立體幾何學習障礙分析和教學對策研究

1、立體幾何學習障礙分析和教學對策研究the analysis of learning disturbance on solid geometry and the related inscructional strategies 上海市中國中學黃勇【摘要】建立空間概念、掌握空間圖形的性質(zhì)及培養(yǎng)空間想象能力、并能用立體兒何知識解決實際 問題，是高中立體幾何的教學要求。但有相當一部分的同學在學習過程中遇到了極大的障礙。因此, 作為教師，應(yīng)該認真剖析學生在學習立體幾何時的思維障礙，探究造成這些障礙的主要原因，并提 出相應(yīng)的教學對策，以使我們的教學更有效。【關(guān)鍵詞】立體幾何、學生學習障礙、教學對策、形彖直

2、觀、轉(zhuǎn)化思想新課標對數(shù)學的釋義是“研究現(xiàn)實世界屮數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”。立體幾何一 研究空間形式的主要章節(jié)，理所當然是高中數(shù)學學習的一個重點，它需要學生有一定 的空間想象能力和邏輯推理能力。但大部分學生接觸立休兒何后，思維就陷在了兒何圖 形紛繁蕪雜的線面關(guān)系里，“剪不斷，理還亂”，倍感困難。對此，筆者在問卷、測試 和訪談?wù){(diào)查的基礎(chǔ)上，依據(jù)多年的教學經(jīng)驗，談?wù)劻Ⅲw幾何學習小學生的主要障礙和相 應(yīng)的教學對策。一、立體幾何學習中的主要障礙1、空間想象能力的欠缺。在z前章節(jié)的數(shù)學教學中，無論是函數(shù)圖像還是解析兒何、向量，所研究的都是平 而圖形，這些固化了學生的讀圖思維。以致在接觸到立體圖形時，仍以

3、“平而的眼光去 看立體”，結(jié)果是學生眼睛所看到的往往與真實的空間關(guān)系是有差異的。還有就是學生 看到幾何體直觀圖時，往往不易建立空間概念，無法在頭腦中將z轉(zhuǎn)化為準確的幾何模 型映像，從而得出正確的圖形性質(zhì)。c!例如：在解決“作出三棱柱abc-ac,中過p、0 r三點、的截面（見圖1）?！边@一問題時，很多學生錯誤地認為qp、c.a '、£/廠嚴延長線能和交，從而得出點e是截面與上底面的公共點、rp連 /八、壯 c（ / 線即為截面與上底面交線的錯誤結(jié)論。事實上，在三棱柱abc-ac.中，qp、ga延長線是不可能相交的。a ' q b圖12、邏輯推理能力的欠缺。不僅立體幾何

4、中的證明題對邏輯推理能力的要求很高，就是關(guān)于空間距離和角度的 計算題，首先也需要學生能夠?qū)λㄎ坏木€段或角進行嚴謹有序的論證。相對高屮數(shù)學 代數(shù)部分側(cè)重于解題切入點的選取和定量的計算，立體幾何更側(cè)重于定性的分析和嚴密 的推理，從己知條件入手到最后結(jié)論的推出，往往要涉及到很多的公理、定理和性質(zhì)。學生經(jīng)?？梢杂梢阎獥l件大致猜測出結(jié)論，但幾何的論證是不允許思維的過度跳躍和主 觀臆斷的語句存在的，因此要學生設(shè)計合適的說理步驟，止確運用公理、定理和性質(zhì)使 之出現(xiàn)在每一步的推出關(guān)系中，讓他們大傷腦筋。立兒中常用的反證法更是無法把握。例如：證明命題“若平面ac/3 = l ,直線ao 口 q/0,貝/ (見

5、圖2) ”。思路是過直線q作輔助平面1和2分別交&和0,先利用線面平行的 性質(zhì)定理得出。人ac,從而根據(jù)公理4得出b/c,然后利用線面 平行判定定理得出b/0,再利用線面平行的性質(zhì)定理得出b/,最后 根據(jù)公理4得lha/l.在此過程中，公理4、線面平行的判定定理和性質(zhì)定理反復(fù)使用, 線線關(guān)系與線而關(guān)系不停轉(zhuǎn)化，容易導致學生產(chǎn)生邏輯混亂，很難條 理清晰地完成論證。3、靈活應(yīng)用定理分析和解決問題的能力較弱。學生在遇到有關(guān)線線，線面，面面的位置關(guān)系判定和證明以及空間角和距離的確定計 算等方面的問題時，常常深感困難，無從下手。以證明兩條直線垂直為例，在平面解幾 屮通常只要證明此兩條直線的方向向

