自動控制原理第2章數(shù)學(xué)模型

1、2014.9.2212014.9.2222.1 概述u 了解數(shù)學(xué)模型的概念u 了解系統(tǒng)的概念2014.9.2232.1.1 關(guān)于數(shù)學(xué)模型（1）什么是數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入輸出（或變量）關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。（2）為什么要建立數(shù)學(xué)模型？ 通過數(shù)學(xué)模型定量地分析系統(tǒng)地動態(tài)特性，是分析設(shè)計控制 器的基礎(chǔ)。 也是對系統(tǒng)進行仿真的基礎(chǔ)（3）數(shù)學(xué)模型的形式 多樣的，同一系統(tǒng)可以有不同形式的數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)特點 和應(yīng)用場合有關(guān)。 動態(tài)模型：微分方程、偏微分方程、差分方程等 靜態(tài)方程：代數(shù)方程2014.9.224（4）建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意的問題： 準確性 簡化性（5）建模方式 機理建模：根據(jù)運動規(guī)律、動力

2、學(xué)或電氣等原理。 實驗建模：根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)。（系統(tǒng)辨識）2014.9.2253232( )d yd ydytu tdtdtdt2.1.2 關(guān)于系統(tǒng)（1）線性系統(tǒng)：滿足疊加原理的系統(tǒng)（2）非線性系統(tǒng)：不滿足疊加原理的系統(tǒng)（3）集中參數(shù)系統(tǒng)：變量僅僅是時間的函數(shù)。（動態(tài)方程是微分方程）（4）分布參數(shù)系統(tǒng)：變量不僅是時間函數(shù)，而且還是空間的函數(shù)。（動態(tài)方程是偏微分方程） 如很大的蒸餾罐，溫度有梯度。（5）線性定常系統(tǒng): 微分方程的系數(shù)為常數(shù)。如（6）線性時變系統(tǒng)：微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)。3232( )d yd ydyu tdtdtdt2014.9.2262.1.3 本章內(nèi)容本章討論的系統(tǒng)僅限于

3、單輸入單輸出集中參數(shù)線性定常系統(tǒng)或可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)系統(tǒng)本章要求掌握的主要內(nèi)容 微分方程 傳遞函數(shù)J 方塊圖（方框圖或結(jié)構(gòu)圖）J 信號流圖2014.9.2272.2 動態(tài)微分方程式的編寫-時域模型u 建立元件微分方程的步驟u 典型系統(tǒng)（R-L-C電路，直流電動機，阻尼器彈簧系統(tǒng)）u 非線性系統(tǒng)線性化方法2014.9.2282.2.1 建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟u 確定系統(tǒng)或元件的輸入輸出變量u 根據(jù)物理或化學(xué)定律列出原始方程u 在適當情況下進行簡化u 消去中間變量，得到系統(tǒng)或元件輸入輸出的微分方程注意：列寫微分方程式時輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項列寫在方程式左端；輸入項及其各階導(dǎo)

4、數(shù)項列寫在方程式右端；并將輸出項的系數(shù)為1。2014.9.229( )ru t( )cu t( )( )( )/crcdiLRiu tu tdtu tq Cdqidt 2.2.2 典型系統(tǒng)的微分方程1）R-L-C電路（1）確定輸入量和輸出量 取電壓 為輸入量， 為輸出量。（2）列出原始微分方程根據(jù)克?；舴蚨桑↘VL，KCL）可寫出原始方程式：22( )( )( )( )cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdt( )cu t2014.9.221021 222( )( )( )( )cccrd u tdu tTTTu tu tdtdt式中T1、T2為電路的兩個時間常數(shù)。當t的單位為

5、秒時，它們的單位也為秒。令T1=L/R，T2=RC2222( )( )( )( )( )( )( )( )cccrcccrd u tdu tLCRCu tu tdtdtLd u tdu tRCRCu tu tRdtdt2014.9.22112122( )( )( )d yf tf tf tMdt1( )dyf tBdt2）機械位移系統(tǒng)機械位移系統(tǒng)如圖表示一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)。外力f (t)，系統(tǒng)產(chǎn)生的位移y(t)，運動部件質(zhì)量用M表示；B為阻尼器的阻尼系數(shù)。K為彈簧的彈性系數(shù)，要求寫出系統(tǒng)在外力f (t)作用下的運動方程式。（1）f (t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出。（2）列出原始方

