解題---從一道題目的解答看常規(guī)教學(xué)--任大江

1、從一道題目的解答看常規(guī)教學(xué)任人江陜西省城固縣第二中學(xué)723200一、問題的提出木學(xué)期我校高二年級學(xué)習(xí)了北師人版選修21(理)、選修11(文)的數(shù)學(xué)選修課程，其屮 都有圓錐illi線這一章節(jié)，對于本章的學(xué)習(xí)，學(xué)住普遍反映：上課能聽懂，課后題目太難，難 以下手。這不，本章上完后本年級文科重點班一學(xué)生問了我以下題冃：2 2橢圓d + £ = l(a>b>0)上存在點p,使得p斥丄pf°(f、f是其左右焦點)，求 a b此橢圓的離心率c的范圍?？戳T此題，從教師的角度看，題面簡單易懂，條件清楚簡單，我想此題應(yīng)該簡單呀！作 為重點班的學(xué)生對于此題應(yīng)該是手到擒來。然而卻不是想

2、彖的那樣，解題過程中問題頻發(fā)。 卜面是講解過程屮的思維對話，從屮町以看到學(xué)生在解決問題的過程小的思維過程，以助我 們了解學(xué)牛，從學(xué)牛出發(fā)使以牛為本的教學(xué)理念得到更好的實施。帥:1、是否會畫相應(yīng)圖形以幫助分析？2、對于條件p存丄p&你有啥想法？想怎么運用？生：畫圖略。卩£丄卩場則其斜率之積為1,所以要設(shè)點p坐標p(x.y),并h.冇kpf - > , kpf - 則條件化為： =-1« x2 4-y2 =c2 .1 x + c 2 x-cx + c x-c2 2 由于點p在橢圓上，則p(x,y)滿足為+樸=1a b下來不會做了。師：1、p斥丄p篤則其斜率之積為-

3、1,這個是怎么想到的？還有其他用法嗎？2、按照一般思路，列出的兩個方程應(yīng)該怎么辦？再讀一遍題冃試試。生：老師說“在圓錐1111線里垂肓的條件都是轉(zhuǎn)化成斜率之積為1”的；老師說一般情況下列出的兒個相關(guān)的方程要聯(lián)立方程組求解，但是這個字母太多不會解。師：思路是對的，但要注意誰是未知量誰是已知量，聯(lián)立方程組的口的是什么？解方 程組的思想是什么？應(yīng)該有信心做出來，你試試。a4a2牛：由得x2=c2-y2帶入得：/ = =>y = ±, z后又怎么辦呢？ cc師：注意題f1條件，存在點p,使得p斥丄p篤，點p在橢圓上是否是限制呢？生：明白了，點p的縱坐標是介于-b到b的，z后順利解完本題

4、。師：解完題示學(xué)到了什么？這種方法是否可以改進？有沒有更簡單的思路？下去想一想。二、問題的解答從思維對話的過程不難看出，該牛思維僵化只是學(xué)會了老師多次重復(fù)的結(jié)論和規(guī)律一程咬金三板斧舞完z后什么都不是，不會理解題意也不會知識的遷移和創(chuàng)新，那么其他學(xué) 生是什么情況呢？我拿這個題對我班里的學(xué)生（普通班）做了檢測，人致如此，我在想新課改 改成這個狀況那還有什么意義呢？所以之后対此題我讓學(xué)牛開動腦筋想和解,經(jīng)過我和學(xué)生 的思考打磨，形成了以f解法：解法一：同上略（垂直條件化為向量數(shù)量積為0亦然） >-272點評：此解法只能是理科班的學(xué)生做了，因為理科班學(xué)生學(xué)習(xí)了圓錐曲線的共同特征, 初步介紹了焦半

5、徑公式，學(xué)生能從這方面考慮不失為一種發(fā)散思維的解題過程，能把學(xué)過的 知識運用到解決新問題的過程中也是一種再創(chuàng)造的過程。但是其小的放縮技巧是難點，把陌 生問題轉(zhuǎn)化成熟悉的知識，向冇利于問題解決的方向進行是我們對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，代數(shù)式等變形 的基礎(chǔ)。解法三：如圖，由題ap許坨是直角三角形，點p在橢圓上j pfpf2=2a(/)、|pfj2+|pfj2=4c2(/)(i)式平方減(ii)得:2pfpf21= 4h2由(ii)得 | pf. |2+| pf212= 4c2>2pf-pf2( pf、|=| pf21 等號成立)則c2 >h2 = a2 - c? o 2c2 > a22、1 m

