第二章有限差分法初步

1、一、差商與微商一、差商與微商 第二章：第二章：有限差分法初步有限差分法初步1 有限差分法基本概念有限差分法基本概念（i）、有限差分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是用）、有限差分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是用差商差商代替代替微商微商。 有如下兩種數(shù)學(xué)形式：有如下兩種數(shù)學(xué)形式： （i）微商微商（導(dǎo)數(shù)）的定義（導(dǎo)數(shù)）的定義)(xT是連續(xù)函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)為：是連續(xù)函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)為：若若xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(lim（2.1）式（式（2.1）右邊）右邊xT是有限的是有限的差商差商。 x與與T都不為零，都不為零， 而式（而式（2.1）左邊）左邊 dxdT是是 xT當(dāng)當(dāng) x趨于零時(shí)極限情形下的差商，稱之趨于零時(shí)極限情形

2、下的差商，稱之微商微商。 在在x沒(méi)有到達(dá)零之前，沒(méi)有到達(dá)零之前， xT只是只是 dxdT的近似。的近似。 xT趨于趨于dxdT的過(guò)程認(rèn)為是的過(guò)程認(rèn)為是近似近似向向精確精確過(guò)渡，過(guò)渡， 用用xT代替代替dxdT就是就是精確精確向向近似近似過(guò)渡過(guò)渡。 兩者的差值兩者的差值dxdTxT表示表示差商差商代替代替微商微商的的偏差偏差。 （ii）偏差偏差-Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)展開(kāi)222! 2)()()(dxTdxdxdTxxTxxTnnndxTdnx!)(（2.2） 稍加整理后可寫(xiě)成：稍加整理后可寫(xiě)成：22! 2)()(dxTdxdxdTxxTxxTxTnnndxTdnx!)(1（2.3） xT可見(jiàn)可

3、見(jiàn) 與與 只能是近似相等。只能是近似相等。 dxdT偏差偏差為：為：)(0 x（iii）微商與差商的幾何意義）微商與差商的幾何意義 xx+xx-xT(x+x)T(x-x)T(x)T(x+x)-T(x-x)2xT(x+x)-T(x)xT(x)-T(x-x)xdT(x)dx圖圖2-1 差商與微商的比較差商與微商的比較圖圖2.1表示了差商與微商之間的關(guān)系。應(yīng)當(dāng)指表示了差商與微商之間的關(guān)系。應(yīng)當(dāng)指出，用不同方法得到的差商去代替微商，它們出，用不同方法得到的差商去代替微商，它們帶來(lái)的偏差是不同的。帶來(lái)的偏差是不同的。向向右右（前）差商：（前）差商：（iV）差商的幾種表示）差商的幾種表示 xxTxxTdx

4、dT)()(（2.4） 向向左左（后）差商：（后）差商：xxxTxTdxdT)()(（2.5） 中心差商中心差商，取向右差商與向左差商的平均值：，取向右差商與向左差商的平均值：xxxTxTxxTxxTdxdT)()()()(21xxxTxxT2)()(（2.6） 偏差分析：偏差分析： 將將Taylor級(jí)數(shù)寫(xiě)成：級(jí)數(shù)寫(xiě)成：)(2)()()()(2xTxxTxxTxxT （2.7） Taylor級(jí)數(shù)還可寫(xiě)成：級(jí)數(shù)還可寫(xiě)成：)()(! 3)(43xOxTx （2.8） )()(! 3)(43xOxTx )(! 2)()()()(2xTxxTxxTxxT 由式（由式（2.7）可得）可得)(! 2)()

5、()(xTxxTxxTxxT )( xO 由式（由式（2.8）可得）可得)(! 2)()()(xTxxTxxxTxT （2.9） )( xO （2.10） （2.9）+（2.10），得到），得到)(! 3)()(2)()(2xTxxTxxxTxxT 2)( xO （2.11） 比較式（比較式（2.9）、（）、（2.10）、（）、（2.11）可看到，用不）可看到，用不同的差商形式去代替微商，所帶來(lái)的偏差是不同的。同的差商形式去代替微商，所帶來(lái)的偏差是不同的。這些這些偏差偏差都是截去了都是截去了Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的高階項(xiàng)而級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的高階項(xiàng)而引起的，常稱引起的，常稱“截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差”。