6、程式。根據(jù)牛頓第二定律，有：式中f1(t)阻尼器阻力：f2(t)彈簧力：2( )( )f tKy t2014.9.221222( )( )( )( )d y tdy tMBKy tf tdtdt（3）f1(t)和f2(t)為中間變量，消去中間變量，整理得方程兩邊同時除以K22( )( )( )( )M d y tB dy ty tf tKdtKdt2014.9.221312dhQQCdt22g PQk h22g PQk h3）液位流體過程液位流體過程如圖，Q1為流入量，也是輸入量，Q2為流出量，h為液位高度，為系統(tǒng)輸出，C為水箱的截面積。其中g(shù)為重力加速度，為液體密度，為流體系數(shù)消去中間變量Q

7、2，則有這是一個一階非線性微分方程2gkg 為常數(shù)（當液體固定時）1dhCk hQdt2014.9.221412dhQQCdt22g PQk h2.2.3 非線性方程線性化方法從液位系統(tǒng)可知但如果在某一靜態(tài)工作點附近（Q20，h0）作小的變化，就可以近似線性化：2111QKhd hCKhQd tC d hhQK d tK 此時系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)2014.9.2215小結(jié)u 建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關(guān)鍵公式 牛頓第二定律、克?；舴蚨傻萿 建立的微分方程的標準形式為u 要建立非線性系統(tǒng)的線性化微分方程式，首先確定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，即預(yù)定工作點；最后得到整個系統(tǒng)以增量表示的線性化方程（泰勒級數(shù)

8、展開）。1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nncccnncnnmmrrrmmrmmd x tdx tdx taaaa x tdtdtdtd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt2014.9.22162.3 傳遞函數(shù)-復(fù)域模型u 拉普拉斯變換的有關(guān)內(nèi)容u 傳遞函數(shù)的定義u 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)u 傳遞函數(shù)的性質(zhì)和物理意義u 傳遞函數(shù)的表示方式和術(shù)語2014.9.22170 ( )( )( )tsL f tF sf tedt10( )00tf tt 001111101ststLtedtesss2.3.1 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容1 1） 拉氏變換的定義拉氏

9、變換的定義 ( )( )F sf t像像原像原像2 2） 常見函數(shù)的拉氏變換常見函數(shù)的拉氏變換00 ( )s a tatstL f teedtedt011101(s a)te()sasasa( )atf te（1 1）階躍函數(shù)）階躍函數(shù)（2 2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù)2014.9.22181212L a f (t)b f (t)aF(s)bF (s) 0L fts F sf nnL fts F s3 3） 拉氏變換的幾個重要定理拉氏變換的幾個重要定理 1Lf t dtF ss（1 1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)（2 2）微分定理）微分定理零初始條件下有：零初始條件下有： 21120000nn-nnn-n-

10、fts F ssfsfsff（3 3）積分定理）積分定理 1nnnLf t dtF ss 個N重積分有：重積分有：2014.9.2219（2 2）單位階躍）單位階躍4 4） 常見函數(shù)常見函數(shù)L變換變換( )f t1 s（5 5）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù)ate1 ()sa( )F s1( ) t（1 1）單位脈沖）單位脈沖1( ) t（3 3）單位斜坡）單位斜坡21 st（4 4）單位加速度）單位加速度31 s22t（6 6）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)sint22()s（7 7）余弦函數(shù)）余弦函數(shù)cost22()ssP273P273（P389P389） 表表8-18-12014.9.2220101111011

11、1( )( )( )( )( )( )( )( )nncccnncnnmmrrrmmrmmd x tdx tdx taaaa x tdtdtdtd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdtX ( )( ) ,X ( )( )cccrsL x tsL x t2.3.2 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)定義為：零值初始條件下，線性系統(tǒng)(或線性元件)輸出拉氏變換和輸入拉氏變換之比。對上式兩邊求拉氏變換且所有初始值為零，那么有令 。10111011( )( )( )( )( )( )( )( )nnccncncmmrrmrmra s Xsa sXsasXsa Xsb s XsbsXsbsXsb Xs2

12、014.9.222110111011( )( )mmcmmnnrnnXsb sbsbsbXsa sa sasa( )( )( )crXsW sXs( )( )( )crXsW s Xs令 用W(s)表示元件(或系統(tǒng))的傳遞函數(shù)。若已知輸入Xr(s)和W(s),那么就可以求出Xc(s):10111011()( )()( )nnnncmmmmra sa sasaXsb sbsbsbXs傳遞函數(shù)主要研究的輸入對輸出的關(guān)系。2014.9.22221011110111(1)( )1( )( )1(1)mmmicmminnnrnnjjKTsXsb d sd sdsW sXsac sc scsT s1011