6、量的數(shù)量積為零即可，思路比較確定。而立體幾何 中，要證明兩條直線垂直，可以通過異面成角為90“或三垂線定理或線面垂直與平行、 面面垂直的性質(zhì)定理及一些推論來進行，可選擇的方法較多，要看貝體的問題而論，這 種不確定性就給學生帶來了很大的思維障礙。4、初中平面幾何的負遷移。通過初屮兩年的學習，以及平常生活屮對圖形的直觀認識，使得平而幾何的知識理論 體系在學生的頭腦屮根深蒂固。平面幾何大量直觀的圖形和幾何概念，對初屮學生學習幾 何的入門，直觀思維和形象思維的培養(yǎng)，都起著不可低估的作用，但是，這在某個程度上對 立休兒何的學習產(chǎn)生了負遷移影響。當研究對象從平面圖形上升為空間圖形、思維空間 從“二維”變?yōu)?/p>

7、“三維”時，學生就會產(chǎn)生新舊知識結(jié)構(gòu)的認知沖突，反映在以下兩個方 而：(1) 識圖與畫圖。表現(xiàn)在“看到的與想到的不一樣”。例如在“水平放置的平面 圖形的直觀圖畫法”中，止方形，矩形在水平放置后呈平行四邊形，以及在圖中看上去明 顯不垂直的兩條線段卻偏要證明他們互相垂直等。(2) 平面幾何的性質(zhì)在立體幾何中正確性的再認識與辨析。平面幾何中一些常用的 正確的性質(zhì)，在立體幾何中卻不成立。例如：平而屮，若直線d丄坎c丄，則d/c；但在 空間若直線。丄b、c丄b,則°、c的位置關(guān)系可以是平行、相交或異面。因而，平面幾何 中的性質(zhì)不能直接在立體幾何中應(yīng)用，這需要我們再認識與辨析。而往往學生在證明判

8、 斷中卻以平面兒何的慣性思維來考慮立休兒何問題，這正是反映了平面兒何知識的負遷 移影響。這種負遷移常體現(xiàn)在立體幾何教學的入門難上，如果這一關(guān)過不好，將影響后面 的深入學習。二、立體幾何的教學對策1、善于使用模型，加強形象直觀。按照教育家烏申斯基的說法，直觀的教學不是以抽象的概念和詞語為依據(jù)，而是以 學生的直接感知的具體形式為依據(jù)的。因此在教學中有意識地使用立體兒何模型，是幫 助學生順利地進入立體幾何z門的有用鑰匙。教師應(yīng)放慢進度，在教學中盡量出示直觀模型，幫助學生逐步形成空間概念。這里 所說的模型并不僅指教學中使用的立幾教具，而主要是指學生隨吋可取的桌面、書木（表 示平血），筆、手指（表示直線

9、）、打開的書本、墻血（表示相交的二面）等等。善于利 用立兒模型，可以使許多問題變得直觀易懂，能較快地提升學生的空間想象能力。例如在作“空間交于同一點的三個平面直觀圖”時，學生感到十分困難，毫無頭緒。 但只要教師提示學生觀察教室的墻角，該作圖題就迎刃而解了（見圖3）。再例如：“若兩條直線a、b與兩條異面直線c、d分別交于點a、b和c、d,試判斷此対 條直線b的位置關(guān)系?！边@個問題，只要拿四支筆擺一下幾種不同的位置關(guān)系，很快 就能得岀兩條直線b相交或異面的位置關(guān)系。日常教學中模型的使用可幫助學生遇到空間圖形吋在腦中建立相應(yīng)的實物影像，這 就是初步具備了空間想象力。如果教師在課堂中曾向?qū)W生展示并分析

10、過三棱柱模型，那 么圖i中的錯誤學生就不會犯了。隨著科學技術(shù)的發(fā)展以及學校多媒體設(shè)備的普及，教師還可以借助計算機繪制生動、 形象的立體圖形，并通過對圖形移動、切割、旋轉(zhuǎn)、放大等動態(tài)操作使學生能對直觀圖 形進行透徹地觀察，加深對圖形性質(zhì)的理解。從加強直觀教學的角度看，多媒體教學具 有不可比擬的優(yōu)越性。2、重視對學生作圖、識圖能力的培養(yǎng)。作圖和識圖教學是培養(yǎng)學生空間想象力的重要途徑之一。我們常遇到這種情況：學 生把題目看了幾遍，但仍然畫不出適合題意的圖形以輔助解題或者看不岀圖形中的一些 有用的線面關(guān)系，甚為苦惱。因此，在立體兒何教學之初，要重視對學生識圖、作圖能 力的培養(yǎng)和訓練，教師可從以下兩方面