6、用向右差商與向左差商代替微商，其截?cái)嗾`差為與用向右差商與向左差商代替微商，其截?cái)嗾`差為與 x同量級(jí)的小量同量級(jí)的小量 ；)( xO 2)( x同量級(jí)的小量；同量級(jí)的小量； 中心差商的截?cái)嗾`差小于向右差商或向左差商。中心差商的截?cái)嗾`差小于向右差商或向左差商。 而用中心差商代替微商，其截?cái)嗾`差是與而用中心差商代替微商，其截?cái)嗾`差是與 討論：討論：上述一階差商一般仍是上述一階差商一般仍是x的函數(shù)，對(duì)它們還可以的函數(shù)，對(duì)它們還可以求差商。這種求差商。這種一階差商的差商一階差商的差商稱為稱為二階差商二階差商，它是二階微商的近似，常用向右差商的向左差它是二階微商的近似，常用向右差商的向左差商來(lái)近似二階微商

7、，即：商來(lái)近似二階微商，即：xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()()(2)(xxxTxTxxT（V）二階差商二階差商根據(jù)式（根據(jù)式（2.7）+（2.8），可得），可得)()()()(2)(2xTxxxTxTxxT 2)( xO （2.12） 由式（由式（2.12）知，二階差商的截?cái)嗾`差也為與）知，二階差商的截?cái)嗾`差也為與 同階的小量。同階的小量。 2)( xn結(jié)論：結(jié)論： 由于用差商代替微商必然帶來(lái)截?cái)嗾`差，相應(yīng)地用由于用差商代替微商必然帶來(lái)截?cái)嗾`差，相應(yīng)地用差分方程代替微分方程也必然帶來(lái)截?cái)嗾`差。這是差分方程代替微分方程也必然帶來(lái)截?cái)嗾`差。這是有限差分法固有的。因此

8、，在應(yīng)用有限差分法進(jìn)行有限差分法固有的。因此，在應(yīng)用有限差分法進(jìn)行數(shù)值解時(shí)，必須對(duì)差分的構(gòu)成及其對(duì)方程造成的誤數(shù)值解時(shí)，必須對(duì)差分的構(gòu)成及其對(duì)方程造成的誤差引起注意。差引起注意。 二、從微分形式出發(fā)的差分格式二、從微分形式出發(fā)的差分格式n圖圖2.2給出了一個(gè)簡(jiǎn)單邊界值問(wèn)題。給出了一個(gè)簡(jiǎn)單邊界值問(wèn)題。 (i, j)(i+1, j)(i-1, j)(i, j-1)(i, j+1).qTwThxyL1L2圖圖2.2 矩形區(qū)域離散化矩形區(qū)域離散化問(wèn)題是求圖問(wèn)題是求圖2.2所示的邊值問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)所示的邊值問(wèn)題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)如下，方程：如下，方程：02222 kqyTxT（2.13） n邊界條件

9、：邊界條件：0 x20Ly )(TThxTk0y10Lx qyTk 1Lx 20Ly 0 xT2Ly 10Lx wTT （2.14） （2.15） （2.15） （2.16） 式（式（2.13）、（）、（2.14）、（）、（2.15）、（）、（2.16） 所示所示定解問(wèn)題定解問(wèn)題解法。解法。 在問(wèn)題的提法已經(jīng)明白之后，差分在問(wèn)題的提法已經(jīng)明白之后，差分格式的構(gòu)成可通過(guò)以下幾步來(lái)實(shí)現(xiàn)：格式的構(gòu)成可通過(guò)以下幾步來(lái)實(shí)現(xiàn)： （i） 區(qū)域離散法區(qū)域離散法下面分別予以說(shuō)明下面分別予以說(shuō)明: （vi） 構(gòu)成差分格式構(gòu)成差分格式（ii） 建立區(qū)域內(nèi)差分方程建立區(qū)域內(nèi)差分方程（iii） 邊界條件的差分形式邊界條