13、110111()( )( )( )()mmmgicmminnnrnnjjKszXsb sd sdsdW sXsasc scscsp傳遞函數(shù)有兩種比較常見的表示方式其一是有理分式形式：其二是零極點形式00,mgnbbKKaa其中2014.9.22231111(1)()( )(1)()mmigiiinnjjjjKTsKszW sT ssp幾個術(shù)語和幾個量的關(guān)系： -z1,-zm為傳遞函數(shù)分子多項式方程的m個根，稱為傳遞函數(shù)的零點； -p1,-pn為分母多項式方程的n個根，稱為傳遞函數(shù)的極點。 Kg為根軌跡增益; K為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)） s=0表示所有導(dǎo)數(shù)項為零11miignjjzKKp20

14、14.9.2224關(guān)于零初始條件說明兩點：u 輸入量在t0時才作用在系統(tǒng)上；u 輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在t=0-時輸出及其所有導(dǎo)數(shù)項為零問題：為什么可以討論零初始條件情況？ 傳遞函數(shù)主要研究的輸入對輸出的關(guān)系。 表現(xiàn)形式簡單。當初始條件不為零，怎么辦？2014.9.222522( )( )( )( )cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdt2( )1( )1crUsUsLCsRCs22( )( )( )( )M d y tB dy ty tf tKdtKdt1）R-L-C電路2）機械位移系統(tǒng)機械位移系統(tǒng)2( )1( )1Y sMBF sssKK時域：時域：頻域：頻域

15、：2014.9.2226關(guān)于傳遞函數(shù)性質(zhì)：u 只適合線性定常系統(tǒng)；u 傳遞函數(shù)式是復(fù)變量s的有理分式；u 分子多項式階次m和分母多項式的階次n及系數(shù)(ai,bj) 均由系統(tǒng)或元件的參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定，與外加輸入和初始狀態(tài)無關(guān)，且mn；u 傳遞函數(shù)代表了輸入和輸出之間的關(guān)系，不能提供系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息；u 若傳遞函數(shù)已知，針對不同的輸入，可以研究系統(tǒng)輸出和響應(yīng)；Xc(s)=W(s)Xr(s)，再通過反拉式變換求出Xc(t).u 只適合一個輸入和一個輸出，多輸入多輸出需要傳遞函數(shù)陣來表示。2.3.3 傳遞函數(shù)的性質(zhì)2014.9.22272.3.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1）比例環(huán)節(jié)xc(t

16、)=Kxr(t)根據(jù)定義，兩邊求拉氏變換得( )( )( )( )( )crcrXsKXsXsW sKXs典型元件為電阻、彈簧2014.9.2228( )( )( )(1)( )( )( )( )( )(1)ccrcrcrdx tTx tKx tdtTsXsKXsXsKW sXsTs1KTs( )cXs2）慣性環(huán)節(jié)如果微分方程為一階常微分方程如：典型慣性環(huán)節(jié)有R-C電路水箱水位溫度系統(tǒng)K環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；T環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。( )rXs2014.9.2229( )( )( )( )( )( )( )1( )( )crcrcrcrdx tTx tTx tx t dtdtTsXsXsXsW sXsTs

17、3）積分環(huán)節(jié)如果微分方程仍為一階常微分方程，但T積分時間常數(shù)。0( )11( )( )tcccdx ttTx tdtx tdtTT線性關(guān)系若xr(t)=1，即階躍輸入，那么2014.9.2230( )( )( )( )( )( )( )rccrcrdx tx tTdtXsTsXsXsW sTsXs( ),0( )( )( ),00,0rcTttdx tx tTTt ttdt4）微分環(huán)節(jié)若xr(t)=1，即階躍輸入，那么所以稱G(s)=Ts為理想微分環(huán)節(jié)，而通常實際的微分環(huán)節(jié)為1( )1TsW sT s這里，T1較小2014.9.223122( )( )( )( )cccrd u tdu tLC

