù)據(jù)運(yùn)用插值加密后的效果并進(jìn)行了一系列的評(píng)價(jià)。 針對(duì)問(wèn)題一，對(duì)于三維空間的插值加密可以運(yùn)用的有線性插值法、三次樣條插值法、三次多項(xiàng)式插值法、最鄰近插值法等，對(duì)各個(gè)插值方法進(jìn)行的深入分析，理解各個(gè)一維插值公式的推導(dǎo)過(guò)程以及一維至三維的衍生原理，得出保證極值大小及空間位置不變的兩種方法，繼而通過(guò)直接證明以及間接證明，通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)于給定數(shù)據(jù)的運(yùn)算，驗(yàn)證兩種方法的可行性。最后采用得出的兩種方法，最鄰近插值法以及線性插值法，進(jìn)行三維分析并建立數(shù)學(xué)模型，得出最后給定點(diǎn)的電阻率數(shù)據(jù)。 針對(duì)問(wèn)題二，通過(guò)第一題的給出的線性插值法以及最鄰近插值法，分別計(jì)算出

2、網(wǎng)格大小1m*1m*1m上任意點(diǎn)的電阻率數(shù)據(jù)，對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行三維建模，即可得出在網(wǎng)格加密后的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果。對(duì)于插值方法的由一維至三維的延伸，比較在一維延伸至三維時(shí)各個(gè)方法的計(jì)算量，評(píng)估出網(wǎng)格加密過(guò)程中計(jì)算復(fù)雜度及計(jì)算量大小。同時(shí)運(yùn)用1m*1m*1m以及10m*10m*10m網(wǎng)格大小上所有點(diǎn)的電阻率得出各種情況下的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差。 針對(duì)問(wèn)題三，用顏色圖展示網(wǎng)格加密后的直觀效果。將最小值置為純藍(lán)色（RGB為(0,0,255)），中間值置為純綠色（RGB為(0,255,0)），最大值置為純紅色（RGB為(255,0,0)），對(duì)于中間數(shù)值，運(yùn)用RGB成色三維矩陣，找出電阻率數(shù)值大小與顏色坐標(biāo)

3、的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系，用計(jì)算機(jī)作出與要求完全相同的Z=40對(duì)應(yīng)的原圖像。繼而繪制出對(duì)切片Z=0,50分別給出原數(shù)據(jù)，兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對(duì)比圖。以及對(duì)切片X=82，Y=47, Z=88 ，兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖。 針對(duì)問(wèn)題四，對(duì)于不同插值方法的加密效果，可以通過(guò)加密后切片圖像的清晰度來(lái)表示其加密效果的好壞。將RGB三維矩陣轉(zhuǎn)換為灰度數(shù)值，而對(duì)灰度進(jìn)行若干種定量的表示即可反映數(shù)字圖像清晰度。得某一指定切片圖像的灰度值，通過(guò)4種不同方法對(duì)灰度處理得出相應(yīng)定量指標(biāo)以評(píng)價(jià)圖像清晰度，進(jìn)而反映兩種插值加密法的效果。 關(guān)鍵字：線性插值法 最鄰近插值法 RGB三維矩陣 圖像清晰度 灰度;一、 問(wèn)題重

4、述在實(shí)際問(wèn)題中，由于技術(shù)與測(cè)量成本等原因，我們不能對(duì)一個(gè)物體進(jìn)行密集測(cè)量，而只能等間隔的選取部分點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。而實(shí)際中我們卻需要更多位置的數(shù)據(jù)，這時(shí)候就需要采用數(shù)學(xué)的方法，根據(jù)已知位置的數(shù)據(jù)取計(jì)算位置位置的數(shù)據(jù)。data3D.txt為某空間三維體電阻率數(shù)據(jù)文件，每一行為一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，第一列為x坐標(biāo)，第二列為y坐標(biāo)，第三列為z坐標(biāo)，第四列為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)的電阻率值。 這個(gè)數(shù)據(jù)文件中給出的坐標(biāo)網(wǎng)格大小是10m*10m*10m，要求通過(guò)插值加密后獲得網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，必須保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值（包含最大值和最小值）與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等，并且極值出現(xiàn)的坐標(biāo)位置相同。另外，

5、必須保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果與插值前的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果形態(tài)基本一致，只是前者像素更高。請(qǐng)你解決如下問(wèn)題：(1)請(qǐng)給出符合條件的兩種計(jì)算方法，并給出相應(yīng)數(shù)學(xué)公式，證明你的方法插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值與位置不變。采用你給出的兩種方法，分別計(jì)算出空間某點(diǎn)(45.8,-32.7,68.2)處的電阻率數(shù)值。(2)利用（1）中你給出的兩種方法，分別計(jì)算出網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，要求給出你的計(jì)算流程，并對(duì)兩種方法的計(jì)算量或計(jì)算復(fù)雜性進(jìn)行評(píng)估。同時(shí)給出原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及你采用兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。 圖1 原數(shù)據(jù)成像 圖2 插值加密后數(shù)據(jù)成像(3)對(duì)加密網(wǎng)格后的直觀

