初中幾何教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力

1、初中幾何教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力幾何學(xué)是相對獨(dú)立的一門學(xué)科，具有形象性和邏輯性雙重特點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：“初中幾何將邏輯化與直觀性相結(jié)合,通過各種圖形的概念、性質(zhì)、作(畫)圖及運(yùn)算等方面的教學(xué),發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力、空間相像和運(yùn)算能力?！庇捎谄矫鎺缀问浅跻坏诙W(xué)期一門新開設(shè)的課程,加上它特有的抽象性、邏輯性和嚴(yán)密性,極易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。不同的學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出的能力是不同的，初二幾何證明的開設(shè)，從某一方面來說成了學(xué)生成績起伏的一個分水嶺。作為教師應(yīng)從知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)心理過程把握學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，從以下幾個方面將學(xué)生步步引入幾何學(xué)習(xí)的殿堂，讓學(xué)生感受到的不是負(fù)擔(dān)，而

2、是峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明的新奇與探索的樂趣。一、把握和理解基本概念在平面幾何教學(xué)中,一開始就出現(xiàn)大量的基本概念，若教學(xué)不得法,學(xué)生難以掌握,勢必加大教學(xué)難度。為了使學(xué)生切實掌握平面幾何概念,在教學(xué)中,應(yīng)著重抓好以下幾個環(huán)節(jié):1、掌握基本圖形，搭建幾何框架首先學(xué)生應(yīng)理解“線”是由“點(diǎn)”的集合構(gòu)成的，而“面”是由“線”的集合構(gòu)成的，線有直線和曲線。在第一節(jié)課中，引導(dǎo)學(xué)生觀察教室里上下、左右、前后六個面，面與面交成線，線與線交成點(diǎn)；打開門，當(dāng)把門看成面時，門繞著軸旋轉(zhuǎn)，面與面的相交狀態(tài)發(fā)生了變化，還可以拿出實物柱、錐等，觀察幾何體分別是由哪些面組成的，從而把握構(gòu)成幾何圖形的最基本的元素。幾何概念抽象難懂

3、,教學(xué)中應(yīng)結(jié)合實例引入,學(xué)生易于接受。聯(lián)系生活中原有的知識,激發(fā)學(xué)生思維,提高他們的學(xué)習(xí)興趣。例1:已知線段AB=6cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于2cm，求線段AC的長。這個問題是屬于兩解的情況，學(xué)生容易忽視，讀懂題意作出圖形可以分辨清楚，加強(qiáng)對基本概念的理解。余角和補(bǔ)角是幾何證明中常用的角，利用各種圖形識別互余或互補(bǔ)的角。例2:如圖所示,AOE=BOE=COD=90°,則圖中互余的角( )對A .1對 B.2對  C.3對 D.4對 以上問題雖然簡單，從不同角度的描述，增加等量的代換，對初學(xué)平面幾何的學(xué)生來講確實可以在提高觀察能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生對圖形的分析能力。

4、更能加深學(xué)生對圖形的理解及幾何語言的掌握。 2、特殊線段是幾何證明的關(guān)鍵三角形中的三條高、三條角平分成，三條中線是常用的線段，若能及時地識別和運(yùn)用，將會打開證明的思路。學(xué)生在剛接觸時，概念較模糊，往往在單個的線段中會做高、中線，在簡單的角中會做角平分線，一旦放到三角形或較復(fù)雜的幾何圖形中時，就辨不清方向了。因此開始接觸時應(yīng)帶著學(xué)生畫圖，識別要點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)所在，抓住不同角度產(chǎn)生的不同效果，有利于學(xué)生從不同方向把握其特征。例3:判斷下列各圖中AD是不是ABC中BC邊上的高？如果不是，請你畫出ABC中BC邊上的高。以鈍角三角形為例，增強(qiáng)學(xué)生的方向感。形成基本的作圖能力。3、基本定理是幾何證明的有效工具

5、先要對課本中的公理、定理、定義推論要有一個深刻中認(rèn)識和理解，就是要弄明白這些命題究竟表達(dá)的是什么意思，弄清題設(shè)和結(jié)論。只要做好這一步，我們才可以靈活地應(yīng)用定理。如：“同位角相等兩直線平行”是公理，是通過數(shù)學(xué)實驗得到的一個正確的命題，而“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行”是定理，它們是由前者公理經(jīng)推理證明而得到的。其次，要把課本中的定理牢記在心中，不是把定理的語言文字死記硬背，而是要把它的意思牢記在心中，這一過程需要多練題反復(fù)的鞏固記憶，在運(yùn)用中體會定理本質(zhì)。例4:如圖，在ABC中，C=90°A=30°，延長BC到點(diǎn)D，使CD=BC.連接AD，則ACDACB。

