二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算

1、編輯ppt1二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算 一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式二、典型例題二、典型例題編輯ppt2O d d d d.:多于兩點(diǎn)多于兩點(diǎn)的邊界曲線相交不的邊界曲線相交不與與內(nèi)部的射線內(nèi)部的射線過閉區(qū)域過閉區(qū)域出發(fā)且穿出發(fā)且穿從極點(diǎn)從極點(diǎn)的特點(diǎn)的特點(diǎn)區(qū)域區(qū)域DDOD考慮典型小閉區(qū)域考慮典型小閉區(qū)域 曲邊四邊形區(qū)域曲邊四邊形區(qū)域 dd ddd 極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式編輯ppt3 sincosyx dddd yx 二重積分的變量從直角二重積分的變量從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公

2、式 DDfyxyxf dd)sin,cos(dd),(O d d d d編輯ppt4計(jì)算方法計(jì)算方法化為二次積分化為二次積分O D)(1 )(2 ),()(:21D.20 ),()(0,)(),(2121 C其其中中編輯ppt5O D)(1 )(2 EF)(1 )(2 ),()(:,21 上取定上取定在在 )()(21d)sin,cos()( fF,: .d)( F Df dd)sin,cos( d d)sin,cos()()(21 f )()(21d)sin,cos(df編輯ppt6適用范圍適用范圍;,)1(極極坐坐標(biāo)標(biāo)計(jì)計(jì)算算可可考考慮慮用用圓圓環(huán)環(huán)或或扇扇形形區(qū)區(qū)域域時(shí)時(shí)為為圓圓域域通通

3、常常簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單程程表表示示比比較較的的邊邊界界曲曲線線用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方積積分分區(qū)區(qū)域域DD.,)2(22標(biāo)計(jì)算標(biāo)計(jì)算式時(shí)可以考慮使用極坐式時(shí)可以考慮使用極坐的因的因通常當(dāng)被積函數(shù)中含有通常當(dāng)被積函數(shù)中含有并易于積分并易于積分函數(shù)表達(dá)式可以簡(jiǎn)化函數(shù)表達(dá)式可以簡(jiǎn)化被積函數(shù)使用極坐標(biāo)后被積函數(shù)使用極坐標(biāo)后yx 編輯ppt7二重積分化為二次積分幾種常見的情形二重積分化為二次積分幾種常見的情形 O D)(1 )(2 .),()(:21 D情情況況一一： Df dd)sin,cos( O )(1 )(2 D;d)sin,cos(d)()(21 f編輯ppt8.),(0: D情情況況二二： O D )(

4、二重積分化為二次積分幾種常見的情形二重積分化為二次積分幾種常見的情形 Df dd)sin,cos(;d)sin,cos(d)(0 f編輯ppt9.20 ),(0: D情情況況三三： O)( D.dd , DSD 的的面面積積區(qū)區(qū)域域以以上上各各種種情情形形二重積分化為二次積分幾種常見的情形二重積分化為二次積分幾種常見的情形 Df dd)sin,cos(;d)sin,cos(d20)(0 f編輯ppt10.,dde22222ayxaDyxDyx 的的圓圓域域?yàn)闉榘氚霃綇绞鞘侵兄行男脑谠谠c(diǎn)點(diǎn)其其中中計(jì)計(jì)算算解解 aDyxyx020deddde222 ).e1(2a .20,0: aD二、典型例

5、題例例1 1編輯ppt11.10 ,11),(,dd),(2 xxyxyxDyxyxfD其其中中積積分分化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式的的二二次次將將解解, 1 圓的方程為圓的方程為,cossin1 直直線線方方程程為為 Dyxyxfdd),(所以所以.d)sin,cos(d1cossin120 f ,sin,cos yx因因?yàn)闉? yx122 yx例例2 2編輯ppt12.de,102 xx計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果利利用用例例21 DSD 顯然顯然例例3 3解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 1D2DSS1D2DRR2,

6、 0e22 yx因?yàn)橐驗(yàn)?Syxyxdde22.dde222 Dyxyx 122dde Dyxyx所以所以編輯ppt13 RyRxyx00dede22;)de(202 Rxx R00ded22 );e1(42R );e1(422R SyxyxIdde22又又因因?yàn)闉?122dde1DyxyxI 222dde 2DyxyxI同同理理編輯ppt14,41 I,42 I),(4 nI所所以以根根據(jù)據(jù)夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則, 21III 因因?yàn)闉?;e1(4)de()e1(4 222220RRxRx 所所以以 , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) R.4)de( 202 xx即即編輯ppt15.03, 03,4,2:,dd)(22

7、2222所所圍圍成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域計(jì)計(jì)算算 xyyxyyxyyxDyxyxD邊界曲線的極坐標(biāo)方程邊界曲線的極坐標(biāo)方程 sin2222 yyx sin4422 yyx603 yx303 xy Dyxyxdd)(22解解 sin4sin2236dd).32(15 例例4 4編輯ppt16. 41:,dd)sin(222222 yxDyxyxyxD求求解解 1dd)sin(4dd)sin(22222222DDyxyxyxyxyxyx dsind42120 1D. 4 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱, ,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱軸對(duì)稱. .例例5 5編輯ppt17.)

8、(2)(222222222所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積和和求由曲線求由曲線ayxyxayx .4 1DDSS 根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性 2cos2)(2)(222222ayxayx aayx 222).6,( 2cos2aaa得交點(diǎn)得交點(diǎn) 1D例例6 6解解編輯ppt18 1dd4ddDDyxyxS 2cos260dd4aa).33(2 a編輯ppt19.)0(24222222部分立體的體積部分立體的體積的那的那所截得的含在圓柱面內(nèi)所截得的含在圓柱面內(nèi)被圓柱面被圓柱面計(jì)算一個(gè)球體計(jì)算一個(gè)球體 aaxyxazyx例例7 7編輯ppt20,20,cos20: aD DyxyxaVdd44222

9、 cos202220d4d4aa).322(3323 a解解xyOa2Daxyx222 編輯ppt21.4)()2()(2)()1(:,dd22222222xyyxyxyxDyxxyID 雙紐線所圍成雙紐線所圍成由下列由下列其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域計(jì)算計(jì)算,2cos2)1(2 雙雙紐紐線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為.見圖見圖其所圍區(qū)域其所圍區(qū)域 D,是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于而而被被積積函函數(shù)數(shù)軸軸對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于由由于于積積分分區(qū)區(qū)域域yxyxD. 0dd Dyxxy故故xyO例例8 8解解編輯ppt22,2sin2)2(2 雙雙紐紐線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為.見圖見圖其所圍區(qū)域其所圍區(qū)域 D,關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱由由于于積積分分區(qū)區(qū)域域D滿滿足足而而被被積積函函數(shù)數(shù)xyyxf