6、效果，可采用顏色圖展示。顏色圖就是用不同的顏色來(lái)表示每個(gè)像素。如Z=40對(duì)應(yīng)的原圖像為圖1，采用某種方法加密后得到的顏色圖像如圖2，從中可以看出像素提高了。對(duì)每一幅需要對(duì)比顯示效果的圖，請(qǐng)將最小值置為純藍(lán)色（RGB為(0,0,255)），中間值置為純綠色（RGB為(0,255,0)），最大值置為純紅色（RGB為(255,0,0)），中間數(shù)值采用過(guò)渡的顏色，可自行設(shè)計(jì)。采用這種方法，請(qǐng)對(duì)切片Z=0,50分別給出原數(shù)據(jù)，兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對(duì)比圖。另外分別對(duì)切片X=82，Y=47, Z=88 ，請(qǐng)給出兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖。（4）對(duì)不同的插值加密方法的效果，你能否給出定量的指標(biāo)。請(qǐng)對(duì)

7、你給出的指標(biāo)，分別計(jì)算出你采用的兩種不同加密方法得到數(shù)據(jù)的指標(biāo)值，并給出你的評(píng)價(jià)。二、 問(wèn)題分析問(wèn)題一：?jiǎn)栴}要求給出兩種符合上述條件的計(jì)算方法及其數(shù)學(xué)公式并證明，同時(shí)分別計(jì)算出空間某點(diǎn)的電阻率數(shù)值。首先需要了解所有三維數(shù)據(jù)的插值方法。在對(duì)所有插值法有了一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)后，深入研究各個(gè)插值法，理解一維插值公式的推導(dǎo)過(guò)程以及一維到三維的延伸。通過(guò)其基本特性及原理，給出符合條件的兩種計(jì)算方法并結(jié)合直接證明法及間接證明法，證明結(jié)論的準(zhǔn)確性。最后按兩種不同方法對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，給出指定點(diǎn)的電阻率數(shù)據(jù)。問(wèn)題二：?jiǎn)栴}要求用所求的兩種插值法計(jì)算出1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)并進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)，同時(shí)還將對(duì)兩種插值

8、法進(jìn)行關(guān)于運(yùn)算量的評(píng)估。通過(guò)問(wèn)題一的分析研究，我們可以得出該三維空間內(nèi)任意點(diǎn)的電阻率數(shù)據(jù)，對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行三維建模，即可得到更細(xì)致的三維電阻率數(shù)據(jù)。通過(guò)統(tǒng)計(jì)兩種方法在一維的的計(jì)算量進(jìn)而延伸至三維，可對(duì)兩種方法的計(jì)算復(fù)雜性有一個(gè)大體的評(píng)估。問(wèn)題三：?jiǎn)栴}要求采用顏色圖的方式展示加密網(wǎng)格后的直觀效果。運(yùn)用BRG成色原理，將按題目要求對(duì)兩種方法所得的三維電阻率數(shù)據(jù)以及原數(shù)據(jù)分別進(jìn)行建模，對(duì)不同大小的電阻率數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分，并以不同顏色呈現(xiàn)。將最小值置為純藍(lán)色（RGB為(0,0,255)），中間值置為純綠色（RGB為(0,255,0)），最大值置為純紅色（RGB為(255,0,0)），對(duì)于中間數(shù)值，找出電阻

9、率數(shù)值大小與顏色坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系，用計(jì)算機(jī)作出與要求完全相同的Z=40對(duì)應(yīng)的原圖像。對(duì)比后即可確定正確與否以及切片的精確度。問(wèn)題四：?jiǎn)栴}要求定量分析不同插值法對(duì)數(shù)據(jù)加密的效果，并給出評(píng)價(jià)。加密后的效果由顏色圖的方式直觀展示，因此可以對(duì)某一指定切片圖像的清晰度進(jìn)行建模分析，得出一個(gè)定量指標(biāo)以評(píng)價(jià)圖像清晰度，進(jìn)而反映兩種插值加密法的效果。 三、 模型假設(shè)1、 等間隔的選取部分中有著更密集的電阻率數(shù)據(jù)。2、 等間隔的選取部分的電阻率不會(huì)出現(xiàn)過(guò)大幅度的突變和振蕩。3、 忽略其他因素如溫度等對(duì)電阻率造成的影響。四、 符號(hào)約定mid = 電阻率中間值max = 電阻率最大值min = 電阻率最小值m =

10、 電阻率數(shù)值d = 距離比w= 空間某點(diǎn)的電阻率avg = 電阻率平均值sd = 電阻率標(biāo)準(zhǔn)差res= 圖像RGB數(shù)據(jù)gray = 圖像灰度數(shù)據(jù)D(x,y) = 點(diǎn)(x,y)清晰度I(x,y) = 點(diǎn)(x,y)灰度五、 模型的建立與求解問(wèn)題一：5.1.1通過(guò)查閱相關(guān)資料，可以得到對(duì)于插值有如下概念：在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過(guò)全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。插值的一個(gè)普遍應(yīng)用于填充圖像變換時(shí)像素之間的空隙。鑒于本題給的均為三維數(shù)據(jù)，我們可以在MATLAB中調(diào)用三維插值函數(shù)（inte

11、rp3），輸入給定的有限離散數(shù)據(jù)，運(yùn)用不同種的插值方法對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行插值運(yùn)算，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)出的近似值。通過(guò)查閱MATLAB中interp3的調(diào)用函數(shù)格式，我們可以得知interp3插值中可以使用的方法如下表：插值方法說(shuō)明linear(線性插值法)The interpolated value at a query point is based on linear interpolation of the values at neighboring grid points in each respective dimension. This is the default interpolati