6、AD=BC，BAC=DAC=30°，BAD=60°。由推論2，得ABD是等邊三角形，BD=ABBC= ，于是有：定理 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么其對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半。 定理應(yīng)用：已知，如圖，ABC中，ACB=90°,CD是斜邊上的高，A=30°.求證：BD= 1/4AB   在此過程中不僅復(fù)習(xí)了舊知識，而且對定理本身的來龍去脈也理解透徹。二、注重學(xué)生作圖、識圖能力的培養(yǎng) 作圖、識圖是學(xué)習(xí)幾何的基本功，對于幾何學(xué)習(xí)，其知識的掌握程度常常取決于我們對圖形的認(rèn)識和掌握程度，圖形繪制的正誤優(yōu)劣往往關(guān)系到問題解

7、決的成敗，因此教師在幾何教學(xué)的初級階段幫助學(xué)生識圖，是提高學(xué)生能力的關(guān)鍵。但若忽略了這一步，就會給后面復(fù)雜圖形的識別帶來困難，不知從哪里下手了。三、關(guān)注圖形變化中產(chǎn)生的性質(zhì)如：在圖中，兩直線a、b被第三直線c所截，不論直線a如何繞o點(diǎn)繞轉(zhuǎn)，1與2永遠(yuǎn)是同位角，而當(dāng)1與2相等時，ab由此得到：同位角相等兩直線平行例5:如圖，點(diǎn)O是線段 AD 的中點(diǎn)，分別以 AO,DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC, 不難求得AEB=60°(1)若點(diǎn)O不是DO的中點(diǎn),如圖(2),其余條件不變,則AEB的大小是否改變?若不變,請說明理由;若改

8、變,請求出AEB的大小.(2)若OAB和OCD為等腰三角形,如圖(3),且OA=OB,OC=OD, AOB=COD=,連接AC和BD,相交于點(diǎn)E,連接BC,探索AEB與的大小關(guān)系,并說明理由. 這幾個例子中體現(xiàn)了幾何圖形的生成過程，有利于學(xué)生順騰摸瓜，理解在圖形的變化中由條件到結(jié)論有一種必然聯(lián)系。四、學(xué)會看圖說話任何一門學(xué)科都有自己特有的語言。幾何語言是學(xué)生理解和表述概念、敘述作圖步驟和進(jìn)行推理論證所必不可少的工具。語言教學(xué)首先要提高學(xué)生幾何語言的準(zhǔn)確性，這方面要結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生理解幾何語言準(zhǔn)確的重要性。要跨入平面幾何的大門，首先要過好“語言關(guān)”。為此，在講課時，要努力做到語言規(guī)范化

9、，書寫規(guī)范化，要求學(xué)生作業(yè)也要規(guī)范化。它講究的是邏輯推理的嚴(yán)密性和語言的簡潔性，要求言必有理，證必有據(jù)。要注意糾正出現(xiàn)的各類錯誤。講概念時，將文字語言和符號語言結(jié)合起來講，還可選編一些語言訓(xùn)練題，把一些范句言結(jié)合起來講，還可選編一些語言訓(xùn)練題，把一些范句摘錄下來要求學(xué)生記住。如：“延長_到_點(diǎn)，使_”；“過_，垂足為_”；“在_”；“過_”等等。例6:如圖，AD是ABC的高，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)F,且BE=AC,DE=DC,你能說明BE與AC垂直嗎？分析：只要說明BFA=90°,即只要說明1+2=90°即可.又1+4=90°，2=3，所以只要說明

