考研高等數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)與題型

1、 高等數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)與題型解析 一、考試大綱內(nèi)容解析 一、函數(shù)、極限、連續(xù)一、函數(shù)、極限、連續(xù) 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性周期性和奇偶性 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函初等函數(shù)數(shù) 函數(shù)關(guān)系的建立函數(shù)關(guān)系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左函數(shù)的左極限與右極限極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系關(guān)系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較

2、無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的極限的四則運(yùn)算四則運(yùn)算 極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限: 函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 初等函數(shù)的初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 考察方式：選擇題，填空題，解答題（考察方式：選擇題，填空題，解答題（15題）題） 二、一元函數(shù)微分學(xué)二、一元函數(shù)微分學(xué) 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性

3、之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式所確定的函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)法則函數(shù)單調(diào)的不變性微分中值定理洛必達(dá)法則函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)性的判別函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑 考察方式：選擇題（居多），填

4、空題，解答題（必考察方式：選擇題（居多），填空題，解答題（必考）考） 三、一元函數(shù)積分學(xué)三、一元函數(shù)積分學(xué) 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓-萊萊布尼茨布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定積分和定積公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分反常（廣函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分反常（廣

5、義）積分定積分的應(yīng)用義）積分定積分的應(yīng)用 考察方式：選擇題，填空題（居多）解答題（物考察方式：選擇題，填空題（居多）解答題（物理與數(shù)學(xué)問題的實(shí)際應(yīng)用）理與數(shù)學(xué)問題的實(shí)際應(yīng)用） 四、多元函數(shù)微積分學(xué)四、多元函數(shù)微積分學(xué) 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法二階偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值多元函數(shù)的極值和條件極

6、值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算 考察方式：選擇題（考察方式：選擇題（2012-5），解答題（居多，），解答題（居多，多為多為“多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值最小值”，“多元復(fù)合函數(shù)多元復(fù)合函數(shù)”） 五、常微分方程五、常微分方程 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 常微分方程的基本概念變量可分離的微分方常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程可降程齊次微分方程一階線性微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的

7、結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程的簡單應(yīng)用程的簡單應(yīng)用 考察方式：選擇題（居多），填空題（居多），考察方式：選擇題（居多），填空題（居多），解答題（應(yīng)用題）解答題（應(yīng)用題） 注意：此類題選擇題技巧性很強(qiáng)，而填空題以注意：此類題選擇題技巧性很強(qiáng)，而填空題以及解答題多以計算為主。及解答題多以計算為主。 二、高等數(shù)學(xué)得分必知 高等數(shù)學(xué)必得分考點(diǎn) 1：極限客觀題以及解答題（考察動手能力與：極限客觀題以及解答題（考察動手能力與分析能力）分析能力） 注

8、意：極限考題的做法一般很重要且常用的：注意：極限考題的做法一般很重要且常用的： （1）定義法）定義法 （2）洛必達(dá)法則）洛必達(dá)法則 （3）麥克勞林公式）麥克勞林公式 （4）等價替換法）等價替換法 （5）放縮法（夾逼定理）放縮法（夾逼定理） （6）重要極限法（常用的極限）重要極限法（常用的極限） （7）取對數(shù)法（復(fù)合函數(shù)）取對數(shù)法（復(fù)合函數(shù)） （8）綜合法）綜合法 2：一元微積分客觀題以及大題（動手能力）：一元微積分客觀題以及大題（動手能力） 3：微分中值定理（考察概念原理以及應(yīng)用）：微分中值定理（考察概念原理以及應(yīng)用） 溫馨提醒：溫馨提醒： 考生一定要熟悉各個中值定理的定義以及推考生一定要熟悉

9、各個中值定理的定義以及推理（特別是拉格朗日中值定理），認(rèn)真從做理（特別是拉格朗日中值定理），認(rèn)真從做真題中總結(jié)做題的方法。真題中總結(jié)做題的方法。 注意：此類題做題步驟：注意：此類題做題步驟： （1）先觀察求證的等式，要有慧眼識別題中）先觀察求證的等式，要有慧眼識別題中的核心考點(diǎn)的核心考點(diǎn) （2）然后選取合適的定理）然后選取合適的定理 （3）正確的求出原函數(shù)，接著恒等變形，結(jié)）正確的求出原函數(shù)，接著恒等變形，結(jié)合選取定理證明。合選取定理證明。 4:二重積分客觀題以及解析題（考察對手能力二重積分客觀題以及解析題（考察對手能力與概念）與概念） 溫馨提示：溫馨提示： 這個考點(diǎn)，概念要清晰，客觀題中技巧