11、進行：(1) 重視幾何體直觀圖作法，直接訓練作圖能力。作圖和識圖有著密切的關(guān)系，能正確地作圖必然會提高識圖能力。因此，教師在教學 中一定要留岀時間，通過展示正方體、四而體、棱柱、旋轉(zhuǎn)體等幾何體的模型，引導學 生嘗試從不同的角度來觀察作圖，并學會分析由此產(chǎn)生的不同視覺效果。同時，教師也要 逐步培養(yǎng)學生“看圖、想圖、辨圖”能力，即根據(jù)已知要求，脫離實際模型，也會在二維 的紙上正確合理地畫出三維的空間圖形，并根據(jù)圖形來分析和關(guān)的點、線、面之間的各種 位置關(guān)系。圖形是直觀的語言，它的直觀性、準確性會直接影響數(shù)學思維和數(shù)學推理， 它是學習立體兒何的笫一道難關(guān)，應(yīng)該引起我們的重視。(2) 通過解剖圖形，提

12、高識圖能力。立體幾何圖形是由點、線、而這些基本元素通過一定的關(guān)系組合而成的，這種關(guān)系 到了空間已經(jīng)較平面上發(fā)生了很大的變化。不熟悉、不適應(yīng)這種變化，是學生難以從平 面幾何進入到立體幾何學習的一個障礙。在解決立幾問題的教學中，若給出的圖形較復(fù) 雜、線面關(guān)系不易尋找，教師可引導學生進行圖形解剖，把一個復(fù)雜的圖形分解為兒部 分冇簡單關(guān)系的常見的幾何體，并聯(lián)想以往知識尋找解題線索。例如：“已知m、n分別是正方形abcd-ac.d,的棱cc、的中點，求cq與平 而所成的角(見圖4)”。我們把涉及到的點、線、而從正方體屮“解剖”出來， 馬上就會發(fā)現(xiàn)這個圖形非常熟悉，在平面md、n上的射影即為zmdn的平分

13、線。常讓學生做一些解剖圖形的訓練，對進一步提高學生的識圖能力有很犬幫助。3、加強邏輯思維能力的培養(yǎng)。首先是耍牢固掌握數(shù)學的基木概念和定理性質(zhì)，其次是掌握必耍的邏輯知識和邏輯 思維，當然，還耍加強推理論證的訓練和糾正學生易犯的邏輯錯誤。教師可以通過以下 兩個途徑加強邏輯思維能力的培養(yǎng)：(1)重視定理的教學。我們知道，定理本身的證明思路具有示范性、典型性，它體 現(xiàn)了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養(yǎng)，以及規(guī)范的書寫格式的養(yǎng)成。在教學 中，教師應(yīng)引導學生做到不僅會分析泄理的條件和結(jié)論，而且能掌握圧理的內(nèi)容、證明的 思想方法、適用范圍和表達形式，特別是新涉及到的一些證題思想方法。如異而直線的 判

14、定定理：“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直 線”的證明就引出了反證法，那么教師在這里就應(yīng)該結(jié)合此題向?qū)W生重點介紹反證法的 證題思想、一般步驟、書寫格式、注意要點等，并配以適當?shù)膹娀柧?，以初步掌握?證法。（2）重視解題思路的訓練。教師在教學中，應(yīng)有意識地培養(yǎng)學生進行解題思路的梳 理與表達。一個問題的處理，可以先搭建主要思路、明確解題邏輯，然后再進行補充完 善。特別需要注意的是，教師在這樣的過程屮應(yīng)充分發(fā)揮學生的主休性。長此這樣的訓 練，必能提高學生的邏輯思維能力和表達能力。4、盡量削弱平面幾何的負遷移。立幾學習屮的障礙，很大一部分緣于學生對平面幾何中的一些性質(zhì)

15、在立體幾何學習 中的負遷移。雖然我們已經(jīng)在三維空間討論問題，研究的也是空間點、線、血的關(guān)系， 遇到具體問題時學生們首先支配思維的仍然是平面兒何的性質(zhì)。因此，我們在教學立 體幾何的有關(guān)定理性質(zhì)吋要善于與平面幾何中的有關(guān)定理性質(zhì)進行類比區(qū)分，重點指出 兩者z間的相似z處和不同z處。通過討論相似z處，可以幫學生加深對新知識的理解, 明白幾何體系的一個延伸過程，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力。例如：“平行于同一條 直線的兩直線平行”在平面和空間都成立。對不同之處的研究，主耍幫助學生盡快樹立 空間概念，完成從平血到空間的思維背景的轉(zhuǎn)換。例如：“兩組對邊分別相等的四邊形是 平行四邊形”在平面成立，而在空間不

