07-08(1)-07級-矩陣論試題與答案

1、參考答案-1 O 1一(20分設矩陣A= 12 0,-4 0 3(1)求A的初等因子組：(2)求A的JOrdan標準形丿；(3)求可逆矩陣P使得P-XAP=JX(4)求卅。答案：'2 + 1 0(1) = 1 2L 40-102-3=(2 2) +1142-3=(-2)(-I)2觀察得，D1 =I9D2 =1,D3 = (-2)(-1)2因此，初等因子組為(2-l)2,(2-2)1 1 '(2) J= 125分10分(3)設P = ara2,a3,由 PAP = J ,得由(1), (Z-A)1=0,解得q ='2O-'1O-.05'其中I-A=一1-1

2、OO10.54O-2OOOO由(2) (/ A)Ct2 = 解得 a? = 11'20-1-10-0.5-0.5'其中/ A, -Cti =-1-101010.5-0.540-2-20000O由(3) (27 - A)a3 = 0 ,解得巾=10'3 0 -'1 0 0'其中21-A =-10 0>0 0 140-10 0 0-J'100"'10 0_P =-1-11尸=-20 115分_ 21011 1_'1k0"-2k + 0k '(4)Jk=010= PJkP-I =2k + -2k2-/:

3、-1 + 2A20分002A_-4k02k + 二（20分）設微分方程組d XL=AXd/31-11其中A =-202,¾ =1無(0) = Xo-1-131（1）求A的最小多項式IHa（A） :（2）求£加；（3）求該方程組的解。10分答案(1) -A = (2-2) mA(A) = (-2)2(2)設 f(z) = ez, =mAg(z) + +加, 由 /(2) = a + 2b = e2f(2) = b = te2f,解得探1探a=e2x(l-2t)9b = te13分因此f(A) = eAt =al +b = e2l(-2t)I + te2tA1 + rt一/-I

4、tl-2r 2t-tT 1+r15分(3)解x(t) = e%= e2t(1 + M-2M-Or20分三（1（）分）設A是”階Hermite正左矩陣，左義=（xwAx）l VXeCW試證上述函數(shù)是向量范數(shù)。答案:因為A是Hennite正左矩陣，故存在可逆矩陣0,使得A = QHQ制a =(x,Av)2 = (XTQIQX =(QY)")尸=v2 所以,由已知結論， =(xwA)是向量范數(shù)。10分四（10分）判別矩陣級數(shù)E丄6_4_"33 £6 .的收斂性，若收斂，求英和答案:考慮其收斂半徑R = I,-）矩陣A =1一6 43131一6的半徑P(A) =-<

5、R.600故工屮-o（絕對）收斂,探2探fAi=(-A)-=-0-53 一8-2510分五（20分）設矛盾方程組Ax = b ,其中（1）求A的滿秩分解A = FGX（2）由上而分解來計算A*：（3）寫出該方程組最小二乘解的通解表達式,并求出極小范數(shù)最小二乘解XLS-'2411''3A =12-12,b =0-1-2-213探4探(2)A+=G (GG Yi (F FY FT =£241112-56-1-2-6512分(3)X = AF+ (/-心)八 yeR4i意16分=A*b =1112-520分答案:'241"1201 (1) A =1

6、2-12001-1-1-2-210000'2 1 -1 2 0 1 "1 -1,G =OOl-I-1 _2F =六（1（）分）利用GCrSChgOrin圓盤左理證明矩陣A =22334124341nn+ 1(" + I)?11F2,l2233心634一1n 2n+ 1)3（!）能與對角矩陣相似:（2）特征值全為實數(shù)。LkI = 1 伙 + 1)Z伙+ 1)-<1答案(1) /?, =+一-一川 6 k + 伙+ 1)】G*互不交，說明A有n個不同的特征值，從而可對角化5分（2） G女關于實軸對稱，如果A有復特征值必成對共輒出現(xiàn)，而GA中只有一個特征值，所以必為實數(shù)。10分七(10 分)設 r,xrank() = H,并有 QR 分解:A = QmRW = nn°tm-n×n其中u =q”x”，0咖”i是正交矩陣，RM是非奇異上三角矩陣。利用2-范數(shù)的正交（酉）不變性，即7-A =t7（2-A-）