人教A版數(shù)學(xué)必修四教案：2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、2.4 平面向量的數(shù)量積2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一、教學(xué)分析 前面已經(jīng)知道,向量的線性運算有非常明確的幾何意義,因此利用向量運算可以討論一些幾何元素的位置關(guān)系.既然向量可以進(jìn)行加減運算,一個自然的想法是兩個向量能否做乘法運算呢?如果能,運算結(jié)果應(yīng)該是什么呢?另外,距離和角是刻畫幾何元素(點、線、面)之間度量關(guān)系的基本量.我們需要一個向量運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系.眾所周知,向量概念的引入與物理學(xué)的研究密切相關(guān),物理學(xué)家很早就知道,如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s(如圖1),那么力F所做的功圖1 W=|F|s|cos 功W是一個數(shù)量,其中既涉及“長度”,也

2、涉及“角”,而且只與向量F,s有關(guān).熟悉的數(shù)的運算啟發(fā)我們把上式解釋為兩個向量的運算,從而引進(jìn)向量的數(shù)量積的定義 a·b=|a|b|cos. 這是一個好定義,它不僅滿足人們熟悉的運算律(如交換律、分配律等),而且還可以用它來更加簡潔地表述幾何中的許多結(jié)果. 向量的數(shù)量積是一種新的向量運算,與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣,它也有明顯的物理意義、幾何意義.但與向量的線性運算不同的是,它的運算結(jié)果不是向量而是數(shù)量.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；掌握向量垂直的條件

3、。2、過程與方法：通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。3、情感態(tài)度與價值觀：通過與物理中“功”的類比抽象出向量的數(shù)量積，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。三、重點難點教學(xué)重點:平面向量數(shù)量積的定義.教學(xué)難點:平面向量數(shù)量積的定義及其運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課 思路1.我們前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它與物理學(xué)中的力學(xué)、運動學(xué)等有著天然的聯(lián)系,將向量這一工具應(yīng)用到物理中,可以使物理題解答更簡捷、更清晰,并且向量知識不僅是解決物理許

4、多問題的有利工具,而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題,可使我們對物理問題認(rèn)識更深刻.物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究.2 / 8 在物理課中,我們學(xué)過功的概念,即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W可由下式計算: W=|F|s|cos 其中是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量,而功是一個標(biāo)量(數(shù)量). 故從力所做的功出發(fā),我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念. 思路2.前面我們已學(xué)過,任意的兩個向量都可以進(jìn)行加減運算,并且兩個向量的和與差仍是一個向量.我們結(jié)合任意的兩個實數(shù)之間可以進(jìn)行加減乘除(除

5、數(shù)不為零)運算,就自然地會想到,任意的兩個向量是否可以進(jìn)行乘法運算呢？如果能,其運算結(jié)果是什么呢？（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題a·b的運算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么?由所學(xué)知識可以知道,任何一種運算都有其相應(yīng)的運算律,數(shù)量積是一種向量的乘法運算,它是否滿足實數(shù)的乘法運算律？我們知道,對任意a,bR,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.對任意向量a、b,是否也有下面類似的結(jié)論?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 活動:已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a|b|cos

6、叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a|b|cos(0). 其中是a與b的夾角,|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖2為兩向量數(shù)量積的關(guān)系,并且可以知道向量夾角的范圍是0°180°.圖2在教師與學(xué)生一起探究的活動中,應(yīng)特別點撥引導(dǎo)學(xué)生注意:(1)兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積;(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a·0=0;(3)符號“·”在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)當(dāng)0<時

7、cos>0,從而a·b>0;當(dāng)<時,cos<0,從而a·b<0.與學(xué)生共同探究并證明數(shù)量積的運算律.已知a,b,c和實數(shù),則向量的數(shù)量積滿足下列運算律:a·b=b·a(交換律);(a)·b=(a·b)=a·(b)(數(shù)乘結(jié)合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特別是:(1)當(dāng)a0時,由a·b=0不能推出b一定是零向量.這是因為任一與a垂直的非零向量b,都有a·b=0.圖3(2)已知實數(shù)a、b、c(b0),則ab=bca=c.但對向量的數(shù)

8、量積,該推理不正確,即a·b=b·c不能推出a=c.由圖3很容易看出,雖然a·b=b·c,但ac.(3)對于實數(shù)a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但對于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.這是因為(a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.討論結(jié)果:是數(shù)量,叫數(shù)量積.數(shù)量積滿足a·b=b·a(交換律);(a)·b=(a·b)=a&