16、成立。所以在立幾教學屮教師應(yīng)重視平而與空間的結(jié)合，這樣對學生來講，其空間想彖能 力可以在平而幾何的基礎(chǔ)上得到訓練和提高，達到事半功倍的教學效果。5、突出轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。立體兒何中所蘊含的數(shù)學思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法， 教師在立體幾何教學中應(yīng)格外重視。如果能引導學生熟練掌握幾種常見的轉(zhuǎn)化手段，那 么對學生突破空間思維障礙，靈活學習立休幾何將會有很大的幫助。具體可從以下幾個 方面著手：（-）降維轉(zhuǎn)化。由三維空間向二維空間轉(zhuǎn)化，是研究立體兒何問題的重要數(shù)學方法之一。降維轉(zhuǎn)化 的目的是把空間的基木元素轉(zhuǎn)化到某一個平面中去，用學生們比較熟悉的平面幾何知識圖5來解決問題。例如：“設(shè)

17、正三棱錐s-abc的底邊長 為，側(cè)棱長為2°,過4作與側(cè)棱sb、sc 都相交的截血aef （如圖5）,求這個截 血周長的最小值?！蔽覀冎恍柩貍?cè)棱sa將三棱錐剪開， 得側(cè)面展開圖，則求截面aaef周長的最小值問題就轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開圖中求4、£兩點的 最短連線段長的問題了。又如正四棱柱abcd-aqd.的八個頂點都在球0的球面上，且正四棱柱的底 面邊長為2,側(cè)棱長為3,求球0的體積?！睂τ诖祟惗嗝骟w與旋轉(zhuǎn)體內(nèi)接外切的問題，學生相當頭痛。而最便捷的方法就是取一個合適的截面，把正四棱 柱和球的札i關(guān)要素全部轉(zhuǎn)化到一個平面圖形中（如圖6）,馬上就 可以利用正四棱柱對角面4cga的對角線

18、長等于球的直徑求出球 0的半徑從而解決問題。（二）元素轉(zhuǎn)化。研究空間點、線、面的位置關(guān)系是立體兒何中的重點內(nèi)容，其精髓就是各元素和互 之間的依存及轉(zhuǎn)化。立幾中的許多判定定理和性質(zhì)定理就很好地反映了這種關(guān)系。例如：“已矢isa丄平面abc, zac = 90°, a在s3、sc上的射影分別為e、f。求證:ef丄sc "（見圖7）英解題思路是由cb丄平（fiisab推出4e丄bc,再推出 ae丄平而sbc ,從而推出sc丄ae,進而推sc丄平面aef, 最后得證ef丄sc。這個過程典型體現(xiàn)了空間線線垂直與線 面垂直之間的轉(zhuǎn)化。再如，已知正方休abcd-aqd,的棱長為d,求力c

19、與, a/g的距離。（見圖8）本題先將求線而距離轉(zhuǎn)化為求點a到平而a.bc,的距離， 再轉(zhuǎn)化為求三棱錐a- axb g的高，最后利用等積法匕-芻阻=比 順利解決。（三）圖形轉(zhuǎn)化。圖8對于一些條件較少、圖形抽彖的問題，學生們往往處理起來十分棘手。例如：“如圖9,正四面體abcd的頂點4、b、c分別在兩兩垂直的三條射線ox、oy. 0?上，則在下列命題中，錯誤的為（ ）（2009年江西卷理科高考試題）” ao abc是正三棱錐b.直線平面acdc直線aq與ob所成的角是45° d.二面角d-ob-a為45° 該題四個選項中涉及到了多面體概念、線面平行、異面直線成角、二而角等多類

20、題型，而圖形所反映的幾何直觀性質(zhì)又d比較有限，因此本題有相當?shù)碾y度。而當我們把這個圖形補成一個 正方體中時，借助正方體這一最常見最簡單的模型背景來解決，就不難得出選項b為錯 誤，故選bo再例如：“已知三棱柱abc-ac.的一個側(cè)血的血積為s,這個側(cè)血與它所 對棱eq的距離為求這個棱柱的體積?！蔽覀冇袃煞N思跖一種是“補”（見圖10）：將三棱柱補成平行六面體，則側(cè)面aab 和棱cc,的距離就轉(zhuǎn)化為以側(cè)面aabb為底面的該平行六面體的高，所以由 匕心甘肱心即可求岀這個棱柱的體積。第二種思路是“割”（見圖11）:將三棱柱分割成三個等體積的三棱錐，然后山 匕心昭=3比如即可得解。立體幾何中割補法是圖形轉(zhuǎn)化最常用的方法之一。通過“割”或“補”，可化復(fù)雜圖ci我國以前一直采用綜合兒何模式教給學生初步的公理休系和組織科學理論的邏輯方法，使他們養(yǎng)成縝密思考的習慣、嚴謹精確的語言和抽