10、件的差分形式 1區(qū)域離散化區(qū)域離散化 所謂離散化，就是把幾何上連續(xù)的區(qū)域用一系列所謂離散化，就是把幾何上連續(xù)的區(qū)域用一系列網(wǎng)格線把它劃分開(kāi)。一般說(shuō)來(lái)，網(wǎng)格形式應(yīng)視幾何網(wǎng)格線把它劃分開(kāi)。一般說(shuō)來(lái)，網(wǎng)格形式應(yīng)視幾何區(qū)域的不同而不同，對(duì)于矩形區(qū)域而言，用矩形的區(qū)域的不同而不同，對(duì)于矩形區(qū)域而言，用矩形的網(wǎng)格，如圖網(wǎng)格，如圖2.2，用五條水平網(wǎng)線與五條垂直網(wǎng)線，用五條水平網(wǎng)線與五條垂直網(wǎng)線把矩形區(qū)域離散掉。網(wǎng)線與網(wǎng)線的交點(diǎn)稱之為把矩形區(qū)域離散掉。網(wǎng)線與網(wǎng)線的交點(diǎn)稱之為“節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)”，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的距離稱之為，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的距離稱之為步長(zhǎng)步長(zhǎng)，x方向的步方向的步長(zhǎng)表示為長(zhǎng)表示為 ，y方向的步長(zhǎng)表示為方向的步長(zhǎng)

11、表示為 。xy 節(jié)點(diǎn)編號(hào)：節(jié)點(diǎn)編號(hào)：為便于計(jì)算，需對(duì)節(jié)點(diǎn)逐個(gè)編號(hào)。為便于計(jì)算，需對(duì)節(jié)點(diǎn)逐個(gè)編號(hào)。常用（常用（i，j） 表示節(jié)點(diǎn)位置，其中，表示節(jié)點(diǎn)位置，其中，i、j是是與網(wǎng)線相對(duì)應(yīng)的正整數(shù)。與網(wǎng)線相對(duì)應(yīng)的正整數(shù)。i，j 的排列：的排列：可有不同的方式?？捎胁煌姆绞健Ａ?xí)慣上，與習(xí)慣上，與x、y 軸相一致，軸相一致，i 由左而右逐個(gè)增長(zhǎng)，由左而右逐個(gè)增長(zhǎng)，j 由下而上逐個(gè)增長(zhǎng)。由下而上逐個(gè)增長(zhǎng)。但也有，考慮到與矩陣的格式相一致，但也有，考慮到與矩陣的格式相一致， i 表示行數(shù)，表示行數(shù)，由上而下逐個(gè)增長(zhǎng)，由上而下逐個(gè)增長(zhǎng)，j 表示列數(shù)，由左而右逐個(gè)增長(zhǎng)。表示列數(shù)，由左而右逐個(gè)增長(zhǎng)。這種從上到下，

12、從左到右的編排與一般書(shū)寫(xiě)這種從上到下，從左到右的編排與一般書(shū)寫(xiě)習(xí)慣也是一致的，因此，在計(jì)算機(jī)上算題也常被采用。習(xí)慣也是一致的，因此，在計(jì)算機(jī)上算題也常被采用。在本章中，大都采用與坐標(biāo)相一致的編排方法。在本章中，大都采用與坐標(biāo)相一致的編排方法。n在區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)稱在區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)稱“內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)”，在邊界上的，在邊界上的節(jié)點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)稱“邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)”。圖。圖2.2所示邊界是規(guī)所示邊界是規(guī)則的則的,則節(jié)點(diǎn)或在區(qū)域內(nèi)，或正好落在邊界上。則節(jié)點(diǎn)或在區(qū)域內(nèi)，或正好落在邊界上。xy 步長(zhǎng)步長(zhǎng) 或或 可以是不變的常量，即可以是不變的常量，即等步長(zhǎng)等步長(zhǎng)，也可以，也可以 在區(qū)域內(nèi)的不同處是不同的，即在區(qū)域內(nèi)的不