10、性很強(qiáng)，這個考點(diǎn)，概念要清晰，客觀題中技巧性很強(qiáng)，解析題主要是考察計算能力解析題主要是考察計算能力 注意：此考點(diǎn)有以下幾點(diǎn)注意：注意：此考點(diǎn)有以下幾點(diǎn)注意： （1）選擇與填空題重點(diǎn)理解二重積分對稱性以）選擇與填空題重點(diǎn)理解二重積分對稱性以及奇偶性的應(yīng)用，做題可以事倍功半。及奇偶性的應(yīng)用，做題可以事倍功半。 （2）解答題主要是做出正確的區(qū)域圖形，加以）解答題主要是做出正確的區(qū)域圖形，加以適當(dāng)?shù)募记煞治觯ㄍ?，主要還是函數(shù)的對稱適當(dāng)?shù)募记煞治觯ㄍ希饕€是函數(shù)的對稱性和奇偶性），然后細(xì)心作答，滿分就是這樣性和奇偶性），然后細(xì)心作答，滿分就是這樣得到的。得到的。 5：多元微分方程（概念與計算能力）

11、：多元微分方程（概念與計算能力） 溫馨提示：溫馨提示： 這個考點(diǎn)，考生只需要把歷年經(jīng)典的應(yīng)用題和解這個考點(diǎn)，考生只需要把歷年經(jīng)典的應(yīng)用題和解析題熟練掌握，概念清晰，考試基本不會出問題。析題熟練掌握，概念清晰，考試基本不會出問題。 做題思路：做題思路： （1）區(qū)分函數(shù)之間的關(guān)系）區(qū)分函數(shù)之間的關(guān)系 （2）學(xué)會利用）學(xué)會利用“樹枝結(jié)構(gòu)法樹枝結(jié)構(gòu)法”分析試題分析試題 （3）對條件極值的理解以及拉格朗日乘法的應(yīng)用）對條件極值的理解以及拉格朗日乘法的應(yīng)用 （4）一定要注意閉區(qū)間上多元函數(shù)的極值和最值）一定要注意閉區(qū)間上多元函數(shù)的極值和最值得區(qū)別得區(qū)別 6：微分方程（熟悉幾種常用的微分方程形式，：微分方程

12、（熟悉幾種常用的微分方程形式，應(yīng)用題中學(xué)會找對應(yīng)的關(guān)系，主要考察概念與計應(yīng)用題中學(xué)會找對應(yīng)的關(guān)系，主要考察概念與計算能力）算能力） 解題思路：解題思路： （1）判斷題目中所求解的類型，準(zhǔn)確定型）判斷題目中所求解的類型，準(zhǔn)確定型 （2）找準(zhǔn)變量之間的關(guān)系）找準(zhǔn)變量之間的關(guān)系 （3）熟悉齊次與非齊次解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)）熟悉齊次與非齊次解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì) （4）實(shí)際應(yīng)用題中藥學(xué)會構(gòu)造中間替代量）實(shí)際應(yīng)用題中藥學(xué)會構(gòu)造中間替代量 三、高等數(shù)學(xué)考點(diǎn)分析與題型總結(jié) 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 題型題型 1 函數(shù)表達(dá)式與性質(zhì)的判斷（奇偶性、周期函數(shù)表達(dá)式與性質(zhì)的判斷（奇偶性、周期性、單調(diào)性與有界性）性、單調(diào)性與有界性

13、） 題型題型 2 求未定式的極限（求未定式的極限（ 1型極限、型極限、 0/0型極限型極限 、-型極限等）型極限等） 題型題型 3 求分段函數(shù)的極限求分段函數(shù)的極限 題型題型 4 求含參量求含參量X的函數(shù)極限的函數(shù)極限 題型題型 5 數(shù)列極限的判定或求解數(shù)列極限的判定或求解 題型題型 6 無窮小的比較或確定無窮小的階無窮小的比較或確定無窮小的階 題型題型 7 求求n項(xiàng)和的數(shù)列極限項(xiàng)和的數(shù)列極限 題型題型 8 已知一極限求其待定常數(shù)或另一極限已知一極限求其待定常數(shù)或另一極限 題型題型 9 討論函數(shù)的連續(xù)性及其間斷點(diǎn)的類型討論函數(shù)的連續(xù)性及其間斷點(diǎn)的類型 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 題型題型 1 函數(shù)