12、on method.插值點(diǎn)與各個(gè)維度的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)呈線性關(guān)系。這是默認(rèn)的插值方法。nearest（最臨近插值法）The interpolated value at a query point is the value at the nearest sample grid point.插值點(diǎn)是在最近的樣本網(wǎng)格點(diǎn)的值。spline(三次樣條插值法)The interpolated value at a query point is based on a cubic interpolation of the values at neighboring grid points in each respe

13、ctive dimension. The interpolation is based on a cubic spline using not-a-knot end conditions插值點(diǎn)是基于立方插值的相鄰網(wǎng)格點(diǎn)的值在每個(gè)各自的維度。插值以三次樣條為基礎(chǔ)，默認(rèn)使用not-a-knot結(jié)束條件cubic（三次多項(xiàng)式插值法）The interpolated value at a query point is based on a cubic interpolation of the values at neighboring grid points in each respective di

14、mension. The interpolation is based on a cubic convolution.插值點(diǎn)是各個(gè)維度相鄰網(wǎng)格點(diǎn)基于立方插值的值。插值以三次卷積為基礎(chǔ)。1) 線性插值法線性插值法是假設(shè)兩個(gè)離散點(diǎn)之間的函數(shù)呈線性分布進(jìn)行插值。這種方法能將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)補(bǔ)差為連續(xù)函數(shù)。一維線性插值相當(dāng)于是在二維平面內(nèi)，我們把所有的已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)用線段連接起來(lái)，如果數(shù)據(jù)足夠多的話，就可以保證其精確性。假設(shè)我們已知坐標(biāo)(x0,y0)與(x1,y1),要得到x0,x1區(qū)間內(nèi)某一位置x在直線上的y值。根據(jù)圖中所示，假設(shè)AB上有一點(diǎn)（x,y），可作出兩個(gè)相似三角形，我們得到 由于 x 值已知，所

15、以可以從公式得到 y 的值已知y求x的過(guò)程與以上過(guò)程相同，只是x與y要進(jìn)行交換。2) 最臨近插值法最臨近插值法一種最基本、最簡(jiǎn)單的插值運(yùn)算法。它的思想非常簡(jiǎn)單。顧名思義，對(duì)于需要插值的未知點(diǎn)，其值等于與其最臨近的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的值。假設(shè)我們已知坐標(biāo) (x0, y0) 與 (x1, y1)，要得到 x0, x1 區(qū)間內(nèi)某一位置 x 在直線上的值。通過(guò)最臨近插值法，在定義域內(nèi)補(bǔ)差其他點(diǎn)處的函數(shù)值，可知當(dāng)x<=(x0+x1)/2時(shí)，y=y0;當(dāng)x>(x0+x1)/2時(shí)，y=y1，如左下圖所示。右下圖更加直觀地顯示了一維最臨近插值法的插值結(jié)果。其中離散的數(shù)數(shù)點(diǎn)以紅點(diǎn)表示，插值點(diǎn)以藍(lán)線表示。25

16、1) 三次樣條插值法三次樣條插值（簡(jiǎn)稱(chēng)Spline插值）是通過(guò)一系列形值點(diǎn)的一條光滑曲線，數(shù)學(xué)上通過(guò)求解三彎矩方程組得出曲線函數(shù)組的過(guò)程。假設(shè)有以下節(jié)點(diǎn)樣條曲線是一個(gè)分段定義的公式。給定n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，共有n個(gè)區(qū)間，三次樣條方程滿足以下條件：a. 在每個(gè)分段區(qū)間（i=0,1,n-1 x遞增），都是一個(gè)三次多項(xiàng)式。b. 滿足 （i = 0, 1, , n ）c.，導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)在a, b區(qū)間都是連續(xù)的，即曲線是光滑的。所以n個(gè)三次多項(xiàng)式分段可以寫(xiě)作：，i=0 ,1 , ,n-1其中ai, bi, ci, di代表4n個(gè)未知系數(shù)。根據(jù)插值連續(xù)性與微分的連續(xù)性，我們可以得出以下條件從中可以

17、得到共計(jì)n+n+(n-1)+(n-1)=4n-2個(gè)條件，但是我們需要確定4n的未知系數(shù)，因此我們通常添加2個(gè)邊界條件，即可得到每段曲線的具體表達(dá)式。3種比較常用的邊界條件如下。邊界名稱(chēng)條件自由邊界(Natural)首尾兩端沒(méi)有受到任何讓它們彎曲的力，即固定邊界(Clamped)首尾兩端點(diǎn)的微分值是被指定的，這里分別定為A和B。 非節(jié)點(diǎn)邊界(Not-A-Knot)指定樣條曲線的三次微分匹配，即 4）三次多項(xiàng)式插值法三次多項(xiàng)式插值法類(lèi)似與三次樣條插值，只是所求三次多項(xiàng)是不要求二階導(dǎo)數(shù)在a, b區(qū)間都是連續(xù)的。同樣最后我們也應(yīng)添加1個(gè)邊界條件，來(lái)得出每段曲線的具體表達(dá)式，在這里就不在贅述。在了解一維