13、同處是不同的，即變步長(zhǎng)變步長(zhǎng)。如果區(qū)域。如果區(qū)域 內(nèi)各處的溫度梯度變化很大，則在溫度變化劇烈處，內(nèi)各處的溫度梯度變化很大，則在溫度變化劇烈處， 網(wǎng)格布得密些；在溫度變化不劇烈處，網(wǎng)格布得疏網(wǎng)格布得密些；在溫度變化不劇烈處，網(wǎng)格布得疏 些。至于網(wǎng)格布置多少，步長(zhǎng)取多大為宜，要根據(jù)些。至于網(wǎng)格布置多少，步長(zhǎng)取多大為宜，要根據(jù) 具體問(wèn)題，兼顧到計(jì)算的精確度與計(jì)算的工作量等具體問(wèn)題，兼顧到計(jì)算的精確度與計(jì)算的工作量等 因素而定。因素而定。步長(zhǎng)步長(zhǎng):n從物理方面對(duì)區(qū)域離散化可作這樣的理解，即從物理方面對(duì)區(qū)域離散化可作這樣的理解，即認(rèn)為區(qū)域內(nèi)離散的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，都集中著它周圍認(rèn)為區(qū)域內(nèi)離散的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，都集中著

14、它周圍區(qū)域（尺度為步長(zhǎng)）的熱容，或者說(shuō)，區(qū)域內(nèi)區(qū)域（尺度為步長(zhǎng)）的熱容，或者說(shuō)，區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的熱容都被分別地集中到離散的節(jié)點(diǎn)連續(xù)分布的熱容都被分別地集中到離散的節(jié)點(diǎn)上去了。這樣，節(jié)點(diǎn)的溫度代表著它周圍區(qū)域上去了。這樣，節(jié)點(diǎn)的溫度代表著它周圍區(qū)域的某種平均溫度。一系列離散的節(jié)點(diǎn)溫度值代的某種平均溫度。一系列離散的節(jié)點(diǎn)溫度值代表著連續(xù)區(qū)域內(nèi)的溫度分布。表著連續(xù)區(qū)域內(nèi)的溫度分布。 jiT,區(qū)域離散化物理理解區(qū)域離散化物理理解:節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（i，j）處的溫度表示成）處的溫度表示成 。 2差分方程代替微分方程差分方程代替微分方程 在上節(jié)我們已對(duì)有限差分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作了簡(jiǎn)要在上節(jié)我們已對(duì)有限差分法的數(shù)學(xué)基

15、礎(chǔ)作了簡(jiǎn)要 的介紹，說(shuō)明了如何用差商代替微商，以及由此的介紹，說(shuō)明了如何用差商代替微商，以及由此帶來(lái)的誤差。這里介紹用差商代替微商的辦法來(lái)帶來(lái)的誤差。這里介紹用差商代替微商的辦法來(lái)處理導(dǎo)熱方程（處理導(dǎo)熱方程（2.13），得到相應(yīng)的），得到相應(yīng)的差分方程差分方程。 方程（方程（2.13） 02222 kqyTxT對(duì)區(qū)域內(nèi)各個(gè)點(diǎn)都成立的，當(dāng)然對(duì)任意一個(gè)內(nèi)節(jié)對(duì)區(qū)域內(nèi)各個(gè)點(diǎn)都成立的，當(dāng)然對(duì)任意一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)（點(diǎn)（i，j）也成立。）也成立。 或者說(shuō)，在（或者說(shuō)，在（i，j）處存在二階偏微商）處存在二階偏微商 與與 ，這些二階偏微商所對(duì)應(yīng)的差商可表示成：，這些二階偏微商所對(duì)應(yīng)的差商可表示成：jixT,22ji

16、yT,222,1,122)(2xTT,TxTjijiji,ji)(2xO i=2，3，4；j=2，3，4（2.17） 21,122)(2yTT,TyTjijiji,ji)(2yO （2.18） i=2，3，4；j=2，3，4其中，其中， 與與 表示相應(yīng)的表示相應(yīng)的二階差商二階差商與與二階偏微商二階偏微商的差別為的差別為 與與 的數(shù)量級(jí)。的數(shù)量級(jí)。)(2xO )(2yO 2)( x2)( y將式（將式（2.17）與（）與（2.18）代入方程（）代入方程（2.13），得），得21,1,2, 1, 1)(2)(2yTTTxTTTjijijijijiji0)()(22 yxOkq（2.19） 式（式（