18、RCu tu tdtdt22221( )112nLcnnLLcT TW sssssTT T5）振蕩環(huán)節(jié)如果微分方程為二階常微分方程如：令L/R=TL,RC=Tc,則得初始條件為零時的拉氏變換2(1)( )( )LcccrT T sT sUsUs二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：阻尼比；n無阻尼自然振蕩頻率；當01時，由于系統(tǒng)輸出會出現(xiàn)振蕩，稱為振蕩環(huán)節(jié)常見的二階環(huán)節(jié)有：R-L-C電路、電動機2014.9.2232( )()crx tx t( )sW se（6）時滯環(huán)節(jié) 稱為延滯時間（又稱死區(qū)時間）延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：拉氏變換的延遲定理延滯環(huán)節(jié)典型的出現(xiàn)在管道運輸00()( ) sL f teF s2

19、014.9.22332.4 方塊圖u 方塊圖基本單元u 方塊圖運算法則u 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)u 系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的傳遞函數(shù)2014.9.22342.4.1 方塊圖基本單元圖模型的一個突出優(yōu)點是直觀、形象，是工程上用來分析復(fù)雜系統(tǒng)的重要手段。方塊圖組成的四個基本單元： （a） 信號線； （b）分支點(又叫測量點)； （c）比較點(求和點)； （d）方塊（又叫環(huán)節(jié)）； 方塊圖實質(zhì)上是將原理圖與數(shù)學(xué)方程兩者結(jié)合起來，它一種對系統(tǒng)的全面描寫。2014.9.2235(t)iR(t)ur(t)111 (t)dti(t)iC1(t)u2111(t)iRc(t)(t)u221 (t)dtiC1c(t)22

20、例：電網(wǎng)絡(luò)方塊圖2014.9.2236將上圖匯總得到： 問題：能化解否？2014.9.22372.4.2 方塊圖的運算法則1）串聯(lián)運算法則 因為 結(jié)論：多個環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán) 節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s) (s)(s)GG(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)XG(s)21231213 (s)X(s)X(s)G121 (s)X(s)X(s)G232 2014.9.2238 2）并聯(lián)運算法則 因為所以 結(jié)論：多個環(huán)節(jié)并聯(lián)后的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián) 環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。 G(s) = G1(s) + G2(s) + + Gn(s) C(s)

21、(s)X(s)XR(s)(s)X(s)G2122 (s)G(s)GR(s)(s)XR(s)(s)XR(s)(s)X(s)XR(s)C(s)G(s)212121 R(s)(s)X(s)G11 2014.9.22393） 反饋運算法則 前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)分別為G ( s )、 H ( s ) 結(jié)論：具有負反饋結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)除以1加（若正反饋為減）前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。G(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)H(s)C(s)G(s)R(s)B(s)G(s)R(s)G(s)E(s)C(s) 2014.9.22402014.9.22412014.9.2242

22、1）開環(huán)傳遞函數(shù)定義：反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比 結(jié)論：開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通路傳遞函數(shù)G(s)和 反饋通路傳遞函數(shù)H(s)的乘積。 2.4.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)H(s)E(s)B(s) 2014.9.2243 2）閉環(huán)傳遞函數(shù) 定義：系統(tǒng)的主反饋回路接通以后，輸出量與輸入量之間的傳遞函數(shù)，通常用(s)3）擾動傳遞函數(shù)把系統(tǒng)輸入量以外的作用信號均稱之為擾動信號。 G(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)(s)2014.9.2244a.設(shè)輸入量R（s）=0 當擾動影響可被抑制b.設(shè)擾動信號N（s）=0 當 時， 表明此時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)只與H（S）有關(guān)，與被包圍的 環(huán)節(jié)無關(guān)

23、。(s)G (s),G21)(1R(s)(s)CRsH 1(s)H(s)(s)GG21 (s)H(s)(s)GG1(s)(s)GGR(s)(s)C(s)2121RR0N(s)(s)CN1(s)H(s)G1 (s)H(s)(s)GG1(s)GN(s)(s)C(s)212NN1(s)H(s)(s)GG212014.9.2245R（s）、 N（s）同時作用時：N(s)(s)R(s)G(s)H(s)(s)GG1(s)GN(s)(s)H(s)(s)GG1(s)GR(s)(s)H(s)(s)GG1(s)(s)GG(s)C(s)CC(s)12122122121NR 2014.9.2246例：多回路系統(tǒng)（P4