18、插值加密的原理后，我們將推導(dǎo)出三維差值加密的方法。二維插值加密時(shí)，每一個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的值將由兩個(gè)自變量（x,y）決定。因此我們將對(duì)兩個(gè)自變量采用逐一插值的方法進(jìn)行插值運(yùn)算。首先，在插值點(diǎn)的位置取X切片。通過(guò)X切片，不難運(yùn)用一維插值加密法，計(jì)算出插值點(diǎn)對(duì)自變量y的加密結(jié)果并將結(jié)果以數(shù)據(jù)點(diǎn)的形式分布在Y切片。而后將新的數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)自變量x進(jìn)行一維差值加密，最終得到二維的插值加密結(jié)果。三維插值加密過(guò)程中，每一個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的值將有三個(gè)自變量（x,y,z）決定。同理，根據(jù)切片的思想，對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行三次一維差值加密，進(jìn)而得到三維的插值加密結(jié)果。5.1.2 符合條件的插值方法的推導(dǎo)及證明題目要求所選的插值方

19、法必須保證三維插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值（包含最大值和最小值）與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等，并且極值出現(xiàn)的坐標(biāo)位置相同。在大體了解各種方法的基本運(yùn)算原理后，我們可以給我兩種符合條件的加密方法，即：線性插值法與最臨近插值法。由于三維插值加密的本質(zhì)相當(dāng)于進(jìn)行三次的一維插值加密，因此要保證三維插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值以及極值點(diǎn)不變，我們必須保證每次的一維插值后的結(jié)果均滿足上述條件。即題目可轉(zhuǎn)化成為：證明一維插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值及極值點(diǎn)不變。下面我們將根據(jù)兩種不同插值法的基本原理，分別給出證明：直接證明法：1.線性插值法根據(jù)一維線性插值法的公式，我們得出插值后的電阻率數(shù)據(jù)的一段分布函數(shù)：對(duì)此函數(shù)分析，我們

20、可以得知它在區(qū)間內(nèi)單調(diào)。因此在此區(qū)間內(nèi)，插值后的電阻率數(shù)據(jù)將不會(huì)改變?cè)搮^(qū)間內(nèi)的極值情況：極大值極小值分布出現(xiàn)在兩端給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。由于線性插值是對(duì)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行兩兩分段分析，可知任意分段區(qū)間的電阻率數(shù)據(jù)遵循上述性質(zhì)。那么插值后的電阻率數(shù)據(jù)的極值仍將出現(xiàn)在原給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，即極值及極值點(diǎn)與未插值加密前相等。2.最臨近插值法據(jù)一維最臨近插值法的定義，插值點(diǎn)取值只會(huì)在原給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，并不會(huì)產(chǎn)生新的數(shù)值。顯然，插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值（包含最大值和最小值）與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等。3.間接證明法：為進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)論的正確性，我們將對(duì)給定的電阻率數(shù)據(jù)用四種不同計(jì)算方法進(jìn)行三維插值加密，獲得網(wǎng)格大小為1m

21、*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)。通過(guò)matlab編程，對(duì)所有三維電阻率數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)，得出加密后數(shù)據(jù)的最值情況并記錄，結(jié)果如下表所示。通過(guò)觀察，我們可以看出三次樣條插值法與三次多項(xiàng)式插值法改變了插值前數(shù)據(jù)的最值大小，而線性插值法與最臨近插值法的最值情況保持不變。可以肯定的是，采用三次樣條插值法與三次多項(xiàng)式插值法獲得的三維電阻率數(shù)據(jù)的極值情況發(fā)生變化。間接證明，采用線性插值法與最臨近插值法加密不會(huì)改變電阻率數(shù)據(jù)的極值情況。5.1.3三維空間內(nèi)指定點(diǎn)的電阻率數(shù)值計(jì)算三線性插值在matlab中可以直接調(diào)用函數(shù) 線性插值法函數(shù)： interp3（x,y,z,v,x0,y0,z0，linear）最臨

22、近插值法函數(shù)：interp3（x,y,z,v,x0,y0,z0，nearest）我們把電阻率數(shù)據(jù)data3D.txt這個(gè)文件導(dǎo)入matlab, 通過(guò)interp3這個(gè)函數(shù)對(duì)10m*10m*10m電阻率數(shù)據(jù)建模解析，直接一步求出(45.8,-32.7,68.2)處的電阻率數(shù)值。結(jié)果見(jiàn)下表：插值方法(45.8,-32.7,68.2)電阻率線性插值法194.269538983246最臨近插值法194.965496055207同樣我們也可以用一維插值進(jìn)行分三次插值分析。第一次分析：我們對(duì)y=-32.7的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算，matlab語(yǔ)言為yiwei21_11.m這個(gè)文件，可以直接得出在y=-32.7這

23、個(gè)平面內(nèi)的21*11個(gè)點(diǎn)的電阻率，得出的數(shù)據(jù)為yiwei21_11.txt這個(gè)文件。第二次分析：然后再對(duì)這個(gè)y=-32.7這個(gè)平面內(nèi)的21*11個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性分析插值分析，matlab語(yǔ)言為yiwei11.m這個(gè)文件，就可以得出在x=45.8，y=-32.7這條線上的11個(gè)點(diǎn)的電阻率，得出數(shù)據(jù)為yiwei11.txt這個(gè)文件。第三次分析：最后對(duì)這11個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插值分析，matlab語(yǔ)言為yiwei1.m這個(gè)文件，最后得出在x=45.8,y=-32.7,z=68.2這個(gè)點(diǎn)位置處的電阻率。結(jié)果見(jiàn)下表：插值方法(45.8,-32.7,68.2)電阻率線性插值法194.269538983246最臨