17、2.19）中去掉）中去掉 項(xiàng)，得到項(xiàng)，得到)()(22yxO21,1,2, 1, 1)(2)(2yTTTxTTTjijijijijiji0 kq（2.20） i=2，3，4；j=2，3，4式（式（2.20）被稱為對(duì)應(yīng)于方程（）被稱為對(duì)應(yīng)于方程（2.13）的的差分方程差分方程。方程（。方程（2.20）被改寫(xiě)成：）被改寫(xiě)成：1,2, 12,22)(1)(1)(2)(2jijijiTxTxTyxkqTyTyjiji 1,21,2)(1)(1（2.21） 若若 ， ，則式（，則式（2.21）又被）又被改寫(xiě)成：改寫(xiě)成： yx0q 041,1, 1, 1,jijijijijiTTTTT或或)(411,1,

18、 1, 1,jijijijijiTTTTT （2.22） 物理意義：物理意義：一點(diǎn)（一點(diǎn)（i, j）處的溫度是它周圍）處的溫度是它周圍4點(diǎn)溫度的平均值。點(diǎn)溫度的平均值。)()(22yxO)()(22yxO由于差分方程（由于差分方程（2.20）是從式（）是從式（2.19）中）中去掉項(xiàng)去掉項(xiàng) 得來(lái)的，稱去掉得來(lái)的，稱去掉的項(xiàng)的項(xiàng) 為差分方程（為差分方程（2.19）的）的截?cái)嗾`差。當(dāng)截?cái)嗾`差。當(dāng) 與與 趨于零時(shí)，差分方程趨于零時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差也趨于零，即差分方程逼近微的截?cái)嗾`差也趨于零，即差分方程逼近微分方程。我們稱這種逼近的差分方程與相分方程。我們稱這種逼近的差分方程與相應(yīng)的微分方程為應(yīng)的微

19、分方程為“相容相容”。 xy3邊界條件的差分形式邊界條件的差分形式對(duì)流換熱邊界條件：對(duì)流換熱邊界條件：20, 0)(LyxTThxTk（2.14） -用用T 對(duì)對(duì) x 的向前差商代替式（的向前差商代替式（2.14）中的）中的 T 對(duì)對(duì) x 的一階偏微商，使式（的一階偏微商，使式（2.14）變）變 成為如下差分形式成為如下差分形式 ：這里介紹用這里介紹用差商代替微商差商代替微商的辦法把定解問(wèn)題中的辦法把定解問(wèn)題中的各種的各種邊界條件邊界條件表示成表示成差分差分的形式的形式.)(, 1TThxTTkjijijiTkxhTTkxhjiji, 1,1或或 （2.23） i=1；j=2，3，4熱流邊界條

20、件：熱流邊界條件：10, 0LxyqyTk （2.15） 用用T 對(duì)對(duì) y 的的向前差商向前差商代替式（代替式（2.15）中）中T 對(duì)對(duì) y的一階偏微商，使式（的一階偏微商，使式（2.15）變成為如下差分）變成為如下差分形式形式: qyTTkjiji ,1,kyqTTjiji 1,i=1，2，3，4，5；j=1 （2.24） 或或絕熱邊界條件：絕熱邊界條件： 2Ly0Lx0 xT，變成為：變成為：0TTj1iji ,i=5；j=2，3，4 （2.25） （2.16） 給定溫度邊界條件：給定溫度邊界條件：wjiTT ,i=1，2，3，4，5；j=5 （2.26） 至此，我們對(duì)至此，我們對(duì)全部節(jié)點(diǎn)

21、全部節(jié)點(diǎn)，包括，包括內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)與與邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)，都用差分形式代替了原來(lái)的函數(shù)形式。對(duì)于內(nèi)節(jié)都用差分形式代替了原來(lái)的函數(shù)形式。對(duì)于內(nèi)節(jié)點(diǎn)上差分形式，我們通稱差分方程，因?yàn)閮?nèi)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上差分形式，我們通稱差分方程，因?yàn)閮?nèi)節(jié)點(diǎn)上溫度都是未知的。對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)的差分形式，上溫度都是未知的。對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)的差分形式，在邊界節(jié)點(diǎn)的溫度為未知量時(shí)，它是差分方程。在邊界節(jié)點(diǎn)的溫度為未知量時(shí)，它是差分方程。而對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)為給定的溫度時(shí)，得到的就不是而對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)為給定的溫度時(shí)，得到的就不是差分方程了。但在實(shí)際應(yīng)用中，人們往往習(xí)慣地差分方程了。但在實(shí)際應(yīng)用中，人們往往習(xí)慣地把由內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)建立起來(lái)的差分形式，都