14、導(dǎo)數(shù)或微分概念和性質(zhì)的判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分概念和性質(zhì)的判斷 題型題型 2 討論分段函數(shù)可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性討論分段函數(shù)可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性 題型題型 3 討論含絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性討論含絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性 題型題型 4 求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 包含：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、包含：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)式確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)式確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、冪指數(shù)函數(shù)及其多個因子連乘積段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、冪指數(shù)函數(shù)及其多個因子連乘積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、一元的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、一元函數(shù)的

15、微分函數(shù)的微分 題型題型 5 利用函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性確定待定常數(shù)利用函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性確定待定常數(shù) 題型題型 6 利用微分中值定理的條件與結(jié)論解題利用微分中值定理的條件與結(jié)論解題 （1） 利用羅爾定理證明中值等式利用羅爾定理證明中值等式 （2） 利用拉格朗日中值定理證明等式與不等式利用拉格朗日中值定理證明等式與不等式 （3） 利用柯西中值定理證明中值不等式利用柯西中值定理證明中值不等式 題型題型 7 證明多個中值定理滿足的等式證明多個中值定理滿足的等式 題型題型 8 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 （1）證明與函數(shù)改變量有關(guān)的不等式（拉格朗日）證明與函數(shù)改變量有關(guān)的不等式（拉格朗日中值定

16、理）中值定理） （2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不等式證明函數(shù)不等式）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不等式證明函數(shù)不等式 （3）不同函數(shù)的同一自變量的不等式（構(gòu)造法）不同函數(shù)的同一自變量的不等式（構(gòu)造法） （4）證明同一函數(shù)的不同自變量的不等式（拉格）證明同一函數(shù)的不同自變量的不等式（拉格朗日中值定理、構(gòu)造法、輔助函數(shù)法）朗日中值定理、構(gòu)造法、輔助函數(shù)法） 題型題型 9 泰勒定理的應(yīng)用泰勒定理的應(yīng)用 題型題型 10 討論函數(shù)的性態(tài)討論函數(shù)的性態(tài) （1）證明函數(shù)的單調(diào)性）證明函數(shù)的單調(diào)性 （2）利用極限式討論函數(shù)是否取得極值）利用極限式討論函數(shù)是否取得極值 （3）利用方程討論函數(shù)是否有極值，拐點(diǎn)）利用方程討論函數(shù)是否有極值

17、，拐點(diǎn) （4）利用導(dǎo)數(shù)不等式討論函數(shù)是否有極值，拐）利用導(dǎo)數(shù)不等式討論函數(shù)是否有極值，拐點(diǎn)點(diǎn) （5）利用極值點(diǎn)或者拐點(diǎn)討論函數(shù)的性質(zhì)）利用極值點(diǎn)或者拐點(diǎn)討論函數(shù)的性質(zhì) （6）求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)）求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn) （7）求曲線的單調(diào)區(qū)間、極值與最值）求曲線的單調(diào)區(qū)間、極值與最值 （8）求曲線的漸近線）求曲線的漸近線 題型題型 12 函數(shù)性態(tài)與函數(shù)函數(shù)圖像（由函數(shù)的性函數(shù)性態(tài)與函數(shù)函數(shù)圖像（由函數(shù)的性態(tài)做函數(shù)圖像、已知函數(shù)的圖像，確定其函數(shù)或態(tài)做函數(shù)圖像、已知函數(shù)的圖像，確定其函數(shù)或者導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)、已知導(dǎo)函數(shù)圖像，確定原函數(shù)的者導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)、已知導(dǎo)函數(shù)圖像，確定原函數(shù)的性態(tài)）性態(tài)） 題型題型