24、近插值法194.965496055207可見(jiàn)，三次一維線性插值分析的結(jié)果與三維插值分析結(jié)果相同。問(wèn)題二：5.2.1 兩種插值法進(jìn)行三維加密的計(jì)算流程通過(guò)問(wèn)題一的分析研究，我們已經(jīng)可以得出該三維空間的任一點(diǎn)的電阻率數(shù)據(jù)。為了得到完整的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，我們需要對(duì)原離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行建模，重復(fù)三維加密過(guò)程，為所有1m*1m*1m的三維空間點(diǎn)進(jìn)行插值，即可計(jì)算出更細(xì)致的三維電阻率數(shù)據(jù)。由問(wèn)題一可知，三次一維插值分析的結(jié)果與三維插值分析的結(jié)果相同。那么我們可以把一點(diǎn)的三維插值的計(jì)算流程分解為三次一維插值的計(jì)算流程的總和。三維轉(zhuǎn)一維插值計(jì)算流程如下：我們對(duì)y=y0進(jìn)行線性插值計(jì)算

25、，可以直接得出在y=y0這個(gè)平面內(nèi)的21*11個(gè)點(diǎn)的電阻率，得出21*11組數(shù)據(jù)。然后再對(duì)這個(gè)x=x0這個(gè)平面內(nèi)的21*11個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性分析插值分析，就可以得出在x=x0，y=y0這條線上的11個(gè)點(diǎn)的電阻率，得出11組數(shù)據(jù)。最后對(duì)z=z0這條線上的11個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插值分析，最后得出在x=x0,y=y0,z=z0這個(gè)點(diǎn)位置處的電阻率w。點(diǎn)的電阻率，得出11組數(shù)據(jù)。問(wèn)題需要分析對(duì)比兩種插值法的計(jì)算量，由于兩種插值法在一點(diǎn)到多點(diǎn)，一維到三維的計(jì)算流程相同，我們只需細(xì)致分析兩種插值法的一維的運(yùn)算量。5.2.2 兩種插值法計(jì)算量的評(píng)估1. 線性插值法根據(jù)一維線性插值的計(jì)算公式：可知插值數(shù)據(jù)的得出，需

26、要8次運(yùn)算。2. 最臨近插值法根據(jù)根據(jù)一維最臨近插值的計(jì)算公式：y= y0 , &x < x0+x12y1 , &x x0+x12可知插值數(shù)據(jù)的得出，需要3次運(yùn)算。對(duì)比分析兩種方法一維插值的計(jì)算量，線性插值的計(jì)算量近最臨近插值的3倍。因此，線性插值較之最鄰近插值更為復(fù)雜，其計(jì)算量要大得多。因?yàn)樽钹徑逯稻蛢H僅只是要求我們判斷和賦值就可以了，但是線性插值則需要我們進(jìn)行帶入方程運(yùn)算，運(yùn)算復(fù)雜度要比最鄰近值高得多。5.2.3 兩種插值法加密數(shù)據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。 對(duì)原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及之前得到的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得到原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)

27、據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。插值方法平均值avg標(biāo)準(zhǔn)差ad原數(shù)據(jù)197.268913.7332線性插值法196.657714.0306最臨近插值法196.675414.6247 對(duì)比可知，無(wú)論采用何種插值方法，由于數(shù)據(jù)點(diǎn)的增加，均會(huì)降低數(shù)據(jù)的平均值；同時(shí)提高數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散度提高。問(wèn)題三：5.3.1模型建立通過(guò)尋找一種數(shù)學(xué)方法使得能夠把一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成為一個(gè)乘三的矩陣，這樣就可以通過(guò)matlab把這個(gè)乘三的矩陣讀取成為顏色，然后再在坐標(biāo)圖上用顏色來(lái)表示其大小。5.3.2問(wèn)題回顧：對(duì)于Z=40時(shí)所對(duì)應(yīng)的原圖像，圖1，以及某種方法加密后得到的顏色圖如圖2， 圖1 原數(shù)據(jù)成像 圖2 插值加密后數(shù)據(jù)成

28、像題目中指出，對(duì)每一幅需要對(duì)比顯示效果的圖，最小值為純藍(lán)色（RGB為(0,0,255)），中間值為純綠色（RGB為(0,255,0)），最大值為純紅色（RGB為(255,0,0)），而中間數(shù)值則要求使用過(guò)渡的顏色。5.3.3問(wèn)題分析根據(jù)RGB顏色圖的基本原理，一個(gè)顏色有三個(gè)通道，R通道，G通道，B通道，而本題要求的即是考慮用不同的顏色來(lái)表示不同的電阻率數(shù)據(jù)大小。即，對(duì)于一個(gè)給定的電阻率數(shù)據(jù)，將其由一維上的數(shù)據(jù)換算成顏色上的三維通道數(shù)據(jù)，這里可以使用res(x,y,1)來(lái)表示紅色通道，res(x,y,2)來(lái)表示綠色通道，res(x,y,3)來(lái)表示藍(lán)色通道，對(duì)于數(shù)據(jù)中最大值最小值以及中間值，題干中