22、把由內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)建立起來(lái)的差分形式，都統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為差分方程差分方程。籠統(tǒng)地講，?；\統(tǒng)地講，一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)差分方程。差分方程。在邊界節(jié)點(diǎn)的處理方面還有幾點(diǎn)需要在邊界節(jié)點(diǎn)的處理方面還有幾點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)： （i） 每一邊界節(jié)點(diǎn)只應(yīng)屬于一種邊界條件。如圖每一邊界節(jié)點(diǎn)只應(yīng)屬于一種邊界條件。如圖2.2 中，中，i=1，j=5的節(jié)點(diǎn)只屬于邊界條件式（的節(jié)點(diǎn)只屬于邊界條件式（2.16）。）。 （iii）若邊界節(jié)點(diǎn)不正好落在區(qū)域的邊界）若邊界節(jié)點(diǎn)不正好落在區(qū)域的邊界 上，則需對(duì)它們進(jìn)行特殊處理。上，則需對(duì)它們進(jìn)行特殊處理。 （ii）對(duì)應(yīng)不同邊界的差分方程式（）對(duì)應(yīng)不同邊界的差分方程式（2.

23、23）、）、2.24）、）、 （2.25）都是用一階向前差商代替一階微商得到的，）都是用一階向前差商代替一階微商得到的， 也即它們的截?cái)嗾`差為也即它們的截?cái)嗾`差為)( xO 或或)( yO 量級(jí)，與內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程的截?cái)嗾`差相比，量級(jí)，與內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程的截?cái)嗾`差相比，低了一個(gè)量級(jí)。這一點(diǎn)也是從微分形式出發(fā)低了一個(gè)量級(jí)。這一點(diǎn)也是從微分形式出發(fā)建立差分格式的建立差分格式的弱點(diǎn)弱點(diǎn)。 4差分格式的構(gòu)成差分格式的構(gòu)成由于式（由于式（2.13）、（）、（2.14）、（）、（2.15）、）、（2.16）、（）、（2.17）所表示的方程式與邊界條件）所表示的方程式與邊界條件都是線性的，由此而得到的內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊

24、界節(jié)點(diǎn)的差都是線性的，由此而得到的內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程也都是分方程也都是線性代數(shù)方程線性代數(shù)方程。由全部節(jié)點(diǎn)的差分方。由全部節(jié)點(diǎn)的差分方程構(gòu)成一個(gè)程構(gòu)成一個(gè)線性代數(shù)方程組線性代數(shù)方程組。在這個(gè)方程組里，。在這個(gè)方程組里，方方程式的個(gè)數(shù)等于節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)程式的個(gè)數(shù)等于節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。針對(duì)前面討論的例子，。針對(duì)前面討論的例子，我們可以看到，這個(gè)有我們可以看到，這個(gè)有25個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的方程組，個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的方程組，只需要只需要5個(gè)式子，即式（個(gè)式子，即式（2.21）、（）、（2.23）、）、（2.24）、（）、（2.25）、（）、（2.26）就可表示，這里）就可表示，這里每個(gè)式子都表示幾個(gè)節(jié)點(diǎn)方程。每

25、個(gè)式子都表示幾個(gè)節(jié)點(diǎn)方程。 n也就是說(shuō)，在組成方程組時(shí)，不必把每個(gè)節(jié)點(diǎn)也就是說(shuō)，在組成方程組時(shí)，不必把每個(gè)節(jié)點(diǎn)方程都寫(xiě)出來(lái)，而只要寫(xiě)出幾個(gè)規(guī)格化了的方方程都寫(xiě)出來(lái)，而只要寫(xiě)出幾個(gè)規(guī)格化了的方程就可以了。因此，人們把規(guī)格化了的，由內(nèi)程就可以了。因此，人們把規(guī)格化了的，由內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)全部差分方程所構(gòu)成的線性代節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)全部差分方程所構(gòu)成的線性代數(shù)方程組，稱之為數(shù)方程組，稱之為“差分格式差分格式”。 一般地說(shuō)，差分格式被寫(xiě)成如下的形式：一般地說(shuō)，差分格式被寫(xiě)成如下的形式： nnnnnnnnnnbTTTbTTTbTTT22112222212111212111（2.27） ija其中，其中，n是