24、0）原理保證移動前后輸入輸出關(guān)系不變1( )W s2( )W s3( )W s4( )W s5( )W s6( )W s7( )W s1( )W s2( )W s3( )W s4( )W s5( )W s64( )( )W sW s7( )W s( )rX s( )cX s2014.9.22471( )W s2( )W s3( )W s4( )W s5( )W s64( )( )W sW s7( )W s( )rX s( )cX s1( )W s2( )W s34345( )( )1( )( )( )W s W sW s W s W s64( )( )W sW s7( )W s( )rX s(

25、 )cX s2014.9.22481( )W s2( )W s34345( )( )1( )( )( )W s W sW s W s W s64( )( )W sW s7( )W s( )rX s( )cX s1( )W s7( )W s( )rX s( )cX s234345236( )( )( )1( )( )( )( )( )( )W s W s W sW s W s W sW s W s W s2014.9.22491( )W s7( )W s( )rX s( )cX s234345236( )( )( )1( )( )( )( )( )( )W s W s W sW s W s W

26、sW s W s W s( )rX s( )cX s123434523612347( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W s W s W s W sW s W s W sW s W s W sW s W s W s W s W s2014.9.22502.5 信號流圖的繪制與化簡最初由梅遜（Mason）提出來，用于求解線性代數(shù)方程組的；借助Mason公式方便進行方塊圖的化簡u 將方塊圖轉(zhuǎn)化成信號流圖u 運用Mason公式u 直接在方塊圖中運用Mason公式2014.9.2251節(jié)點：表示變量或信號，其值等于所有進入該節(jié)點的信號之和。節(jié)點用

27、“”表示。 如x1、x2、x3、x4和x5。支路：連接兩個節(jié)點的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系。支路相當于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。類似結(jié)構(gòu)圖中的方塊。1）信號流圖的組成信號流圖是由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。2.5.1方塊圖轉(zhuǎn)化為信號流圖2014.9.22522）信號流圖中的常用術(shù)語 輸入節(jié)點（源點）只有輸出支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量; 如節(jié)點x1。 輸出節(jié)點（阱點或匯點）只有輸入支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量; 如節(jié)點x6。 混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點稱為混合節(jié)點；混合節(jié)點代替了方塊圖中的綜合

28、點 如節(jié)點x2、x3、x4和x5從混合節(jié)點引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點變?yōu)檩敵龉?jié)點。2014.9.2253 通路：從某一節(jié)點開始沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點所構(gòu)成的路徑稱為通路;如x1-x4通路 通路中各支路增益的乘積叫做通路增益;如x1-x4通路增益為ab. 前向通路: 是指從輸入節(jié)點開始并終止于輸出節(jié)點且與其它節(jié)點相交不多于一次的通路；該通路的各增益乘積稱為前向通路增益。前向通路增益為abc前向通路可能不止一條前向通路增益為d2014.9.2254 回路: 通路的終點就是通路的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路?；芈分懈髦吩鲆娴某朔e稱為回路增益。

29、如x2-x3-x2回路增益為ae。 不接觸回路: 一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點，則稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。 回路x2-x3-x2和回路x5-x5為不接觸回路; 回路x2-x3-x2和回路x3-x4-x3為接觸回路2014.9.22553）信號流圖的繪制法則： （1）每一個節(jié)點表示一個變量，并可以把所有輸入 支路信號迭加再傳送到每一個輸出支路。 （2）支路表示了一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān) 系。支路上的箭頭方向表示信號的流向。 （3）混合節(jié)點可以通過增加一個增益為1的支路變 成為輸出節(jié)點,且兩節(jié)點的變量相同。2014.9.22562014.9.2257因為 x2=a

30、x1+cx3 x3=bx2 用代入法消去中間變量x2得到：對圖中的(d)作一簡單推導(dǎo)：13xbc1abx 2014.9.22582014.9.2259例：將下面方塊圖繪制為信號流圖解：以輸入信號為輸入節(jié)點 以輸出信號為輸出節(jié)點 引出點必須為一個節(jié)點 綜合點輸出信號必須為一個節(jié)點2014.9.2260方塊圖對應(yīng)的信號流圖為2014.9.22612.5.2 梅遜公式輸入與輸出兩個節(jié)點間的總傳輸（或叫總增益），可用下面的梅遜公式來求?。菏街校盒帕鲌D的特征式。 =1-(所有不同回路增益之和)+(所有兩個互不接觸回路增益乘積之和)(所有三個互不接觸 回路乘積之和)+ =1- 第k條前向通路的增益； = r個互不