29、已經(jīng)給出，故其顏色和位置已經(jīng)固定，即最小值對(duì)應(yīng)藍(lán)色，res(x,y,1)=0,res(x,y,2)=0,res(x,y,3)=1，而中間值對(duì)應(yīng)的綠色，res(x,y,1)=0,res(x,y,2)=1,res(x,y,3)=0，對(duì)于最大值對(duì)應(yīng)的紅色，res(x,y,1)=1,res(x,y,2)=0，res(x,y,3)=0 。而其他的任意一個(gè)電阻率數(shù)據(jù)，判斷這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的顏色矩陣，可以通過(guò)它相對(duì)于最大值最小值以及中間值的大小位置，來(lái)確定顏色矩陣。即，首先判定這個(gè)電阻率數(shù)值大小位于最大值和中間值之間或者是在最小值和中間值之間，進(jìn)而得出這個(gè)數(shù)距中間的距離比。5.3.4數(shù)學(xué)運(yùn)算這里函數(shù)關(guān)系如下Mi

30、d = 中間值Max = 最大值Min = 最小值M =電阻率數(shù)值D = 距離比當(dāng)Min<M<Mid時(shí)，有D=(Mid-M)/(Mid-Min)，則該點(diǎn)處的RGB可以表示為（0 ,1-D，D），顏色顯示為純綠色和純藍(lán)色之間；當(dāng)Mid<M<Max時(shí)，D=(M-Mid)/(Max-Mid)則該點(diǎn)處的RGB可以表示為（D，1-D，0），顏色顯示為純綠色和純紅色之間。通過(guò)這種方法，將任一切面上的所有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成了RGB顏色三維矩陣，通過(guò)顏色的不同可以表示他們的大小的不同，即可得出所要求的圖像。運(yùn)用這種方法，首先得出z=40切片上的圖像，如下，并可與題干中圖像進(jìn)行分析比較原數(shù)據(jù)圖像

31、 三線性插值加密后圖像由上圖可以看出，編碼以及結(jié)果符合題目要求。5.3.5答案展示根據(jù)寫(xiě)出的matlab程序，以及原始網(wǎng)格大小是10m*10m*10m時(shí)的數(shù)據(jù)，和由題目二中得出的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，找出當(dāng)z=0時(shí)的原始數(shù)據(jù)以及加密后的電阻率數(shù)據(jù)。對(duì)所得的切面數(shù)據(jù)進(jìn)行上述的轉(zhuǎn)換，即是用顏色矩陣表示切面上各個(gè)電阻率數(shù)值，用MATLAB進(jìn)行繪圖，即可得到所需切面的顏色圖，展示結(jié)果如下圖所示（圖中純紅色為最大值位置，純綠色為中間值位置，純藍(lán)色為最小值位置）z=0時(shí)的原數(shù)據(jù)切片成像z=0時(shí)三線性插值加密后的圖像 z=0時(shí)最鄰近插值加密后的圖像 同樣的，我們可以在原始數(shù)據(jù)中找出z=

32、50切面的電阻率數(shù)據(jù)，并根據(jù)題目二中得出的網(wǎng)格大小為1m*1m*1m的三維電阻率得出z=50切面數(shù)據(jù)，繼而通過(guò)顏色映射關(guān)系用matlab進(jìn)行相同的運(yùn)算后得出z=50時(shí)三種情況切面圖：z=50時(shí)的原數(shù)據(jù)切片成像 z=50時(shí)三線性插值加密后的圖像 z=50時(shí)最鄰近插值加密后的圖像同理，我們可以得到當(dāng)x=82時(shí)的切片的加密后圖像x=82三線性插值加密后的圖像 x=82最鄰近插值加密后的圖像同理，得到當(dāng)y=47時(shí)的切片的兩種加密后圖像y=47三線性插值加密后的圖像 y=47最鄰近插值加密后的圖像同理，得到當(dāng)z=88時(shí)的切片的兩種加密后圖像Z=88三線性插值加密后的圖像 z=88最鄰近插值加密后的圖像問(wèn)

33、題四：5.4.0 運(yùn)用三維坐標(biāo)圖定性的評(píng)價(jià)不同插值加密效果對(duì)于不同的插值加密效果，可以一定程度上從定性角度進(jìn)行分析，如題目三中任一切面上的顏色圖，即可定性評(píng)價(jià)插值加密效果，這里，除了題目三中介紹的方法外，可以通過(guò)做出不同插值加密方法所得出的坐標(biāo)圖，更加簡(jiǎn)潔鮮明的看出效果，對(duì)于z=40切面做出空間電阻率分布圖 最鄰近插值加密 三次線性插值加密這里可以看出相對(duì)于最鄰近插值加密效果圖，三次線性加密圖更為平滑，可以理解為在空間上的變化也更為自然。同時(shí)，可以比較兩者在二維上的對(duì)比圖 最鄰近插值加密 三次線性插值加密放大后結(jié)果更為清晰，不同插值加密后的某一角度觀察的的圖像區(qū)別明顯。5.4.1 常用數(shù)字圖像