6、2 2rv2 ne w w ,1）點評:此解法抓住橢圓定義和垂直條件,適當變形利用已學(xué)習(xí)過的均值不等式放縮求解, 思維活躍具有創(chuàng)新性。此解的關(guān)鍵是二元一次方程和二元二次方程常見的消元變形過程，最 終化為熟悉的均值不等式放縮。解法四：我們已學(xué)習(xí)并h熟悉橢圓2 +斗=1（。> b > 0）,圓十+尸=夕和無2 +于=/的 a b_2 2位置關(guān)系如上圖及illi線與方程，顯然題t說橢圓二+真= l>b>0）上存在點p,使得 cr trpr丄pf?,則點p是以ff2為直徑的圓與已知橢圓的交點（直徑所對的圓周角是直角） 則c>h以下解法同解法三。點評：此解法立足數(shù)形的結(jié)合，

7、將枯燥的代數(shù)運算和精確的變形技巧變?yōu)榫哂行蔚哪芸?懂的活的數(shù)學(xué)問題的解決，思路簡單清楚，但思維較高，對于一些選擇題填空題選擇數(shù)形結(jié) 合是我們解決問題的簡便之路。解法五：在畫橢圓及其焦點三角形的過程中發(fā)現(xiàn)，焦點三角形頂角p的最大角在上下頂點處取得，我們考慮極限悄況,點p落于上頂點且形成直角p則b=c,從而離心率"丁當c a b開始增人的過程中，橢圓與以|人坊|為自徑的圓相交那么p點就是交點之一滿足題意，此過程中離心率逐漸增人故氓,i）2點評：其實題目做到方法四我認為已經(jīng)到此為止了，但班上一學(xué)牛乂提出了這種方法, 經(jīng)過潤色形成方法五，用到了極限方法、模糊數(shù)學(xué)的思想，是值得肯定的。他從極限

8、位宜（物 理上經(jīng)常講臨界位置，可能受此影響想出的）過渡到漸變過程，并且從作圖過程人膽給出他 所不知道的猜想“焦點三角形頂角p的最大角在上卞頂點處取得”是值得鼓勵的（課后我將 此結(jié)論做了證明，不是本文的內(nèi)容，略）。三、解題過后的再反思站在解題的角度看，我們要弄清楚以下問題：（1）條件是什么（2）結(jié)論是什么（3） 條件結(jié)論有何邏輯關(guān)聯(lián)（4）問題的表征的內(nèi)涵是什么；從解題過程上看，我們耍分下列 步驟：（1）提収有效信息是（2）化歸有效信息（3）組合信息求解。學(xué)生出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的解題困擾是因為，對以上兩個維度把握不夠，沒 冇形成必要的數(shù)學(xué)思維，他的思維形態(tài)是間斷的不聯(lián)系的知識點，而不是知識

9、面，所以不能 從整體上把握數(shù)學(xué)問題。上述五種不同視角下的求解思路可以看出，數(shù)與形的完美統(tǒng)一。不管是方法一的純代 數(shù)方法，方法二的焦半徑公式的運用，還是z后的數(shù)形結(jié)合思想的運用，都不能脫離函數(shù)單 獨存在，函數(shù)的情況確定對m的限制，有時這種限制是隱含的，但是解決問題的過程都是把 己知條件轉(zhuǎn)化成我們熟悉的相應(yīng)條件、性質(zhì)，使問題的解決簡單易行，而不是記住兒個規(guī)律 和總結(jié)，瞎套亂套而不知道規(guī)律和總結(jié)的實質(zhì)，素質(zhì)教育的本質(zhì)是教育創(chuàng)新。給學(xué)生足夠的 空間和時間他們總能迸發(fā)令我們意想不到的光芒，不要人為的想當然的把某些規(guī)律方法結(jié)論 強加給學(xué)牛，這樣得到的只是死的不能動的漢字，通過實踐形成的留卜的才是牛動的活的創(chuàng) 造性的精神，這樣的教冇才是我們要堅守的。問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是圍繞提出問題、分析、解決問題和反思問題解決過程 而進行的。學(xué)生有問題是好事，關(guān)鍵是在提出問題解決問題的思考中形成數(shù)學(xué)的