18、 13 利用函數(shù)性態(tài)討論方程的根（根的存在利用函數(shù)性態(tài)討論方程的根（根的存在性與個數(shù)，參數(shù)的取值范圍等）性與個數(shù)，參數(shù)的取值范圍等） 題型題型 14 一元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（切線與法一元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（切線與法線方程、切線在坐標(biāo)軸上的截距有關(guān)問題、兩曲線方程、切線在坐標(biāo)軸上的截距有關(guān)問題、兩曲線相切的問題、平面曲線的曲率問題）線相切的問題、平面曲線的曲率問題） 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 題型題型 1 原函數(shù)與不定積分的關(guān)系原函數(shù)與不定積分的關(guān)系 題型題型 2 各類被函數(shù)不定積分的計算各類被函數(shù)不定積分的計算 題型題型 3 利用定積分的性質(zhì)計算定積分利用定積分的性質(zhì)計算定積分 （1）利用幾

19、何意義計算定積分）利用幾何意義計算定積分 （2）利用積分區(qū)間的對稱性計算定積分）利用積分區(qū)間的對稱性計算定積分 （3）利用函數(shù)的周期性計算定積分）利用函數(shù)的周期性計算定積分 （4）計算被積函數(shù)含有導(dǎo)數(shù)的積分）計算被積函數(shù)含有導(dǎo)數(shù)的積分 （5）比較和估計定積分的大?。ū容^與估值定理）比較和估計定積分的大小（比較與估值定理） （6）求解含積分值為常數(shù)的函數(shù)方程）求解含積分值為常數(shù)的函數(shù)方程 （7）計算幾類需要分子區(qū)間積分的定積分（分段）計算幾類需要分子區(qū)間積分的定積分（分段函數(shù)的定積分、被積函數(shù)含有絕對值的定積分、被函數(shù)的定積分、被積函數(shù)含有絕對值的定積分、被積函數(shù)含有積函數(shù)含有max/min符號

20、的定積分、被積函數(shù)為偶符號的定積分、被積函數(shù)為偶次方根的定積分次方根的定積分 （8）計算含有參數(shù)的定積分）計算含有參數(shù)的定積分 （9）計算需要換元的定積分）計算需要換元的定積分 （10）計算由定積分表示的變量極限）計算由定積分表示的變量極限 題型題型 4 求解與變上限積分有關(guān)的問題求解與變上限積分有關(guān)的問題 （1）計算含變限積分的極限）計算含變限積分的極限 （2）求變限積分的導(dǎo)數(shù)）求變限積分的導(dǎo)數(shù) （3）求含變限積分的定積分）求含變限積分的定積分 （4）討論變限積分函數(shù)的性態(tài)）討論變限積分函數(shù)的性態(tài) 題型題型 5 證明定積分等式、積分不等式證明定積分等式、積分不等式 題型題型 6 計算反常積分

21、（兩大類反常積分）計算反常積分（兩大類反常積分） 題型題型 7 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 （曲線的弧長，面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，變力做功（曲線的弧長，面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，變力做功等）等） （1）計算平面圖形的面積）計算平面圖形的面積 （2）計算旋轉(zhuǎn)體的體積、側(cè)面積（表面積）計算旋轉(zhuǎn)體的體積、側(cè)面積（表面積） （3）計算平行截面積已知的立體體積）計算平行截面積已知的立體體積 （4）計算平面曲線的弧長）計算平面曲線的弧長 （5）求解幾何應(yīng)用與最值問題結(jié)合的問題）求解幾何應(yīng)用與最值問題結(jié)合的問題 （6）用定積分計算質(zhì)心（公式）用定積分計算質(zhì)心（公式） （7）計算物體沿直線做功）計算物體沿直線做功 （8）

22、計算物體的壓力）計算物體的壓力 （9）計算函數(shù)在區(qū)間上的平均值）計算函數(shù)在區(qū)間上的平均值 第四章 向量代數(shù)和空間解析幾何 題型題型 1 求直線方程或直線方程中的參數(shù)求直線方程或直線方程中的參數(shù) 題型題型 2求點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離 題型題型 3 求直線在平面上的投影直線方程求直線在平面上的投影直線方程 題型題型 4 求直線繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程求直線繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程 第六章 多元函數(shù)積分學(xué) 題型題型 1 求二重積分求二重積分 題型題型 2 交換二重積分的積分次序交換二重積分的積分次序 題型題型 3 求三重積分求三重積分 題型題型 4 求對弧長的曲線積分求對弧長的曲線積分 題型題型 5 求對坐標(biāo)的曲線積分求對坐標(biāo)的曲線積分 題型題型 6 求對面積的曲面積分求對面積的曲面積分 題型題型 7