34、清晰度評(píng)價(jià)方法清晰度是衡量數(shù)字圖像質(zhì)量?jī)?yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)。對(duì)于不同的差值加密方法形成的顏色圖，我們可以參考數(shù)字圖像清晰度的評(píng)價(jià)方法對(duì)顏色圖進(jìn)行定量分析，得出關(guān)于圖像清晰度的指標(biāo)值，借以評(píng)價(jià)不同加密方法對(duì)圖像清晰度的影響。通過(guò)查閱相關(guān)資料，得知不同計(jì)算數(shù)字圖像清晰度的方法。下面針對(duì)幾種較為常用的和具有代表性的方法進(jìn)行討論。1. 基于Brenne梯度函數(shù)的清晰度算法Brenne梯度函數(shù)是最簡(jiǎn)單梯度評(píng)價(jià)函數(shù),它只是簡(jiǎn)單地計(jì)算相鄰兩個(gè)像素的灰度差,由于需要將邊緣的貢獻(xiàn)進(jìn)行增強(qiáng),所以對(duì)差值進(jìn)行了平方處理,基于Brenne梯度函數(shù)的圖像清晰度定義為:其中:I(x,y)表示圖像I對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)(x,y)的灰度值

35、,D(I)為圖像清晰度計(jì)算結(jié)果2. 熵函數(shù)法熵函數(shù)法是根據(jù)香農(nóng)信息論提出來(lái)的,香農(nóng)認(rèn)為熵越大時(shí)信息量越多,將此原理應(yīng)用到圖像清晰度評(píng)價(jià)中,可以認(rèn)為在圖像能量一定的情況下,圖像熵越大則圖像越清晰?；陟睾瘮?shù)法的圖像清晰度定義為：其中:D(I)同時(shí)也表示圖像的熵3. 基于點(diǎn)銳度的清晰度算法（EAV）一種基于邊緣銳度的算法用于評(píng)價(jià)圖像的清晰度，圖像清晰度的高低與邊緣處灰度變化情況密切相關(guān)，即灰度變化越大表明邊緣越清晰，因此可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖像某一邊緣方向的灰度變化情況來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算公式如下：由于前兩種算法思路簡(jiǎn)單,物理意義較明確,所以廣泛應(yīng)用于具有相同內(nèi)容和尺寸的圖像清晰度的分析和計(jì)算,但是它們均是無(wú)

36、界的,不適合不同圖像之間清晰度的橫向比較。然而第三種基于點(diǎn)銳度的清晰度算法，通過(guò)圖像的每個(gè)點(diǎn)灰度的變化來(lái)評(píng)價(jià)圖像的清晰度，能橫向?qū)Ρ葓D像的清晰度。5.4.2 RGB圖像轉(zhuǎn)灰度圖像的公式及MATLAB上的函數(shù)調(diào)用基于前面所討論的幾種用于計(jì)算數(shù)字圖像清晰度的方法，可以從中選擇通過(guò)測(cè)定點(diǎn)銳度的大小來(lái)定量評(píng)估切片圖像質(zhì)量?jī)?yōu)劣。為了將彩色矩陣轉(zhuǎn)換為灰度，可以采取以下方法：方法一：對(duì)于彩色轉(zhuǎn)灰度，有一個(gè)著名的心理公式：方法二：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為避免低俗的浮點(diǎn)運(yùn)算，需要整點(diǎn)算法，縮放1000倍后運(yùn)算算法方法三：這種算法公式應(yīng)用于圖像處理軟件Adobe Photoshop中，該方法運(yùn)行速度稍慢，但是效果很好。 G

37、ray = (R2.2 * 0.2973 + G2.2 * 0.6274 + B2.2 * 0.0753)(1/2.2)在matlab中，rgb2gray函數(shù)將采用方法一的公式，將RGB圖像數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為灰度。通過(guò)調(diào)用rgb2gray函數(shù)，錄入兩種插值方法所得的任意一切面的RGB數(shù)據(jù)，可以得出灰度圖，顏色圖與灰度圖對(duì)比如下（為使結(jié)果更突出，取z=40）：因此，通過(guò)RGB圖像轉(zhuǎn)化為灰度圖，可得出轉(zhuǎn)化后的電阻率對(duì)應(yīng)灰度圖的數(shù)據(jù)，再通過(guò)基于點(diǎn)銳度的清晰度算法，寫(xiě)入程序后，即可得出使用不同方法后的圖片的清晰度定量描述量，即銳度。5.4.3 不同種插值方法得出的清晰度及評(píng)價(jià)上一小節(jié)中講述了顏色圖轉(zhuǎn)變?yōu)榛叶葓D

38、并舉了z=40時(shí)切面上的轉(zhuǎn)換實(shí)例，為進(jìn)一步定量的描述切面圖像清晰度，使用基于Brenne梯度函數(shù)的清晰度算法，熵函數(shù)法及基于點(diǎn)銳度的清晰度算法，在z=40且切面上的各種插值加密后的數(shù)據(jù)顏色圖，得出相應(yīng)的定量描述值如下表方法NearestLinearSplineCubic1熵-2.3335e+07-2.3539e+07-2.3425e+07-2.3424e+072梯度1.6156e+063.5825e+053.6550e+053.6544e+053銳度10.6822 9.6328 9.69009.6908由上表可以看出，三種不同的評(píng)價(jià)方法在對(duì)linear,spline,cubic這三種插值方法評(píng)

