高中數(shù)學橢圓超經(jīng)典知識點-典型例題講解

1、. word 格式 .資料. 專業(yè) .整理學生姓名性別男年級高二學科數(shù)學授課教師上課時間2014 年 12 月 13 日第（ ）次課共（ ）次課課時：課時教學課題橢圓教學目標教學重點與難點選修 2-1 橢圓知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) () ，這個動點的軌跡叫橢圓 . 這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距. 注意： 若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形 . 講練結合一 . 橢圓的定義方程10222222yxyx化簡的結果是2若abc的兩個頂點4,0 ,4,0ab，abc 的周長為 18，則頂點 c 的軌跡方程是3. 已知橢圓22169

2、xy=1 上的一點 p到橢圓一個焦點的距離為3, 則 p到另一焦點距離為知識點二：橢圓的標準方程1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；. word 格式 .資料. 專業(yè) .整理注意：1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上 . 當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，。講練結合二利用標準方程確定參數(shù)1. 若方程25xk+23yk=1（1）表示圓，則實數(shù)k 的取值是 . （2）表示焦點在 x 軸上的橢圓，則實數(shù)k 的取值

3、范圍是 . （3）表示焦點在 y 型上的橢圓，則實數(shù)k 的取值范圍是 . （4）表示橢圓，則實數(shù)k 的取值范圍是 . 2. 橢 圓22425100 xy的 長 軸 長 等 于， 短 軸 長 等 于, 頂 點 坐 標是 ,焦點的坐標是 ,焦距是，離心率等于 , 3橢圓2214xym的焦距為 2，則m= 。4橢圓5522kyx的一個焦點是)2, 0(，那么 k。講練結合三待定系數(shù)法求橢圓標準方程1若橢圓經(jīng)過點( 4,0)，(0,3)，則該橢圓的標準方程為。2焦點在坐標軸上，且213a，212c的橢圓的標準方程為3焦點在x軸上，1:2: ba，6c橢圓的標準方程為4. 已知三點 p（5，2） 、1f

4、（6，0） 、2f（6，0） ，求以1f、2f為焦點且過點p 的橢圓的標準方程；. word 格式 .資料. 專業(yè) .整理知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性對于橢圓標準方程，把 x 換成 x，或把 y 換成 y，或把 x、y 同時換成 x、y，方程都不變，所以橢圓是以 x 軸、y 軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍橢圓上所有的點都位于直線x=a和 y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足 |x| a，|y| b。（3）頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓（ab0）與坐標軸的四個交點即為橢圓

5、的四個頂點，坐標分別為 a1（a，0） ，a2（a，0） ，b1（0，b） ，b2（0，b） 。線段 a1a2，b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|a1a2|=2a ，|b1b2|=2b。a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e 表示，記作。因為 ac0， 所以 e 的取值范圍是 0e1。 e 越接近 1， 則 c 就越接近 a， 從而越小，因此橢圓越扁；反之， e 越接近于 0，c 就越接近 0，從而 b 越接近于 a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。注意：.

6、 word 格式 .資料. 專業(yè) .整理橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖） ：（1），；（2），；（3）,，；講練結合四焦點三角形1橢圓221925xy的焦點為1f、2f， ab是橢圓過焦點1f的弦，則2abf的周長是。2設1f，2f為橢圓400251622yx的焦點， p為橢圓上的任一點，則21fpf的周長是多少？21fpf的面積的最大值是多少？3設點p 是橢圓2212516xy上的一點，12,ff是焦點，若12f pf是直角，則12f pf的面積為。變式：已知橢圓14416922yx，焦點為1f、2f， p 是橢圓上一點若6021pff，求21fpf的面積五離心率的有關問題. word

7、格式 .資料. 專業(yè) .整理1. 橢圓1422myx的離心率為21，則m2. 從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為0120，則此橢圓的離心率e為3橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為4. 設橢圓的兩個焦點分別為f1、f2，過 f2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點p，若f1pf2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5. 在abc中，3, 2| ,300abcsaba若以 ab，為焦點的橢圓經(jīng)過點c ，則該橢圓的離心率e講練結合六 . 最值問題1. 橢圓2214xy兩焦點為 f1、 f2， 點 p在橢圓上，則|pf1| |pf2| 的最大值為 _， 最小值為 _ 2、橢圓221