10、3=4即可。應(yīng)考慮BEDACD解：因為AD是ABC的高，所以BDE=90°, ADC=90°在RTBED和RTACD中因為BE=AC,DE=DC，所以RTBEDRTACD(HL)所以3=4，因為1+4=90°，2=3所以1+2=90°所以BFA=90°，即BEAC教師分析學(xué)生看圖說出推理過程再給出時間給學(xué)生獨(dú)立完成書寫過程，這是個思路整理的過程，命名得思維更加規(guī)范化、條理化。培養(yǎng)學(xué)生有條有理，有根有據(jù)地進(jìn)行思考，而且能夠比較完整地敘述思考過程，在幾何入門教學(xué)中很重要。首先語言要科學(xué)，數(shù)學(xué)語言是極其嚴(yán)密的，非常精煉的，有嚴(yán)格的界定和明確的含義，在

11、訓(xùn)練學(xué)生講解的過程中，特別要重視語言的準(zhǔn)確、嚴(yán)密，引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)的語言進(jìn)行敘述。其次語言要有邏輯性，數(shù)學(xué)以嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)作為學(xué)科的骨架，違背了邏輯就違背了數(shù)學(xué)真締。因此，要訓(xùn)練學(xué)生講解的語言符合客觀規(guī)律，也就是說，講話要有根有據(jù)，有因有果。最后語言的有序性。語言的有序性指講話要有條理。先講什么，后講什么，要有次序。對于幾何，先證什么，后證什么，推理要步步有據(jù)，論證過程要簡明合理。語言上的有序性和思想上的有序性是一致的。學(xué)生講解上的有條有理也必然反映他思維上的條理性。培養(yǎng)學(xué)生語言的有序性，有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展。五、關(guān)注知識的遷移和聯(lián)系學(xué)好平面幾何，學(xué)生不僅要有嚴(yán)密的邏輯思維能力，還要學(xué)生有較

12、強(qiáng)的發(fā)散思維能力，觀察能力、計算能力，而且貫穿著許多重要的數(shù)學(xué)思想方法。1、一題多解，理解命題本質(zhì)例7：三角形內(nèi)角和的證明。證法1、過點(diǎn)A作ADBC，如圖1所示因為ADBC,所以1=C,DAB+B=180°所以BAC+B+C=DAB+ABC=180°證法2、如圖2，過點(diǎn)A作DEBC，則1=B, 2=C因為1+BAC+2=180°所以BAC+B+C=180°證法3、如圖3、在BC邊上任取一點(diǎn)D，過D點(diǎn)作DEAB交AC于點(diǎn)E，作DFAC交AB于點(diǎn)F因為DEAB所以1=B, 2=4DFAC所以A=4, 3=C所以 2=A又因為1+2+3=180°所以

13、A+B+C=180°證法4、如圖4、過A點(diǎn)在三角形內(nèi)部任作射線AD，再做BEAD,CFAD因為BEADCF1=3, 2=4,EBC+BCF=180°所以BAC+BCA+ABC=EBC+BCF=180°證明三角形內(nèi)角和定理是很簡單的，通過多角度的辨析思考拓寬了學(xué)生的思路。2、錯題改正，糾正自我偏差例8：下面證明是否正確？若不正確請改正。求證：三角形的內(nèi)角和等于180°已知：在ABC中，ABC、ACB、BAC內(nèi)其內(nèi)角求證：ABC+ACB+BAC=180°證明：如圖，過點(diǎn)E作直線DE，使ABC=BCD，BAC=ACB。因為ACB+ACE+BCD（平角

14、定義）所以：ABC+ACB+BAC=180°（等量代換）過點(diǎn)E作直線DE，使ABC=BCD，BAC=ACB，是不可能同時產(chǎn)生的。3、由簡單到復(fù)雜，拓寬思維方向解決證明問題一般有三種思維模式，在這里我不妨叫它三步思維模式：從結(jié)論出發(fā)尋求證明依據(jù)（依據(jù)一般定理、公理、推論)從條件出發(fā)得出某些相關(guān)結(jié)論，建立結(jié)論與條件的聯(lián)系，尋找所需要信息。條件不足，創(chuàng)造條件，達(dá)到目的（創(chuàng)造條件一般就是作輔助線，構(gòu)造特殊圖形）上述三點(diǎn)是我們解決幾何問題的基本模式，牢固掌握好這三種思維模式是我們學(xué)好幾何的根本出發(fā)點(diǎn)。圖形是平面幾何中思維藉以展開的依據(jù)。所以對平面幾何問題的分析，首先是對圖形的分析，而對圖形的分析，又首先基于對圖形的深刻觀察。在此例題中注意培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，并利用圖形的規(guī)律解決問題的能力