CH二重積分的概念與性質(zhì)實用實用教案

1、曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積(tj) 設(shè) 一 立 體 的 底 是設(shè) 一 立 體 的 底 是xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D 它它的側(cè)面是以的側(cè)面是以D的邊界曲的邊界曲線為準線而母線平行于線為準線而母線平行于z軸的柱面軸的柱面 它的頂是曲面它的頂是曲面z f(x y) 這里這里f(x y) 0且且在在D上連續(xù)上連續(xù) 這種立體叫這種立體叫做曲頂柱體做曲頂柱體 第1頁/共39頁第一頁，共40頁。解法解法: 類似類似(li s)定積分解決問題的定積分解決問題的思想思想:給定給定(i dn)曲頂柱體曲頂柱體:底：底： xOy 面上面上(min shn)的閉區(qū)域的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)

2、面：以以 D 的邊界為準線的邊界為準線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面求其體積求其體積.“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” D),(yxfz 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積第2頁/共39頁第二頁，共40頁。1)“大化大化(d hu)小小”用任意曲線用任意曲線(qxin)網(wǎng)分網(wǎng)分D為為 n 個區(qū)域個區(qū)域以它們以它們(t men)為底把曲頂柱體分為為底把曲頂柱體分為 n 個個2)“常代變常代變”在每個在每個3)“近似和近似和”則則中中任取任取一點一點小曲頂柱體小曲頂柱體k),(kk第3頁/共39頁第三頁，共40頁。4)“4)“取極限取極限(jxin)”

3、(jxin)”令令),(yxfz ),(kkfk),(kk第4頁/共39頁第四頁，共40頁。步驟步驟(bzhu)如下：如下：xzyoi),(kk 用小平頂柱體的體積近似用小平頂柱體的體積近似(jn s)代替小曲頂柱體的體代替小曲頂柱體的體積積Vk V k f (k k)k 用小平頂柱體的體積之和近用小平頂柱體的體積之和近似似(jn s)代替整個曲頂柱體體代替整個曲頂柱體體積積 將分割加細將分割加細 取極限取極限 求得曲求得曲頂柱體體積的精確值頂柱體體積的精確值 用曲線網(wǎng)把用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域分成小區(qū)域 1 2 n “大化小大化小, , 常代變常代變, , 近似和近似和, ,取極限取極限”第5

4、頁/共39頁第五頁，共40頁。播放播放(b fn) 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割分割(fng)、求、求和、取極限和、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示第6頁/共39頁第六頁，共40頁。 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極限限(jxin)”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示第7頁/共39頁第七頁，共40頁。 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割分割(fng)、求、求和、取極限和、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示第8頁/共39頁第八頁，共40頁。 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用

5、“分割、求和、取極分割、求和、取極限限(jxin)”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示第9頁/共39頁第九頁，共40頁。 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割分割(fng)、求和、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示第10頁/共39頁第十頁，共40頁。 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割分割(fng)、求、求和、取極限和、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示第11頁/共39頁第十一頁，共40頁。 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用(ciyng) “分割、求分割、求和、取極限和、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動

6、畫演示第12頁/共39頁第十二頁，共40頁。有一個平面薄片有一個平面薄片, 在在 xOy 平面上占有平面上占有(zhnyu)區(qū)區(qū)域域 D ,計算計算(j sun)該薄片的該薄片的質(zhì)量質(zhì)量 M .度為度為設(shè)設(shè)D 的面積的面積(min j)為為 ,則則若若非常數(shù)非常數(shù) ,仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代變常代變,近似和近似和, 求極限求極限” 解決解決.1)“大化小大化小”用用任意任意曲線網(wǎng)分曲線網(wǎng)分D 為為 n 個小區(qū)域個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊相應(yīng)把薄片也分為小塊 .yxO求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量第13頁/共39頁第十三頁，共40頁。yx2)“常代變常代變”中任取一點

7、中任取一點(y din)3)“近似近似(jn s)和和”4)“取極限取極限(jxin)”k),(kk則第則第 k 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量第14頁/共39頁第十四頁，共40頁。兩個兩個(lin )問題的問題的共性：共性：(1) 解決問題的步驟解決問題的步驟(bzhu)相同相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同(xin tn)“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和,取極限取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: 第15頁/共39頁第十五頁，共40頁。二、二重積分的概念二、二重積分的概念(ginin)

8、第16頁/共39頁第十六頁，共40頁。第17頁/共39頁第十七頁，共40頁。 積 分積 分(jfn)號號 v二重積分的定義二重積分的定義(dngy)積分中各部分積分中各部分(b fen)的的名稱名稱 f(x y) 被積函數(shù)被積函數(shù) f(x y)d 被積表達式被積表達式 d 面積元素面積元素 x y 積分變量積分變量 D 積分區(qū)域積分區(qū)域 積分和積分和 iiinif ),(1 第18頁/共39頁第十八頁，共40頁。對二重積分定義對二重積分定義(dngy)的說明：的說明：二重積分的幾何二重積分的幾何(j h)意義意義當被積函數(shù)當被積函數(shù)(hnsh)大于零時，二重積分是柱體的體大于零時，二重積分是柱