8、2516xy兩焦點為 f1、f2，a(3，1)點 p 在橢圓上，則 |pf1|+|pa| 的最大值為 _，最小值為 _ 3、 已知橢圓2214xy， a(1， 0)， p為橢圓上任意一點， 求|pa| 的最大值最小值。4. 設 f 是橢圓322x242y=1 的右焦點 , 定點 a(2,3) 在橢圓內(nèi) , 在橢圓上求一點p 使|pa|+2|pf| 最小,求 p點坐標最小值 . 知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系. word 格式 .資料. 專業(yè) .整理標準方程圖形性質(zhì)焦點，焦距范圍，對稱性關于 x 軸、y 軸和原點對稱頂點，軸長軸長=，短軸長 =離心率準線方程焦半徑，注意： 橢圓，（ab0

9、）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。1如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。 當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。. word 格式 .資料. 專業(yè) .整理確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a、b，一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2橢圓標準方程中的三個量a、b、c 的幾何意義橢圓標準方程中， a、b、c 三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢

10、圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。可借助下圖幫助記憶：a、b、c 恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a 是斜邊， b、c 為兩條直角邊。3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上， 因此已知標準方程， 判斷焦點位置的方法是： 看 x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4方程 ax2+by2=c （a、b、c均不為零）表示橢圓的條件方程 ax2+by2=c可化為，即，所以只有 a、b、c同號，且 ab時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在x 軸上；當時，橢圓的焦點在y 軸上。5求橢圓標準方程的常用方

11、法：待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量” ；定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則 c 相同。. word 格式 .資料. 專業(yè) .整理與橢圓（ab0）共焦點的橢圓方程可設為（kb2） 。此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關于 x 軸、y 軸、原點對稱的依據(jù)：若把曲線方程中的x 換成 x，方程不變，則曲線關于y 軸對稱；若把曲線方程中的y 換成 y，方程不變，則曲線關于x 軸對稱；若把曲線方程中的x、y 同時換成 x、

12、y，方程不變，則曲線關于原點對稱。8如何解決與焦點三角形pf1f2（p為橢圓上的點）有關的計算問題？與焦點三角形有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、，有關角() 結合起來，建立、之間的關系. 9如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關系？長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為 c2=a2b2，ac0，用 a、b 表示為，當越小時，橢圓越扁， e 越大；當越大，橢圓趨近圓， e 越小，并且 0e1。課后作業(yè)1已知 f1(-8 ，0) ，f2(8 ，0) ，動點 p滿足 |pf1|+|pf2|=16 ，則點

13、p的軌跡為 ( ) a 圓 b 橢圓 c線段 d 直線 2 、橢圓221169xy左右焦點為f1、f2，cd為過 f1的弦，則cdf1的周長為 _ 3 已知方程22111xykk表示橢圓，則k 的取值范圍是 ( ) a -1k0 c k 0 d k1或 k-1 4、求滿足以下條件的橢圓的標準方程 (1)長軸長為10，短軸長為6 (2)長軸是短軸的2 倍，且過點 (2，1) (3) 經(jīng)過點 (5，1) ，(3， 2) 5、若 abc頂點 b、c坐標分別為 (-4 ，0) ，(4 ， 0)，ac 、ab邊上的中線長之和為30，則 abc的重心 g的軌跡方程為 _ . word 格式 .資料. 專業(yè)

14、 .整理6. 橢圓22221(0)xyabab的左右焦點分別是f1、f2，過點 f1作 x 軸的垂線交橢圓于p點。若 f1pf2=60，則橢圓的離心率為_ 7、已知正方形abcd ，則以 a、b為焦點，且過c 、d兩點的橢圓的的離心率為_ 橢圓方程為 _. 8 已知橢圓的方程為22143xy， p點是橢圓上的點且1260f pf, 求12pf f的面積9.若橢圓的短軸為ab ，它的一個焦點為f1，則滿足 abf1為等邊三角形的橢圓的離心率為10.橢圓13610022yx上的點 p到它的左焦點的距離是12，那么點p到它的右焦點的距離是11已知橢圓)5( 125222ayax的兩個焦點為1f、2f

15、，且821ff，弦 ab過點1f，則2abf的周長12.在橢圓252x+92y=1 上求一點 p,使它到左焦點的距離是它到右焦點的距離的兩倍13、中心在原點、長軸是短軸的兩倍, 一條準線方程為4x, 那么這個橢圓的方程為。14、橢圓的兩個焦點三等分它的兩準線間的距離, 則橢圓的離心率e=_. 15、橢圓的中心在原點, 焦點在x 軸上 , 準線方程為18y, 橢圓上一點到兩焦點的距離分別為10 和 14, 則橢圓方程為 _. 16. 已知 p是橢圓90025922yx上的點 , 若 p到橢圓右準線的距離為8.5, 則 p到左焦點的距離為_. 17橢圓1162522yx內(nèi)有兩點2,2a，0 , 3b， p為橢圓上一點，若使53papb最小，則最小值為18、橢圓32x2