39、價(jià)基本正確。然而nearst的清晰度卻一致評(píng)價(jià)是最高的。根據(jù)肉眼主觀評(píng)價(jià)，易知對(duì)nearst清晰度的評(píng)價(jià)是錯(cuò)誤的，nearst清晰度應(yīng)是4種插值方法中最低的。所以nearst的清晰度評(píng)價(jià)不能反映插值效果。六、模型的評(píng)價(jià)及其改進(jìn)問(wèn)題一模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1） 兩種插值符合題目要求的極值點(diǎn)位置及其大小不發(fā)生改變；（2） 兩種方法都可以正確完成題目所給要求求出計(jì)算出空間某點(diǎn)(45.8,-32.7,68.2)處的電阻率數(shù)值；（3） 兩種插值方法都是比較簡(jiǎn)單易懂，且是常用的插值方法。缺點(diǎn)：（1） 最鄰近點(diǎn)插值不夠準(zhǔn)確；（2） 兩種插值方法的函數(shù)都不是光滑的函數(shù)，最鄰近點(diǎn)插值的函數(shù)是斷層函數(shù)，線性插值的函

40、數(shù)圖像就是直線，所以產(chǎn)生的數(shù)據(jù)不會(huì)很準(zhǔn)確，最后產(chǎn)生的效果不夠柔和。問(wèn)題一模型的改進(jìn)通過(guò)查閱資料，我們可以得知插值方法除了線性插值和最鄰近點(diǎn)插值之外還有三次多項(xiàng)式插值法（cubic）以及三次樣條插值法（spline），但是通過(guò)matlab進(jìn)行插值運(yùn)算后，我們發(fā)現(xiàn)此兩種插值方法無(wú)法保證題目所要求的極值點(diǎn)大小及其位置不發(fā)生改變，所以該兩種插值方法不是符合題目要求的方法，只有線性插值和最鄰近點(diǎn)插值符合題目要求。但是最鄰近點(diǎn)插值根本無(wú)法準(zhǔn)確地表示出為所要求的數(shù)值，線性雖然能夠近似地求出，但是實(shí)際結(jié)果都沒(méi)有三次多項(xiàng)式插值法（cubic）以及三次樣條插值法（spline）要好。因此我們可以建立一種新的插值方

41、法，這種插值方法為在極值點(diǎn)附近的兩個(gè)點(diǎn)以及極值點(diǎn)，對(duì)于這三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行線性插值，其他的點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值法（spline），這樣我們就可以既保證所產(chǎn)生的結(jié)果的精確性以及圖像的柔和性，又可以按照題目要求保證極值點(diǎn)大小及其位置不發(fā)生改變。這種方法由于時(shí)間問(wèn)題，沒(méi)能完成，現(xiàn)把思路方案給出。問(wèn)題二模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1） 通過(guò)matlab語(yǔ)言可以直接寫(xiě)出空間內(nèi)給定坐標(biāo)外的全部數(shù)據(jù)，大大地加密了空間數(shù)據(jù)的完整度和連續(xù)性；（2） Matlab算法語(yǔ)言簡(jiǎn)潔明了、思路清晰；（3） 運(yùn)算速度較普通的循環(huán)語(yǔ)句要快得多。缺點(diǎn)：由于加密后得出的最終結(jié)果可能較多，可能導(dǎo)致運(yùn)算量過(guò)大。問(wèn)題三模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：可以很清晰明確地

42、顯示出顏色的變化效果和變化趨勢(shì)缺點(diǎn)：我們是通過(guò)了一個(gè)線性的換算直接把原來(lái)的結(jié)果換算成了個(gè)乘三矩陣，雖然能夠直接表明顏色的變化，但是對(duì)于趨勢(shì)的效果顯示還是不夠明顯，而且對(duì)于圖像的顏色大小表示也不夠精確。問(wèn)題三模型的改進(jìn) 查閱資料可以得出，RGB三原色可以用二進(jìn)制分別表示其三組通道內(nèi)的值，那么我們就可以把紅色（255,0，0）表示為111111110000000000000000，換算為十進(jìn)制為16711680，綠色（0,255,0）表示為000000001111111100000000，換算為十進(jìn)制為65280，藍(lán)色（0,0,255）表示為000000000000000011111111，換算為

43、十進(jìn)制為255。因此現(xiàn)在我們把一組乘三矩陣的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成了一組數(shù)據(jù)，通過(guò)這樣我們可以找出顏色的RGB值和數(shù)據(jù)的對(duì)照關(guān)系，較之原來(lái)的方法，這種方法更為準(zhǔn)確，但是有可能會(huì)導(dǎo)致顏色和數(shù)據(jù)離散程度較大。問(wèn)題四的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1） 通過(guò)把他們的清晰度轉(zhuǎn)換成一個(gè)具體的數(shù)字能夠更加直觀的表達(dá)出圖像的清晰程度的不同；（2） 情緒度通過(guò)運(yùn)算后可以算出一個(gè)定量的值；（3） 清晰度可以間接反映不同插值加密方法的效果。缺點(diǎn)：在對(duì)最鄰近點(diǎn)插值產(chǎn)生的圖像進(jìn)行清晰度評(píng)價(jià)時(shí)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，此方法不適用于最鄰近點(diǎn)插值效果的分析中，但對(duì)于其他方法效果評(píng)估全部成立。七、參考文獻(xiàn)【1】Meijering, Erik (2002), &qu

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