9、體的體積積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值第19頁/共39頁第十九頁，共40頁。 在直角坐標系下用平行于坐在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線標軸的直線(zhxin)網(wǎng)來劃分區(qū)網(wǎng)來劃分區(qū)域域D，故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積則面積(min j)元素為元素為引例引例(yn l)1中曲頂柱體中曲頂柱體體積體積:引例引例2中平面薄板的質(zhì)量中平面薄板的質(zhì)量:第20頁/共39頁第二十頁，共40頁。二重積分存在二重積分存在(cnzi)定理定理:若函數(shù)若函數(shù)(hnsh),(yxf定理定理(dngl)2.),(yxf(證明略證明略)定理定

10、理1.在在D上可積上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù)限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù),則則若有界函數(shù)若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上除去有上除去有 例如例如, 在在 D :上二重積分存在上二重積分存在 ;在在D 上上 二重積分不存在二重積分不存在 . y1x1DO第21頁/共39頁第二十一頁，共40頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)當當K為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)時，被積函數(shù)中的時，被積函數(shù)中的常數(shù)常數(shù)(chngsh)因子可以提到積分號前面，因子可以提到積分號前面，即即性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積

11、分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)第22頁/共39頁第二十二頁，共40頁。性質(zhì)性質(zhì)3 (對積分區(qū)域的可加性對積分區(qū)域的可加性) 如果閉區(qū)域如果閉區(qū)域D被有限條曲線被有限條曲線(qxin)分為有限個部分閉區(qū)域分為有限個部分閉區(qū)域, 則則D上的二重積分等于各部分閉上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上二重積分的和區(qū)域上二重積分的和. 例如例如D可分可分為兩個閉區(qū)域為兩個閉區(qū)域D和和D，則，則第23頁/共39頁第二十三頁，共40頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh) 若若 為為D的面積，的面積，性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)若在若在D上上特殊特殊(tsh)地地則有則有第24頁/共39頁第二十四頁，共40頁。性

12、質(zhì)性質(zhì)(xngzh)（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）第25頁/共39頁第二十五頁，共40頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)（二重積分中值定理（二重積分中值定理(dngl)）證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)(xngzh)6 可知可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點至少有一點使使因此因此第26頁/共39頁第二十六頁，共40頁。例例1 比較比較(bjio)下列積分的下列積分的大?。捍笮。?）與與其中其中(qzhng)D:0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在區(qū)域解：在區(qū)域(qy) D內(nèi)，顯然有內(nèi)，顯然有故在故在D內(nèi)內(nèi)第27頁/共39頁第二十七頁，共40頁。解解oxy121D

13、第28頁/共39頁第二十八頁，共40頁。例例3 設(shè)設(shè)D 是第二象限是第二象限(xingxin)的一個有界閉域的一個有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則的大小的大小(dxio)順序為順序為 ( )提示提示(tsh): 因因 0 y 1, 故故故在故在D上有上有yO x1D第29頁/共39頁第二十九頁，共40頁。解解 deDyx)(22 ab.2aeab ab 區(qū)域區(qū)域D的面積的面積 x第30頁/共39頁第三十頁，共40頁。解解yox2D1第31頁/共39頁第三十一頁，共40頁。練習練習 估計下列估計下列(xili)積分之值積分之值解解: D 的面積的面積(min j)為為由于由于(yuy)積分

14、性質(zhì)積分性質(zhì)6即即: 1.96 I 210101010DxyO第32頁/共39頁第三十二頁，共40頁。例例6 判斷判斷(pndun)的正負的正負(zhn f).解：當解：當時，時，故故又當又當時，時，于是于是(ysh)1111xyOD第33頁/共39頁第三十三頁，共40頁。二重積分的定義二重積分的定義(dngy)二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)(xngzh)二重積分的幾何二重積分的幾何(j h)意義意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（和式的極限）（和式的極限）四、小結(jié)四、小結(jié)第34頁/共39頁第三十四頁，共40頁。思考題思考題1 將二重積分定義與定積分定義進行將二重積分定義與定積分定義進行(

15、jnxng)比較，找出它們的相同之處與不同之處比較，找出它們的相同之處與不同之處.第35頁/共39頁第三十五頁，共40頁。 定積分與二重積分都表示某個定積分與二重積分都表示某個(mu )和式的和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)數(shù)思考題解答思考題解答(jid)第36頁/共39頁第三十六頁，共40頁。思考題思考題2證明證明(zhngmng):其中其中(qzhng)D 為為第37頁/共39頁第三十七頁，共40頁。證明證明(zhngmng):, 2d)cossin(122Dyx其中其中(qzhng)D 為為.10, 10yx解解: 利用利用(lyng)題中題中 x , y 位置的對稱位置的對稱性性, 有有又又 D 的面積為的面積為 1 , 故結(jié)論成立故結(jié)論成立 .yOx1D1第38頁/共39頁第三十八頁，共40頁。感謝您的欣賞(xnshn