9、#183;(b)(數(shù)乘結(jié)合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出問題如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？能用“投影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？ 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影的概念,可以結(jié)合“探究”,讓學(xué)生用平面向量的數(shù)量積的定義,從數(shù)與形兩個角度進(jìn)行探索研

10、究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié),提出注意點“投影”的概念,如圖4.圖4定義:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.并引導(dǎo)學(xué)生思考:1°投影也是一個數(shù)量,不是向量;2°當(dāng)為銳角時投影為正值;當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)為直角時投影為0;當(dāng)=0°時投影為|b|;當(dāng)=180°時投影為-|b|.教師結(jié)合學(xué)生對“投影”的理解,讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.讓學(xué)生思考:這個投影值可正、可負(fù),也可為零,所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù).教師和學(xué)生共同總結(jié)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a、b

11、為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.1°e·a=a·e=|a|cos.2°aba·b=0.3°當(dāng)a與b同向時,a·b=|a|b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a|b|.特別地a·a=|a|2或|a|=.4°cos=.5°|a·b|a|b|. 上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證,教師給予必要的補充和提示,在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì).討論結(jié)果:略(見活動).向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.（三）應(yīng)用

12、示例思路1例1 已知平面上三點A、B、C滿足|=2,|=1, |=,求·+·+的值. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解,先分析題設(shè)然后找到所需條件.因為已知、的長度,要求得兩兩之間的數(shù)量積,必須先求出兩兩之間的夾角.結(jié)合勾股定理可以注意到A是直角三角形,然后可利用數(shù)形結(jié)合來求解結(jié)果.解:由已知,|2+|2=|2,所以ABC是直角三角形.而且ACB=90°,從而sinABC=,sinBAC=.ABC=60°,BAC=30°.與的夾角為120°,與的夾角為90°,與的夾角為150°.故

13、3;+·+·=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4. 點評:確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120°,而不是60°.變式訓(xùn)練 已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,求(a+2b)·(a-3b).解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2

14、-|a|b|cos-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,當(dāng)k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直?解:a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.a2=32=9,b2=42=16,9-16k2=0.k=±.也就是說,當(dāng)k=±時,a+kb與a-kb互相垂直. 點評:本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件.變式訓(xùn)練 已知向量a、b滿足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范圍.解:|a|2=

15、a2=9,|a|=3.又a·b=-12,|a·b|=12.|a·b|a|b|,123|b|,|b|4.故|b|的取值范圍是4,+).思路2例1 已知在四邊形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a,試問四邊形ABCD的形狀如何？解:+=0,即a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上兩式可得a2=c

16、2,且b2=d2,即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC=DA,ABCD是平行四邊形.故=,即a=-c.又a·b=b·c=-a·b,即a·b=,ab,即.綜上所述,ABCD是矩形. 點評:本題考查的是向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用,利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)垂直問題,然后結(jié)合四邊形的特點進(jìn)而判斷四邊形的形狀.例2 已知a,b是兩個非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量b與a-b的夾角.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量減法的平行四邊形法則,畫出以a,b為鄰邊的ABCD,若=a,=b,則=a+b,=a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知ABC=

17、60°,b與所成角是150°.我們還可以利用數(shù)量積的運算,得出向量b與a-b的夾角,為了鞏固數(shù)量積的有關(guān)知識,我們采用另外一種角度來思考問題,教師給予必要的點撥和指導(dǎo),即由cosb,a-b=作為切入點,進(jìn)行求解.解:|b|=|a+b|,|b|=|a|,b2=(a+b)2.|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.a·b=-|b|2.而b·(a-b)=b·a-b2=|b|2-|b|2=|b|2, 由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×()|b|2+|b|2=3|b|2,而|a-b|2=(a-b)2=3|b

18、|2,|a-b|=3|b|. cosb,a-b=代入,得cosb,a-b=-.又b,a-b0,b,a-b=. 點評:本題考查的是利用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)夾角問題,解完后教師及時引導(dǎo)學(xué)生對本解法進(jìn)行反思、總結(jié)、體會.變式訓(xùn)練設(shè)向量c=ma+nb(m,nR),已知|a|=2,|c|=4,ac,b·c=-4,且b與c的夾角為120°,求m,n的值.解:ac,a·c=0.又c=ma+nb,c·c=(ma+nb)·c,即|c|2=ma·c+nb·c.|c|2=nb·c.由已知|c|2=16,b·c=-4,16=-4n.n=-4.從而c=ma-4b.b·c=|b|c|cos120°=-4,|b|·4·()=-4.|b|=2.由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b