26、節(jié)點(diǎn)數(shù)，也即方程個(gè)數(shù)，每個(gè)方是節(jié)點(diǎn)數(shù)，也即方程個(gè)數(shù)，每個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)。程對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)。 和和bi（i=1，2，n；j=1，2，n）都是常數(shù)）都是常數(shù) ，ija方程組（方程組（2.27）可被進(jìn)一步寫(xiě)成矩陣的形式）可被進(jìn)一步寫(xiě)成矩陣的形式 : IIBTA（2.28） nnnnnnnITTTTA21212222111211nIbbbB21其中其中n如果在方程組中去掉其中已知溫度節(jié)點(diǎn)的那如果在方程組中去掉其中已知溫度節(jié)點(diǎn)的那些方程，由此構(gòu)成的線性代數(shù)方程組中，方些方程，由此構(gòu)成的線性代數(shù)方程組中，方程的個(gè)數(shù)等于溫度未知的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，也即方程的個(gè)數(shù)等于溫度未知的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，也即方程組的未知數(shù)。這樣的方程

27、組也是差分格式。程組的未知數(shù)。這樣的方程組也是差分格式。也可寫(xiě)成式（也可寫(xiě)成式（2.28）。）。n綜上所述，用有限差分法對(duì)式（綜上所述，用有限差分法對(duì)式（2.13）、）、（2.14）、（）、（2.15）、（）、（2.16）、（）、（2.17）所）所組成的邊值問(wèn)題的數(shù)值處理，組成的邊值問(wèn)題的數(shù)值處理，最終歸結(jié)成求解線最終歸結(jié)成求解線性代數(shù)方程組（性代數(shù)方程組（2.28），方程組的解即各節(jié)點(diǎn)的，方程組的解即各節(jié)點(diǎn)的溫度。如果整個(gè)區(qū)域的節(jié)點(diǎn)足夠多，那么，離散溫度。如果整個(gè)區(qū)域的節(jié)點(diǎn)足夠多，那么，離散節(jié)點(diǎn)的溫度分布就近似代替了區(qū)域內(nèi)的連續(xù)溫度節(jié)點(diǎn)的溫度分布就近似代替了區(qū)域內(nèi)的連續(xù)溫度分布。分布。n為便

28、于討論各種差分格式的優(yōu)缺點(diǎn)，最好為便于討論各種差分格式的優(yōu)缺點(diǎn)，最好把方程組（把方程組（2.28）中系數(shù)矩陣具體地寫(xiě)出）中系數(shù)矩陣具體地寫(xiě)出來(lái)。但當(dāng)我們著手書(shū)寫(xiě)由式（來(lái)。但當(dāng)我們著手書(shū)寫(xiě)由式（2.21）、）、（2.23）、（）、（2.24）、（）、（2.25）、）、（2.26）組成的代數(shù)方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)它所）組成的代數(shù)方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)它所占的版面太大，造成印刷的困難。占的版面太大，造成印刷的困難。n所以，為便于書(shū)寫(xiě)，采用圖所以，為便于書(shū)寫(xiě)，采用圖2.3所示的網(wǎng)格所示的網(wǎng)格 (2, 3).qTwThxyL1L2(1, 3)(3, 3)(2, 2)(3, 2)(1, 2)(2, 1)(3, 1)(1,

29、 1)并假定并假定 ckyqbkxhakxqyx ,)(, 12n得到由全部節(jié)點(diǎn)組成的線性代數(shù)方程組為：得到由全部節(jié)點(diǎn)組成的線性代數(shù)方程組為：cTTcTTcTTTTaTTTTTbTTTbTTTTTTwww1 , 32, 31 , 22, 21 , 12, 12, 32, 21 , 22, 32, 22, 13 , 22, 22, 13 , 33 , 23 , 104)1 (（2.29）n表示成矩陣形式：表示成矩陣形式：1 , 31 , 21 , 12, 32, 22, 13 , 33 , 231111111111141111111TTTTTTTTTbIcccabTTTTwww0（2.30） n

30、式（式（2.29）或（）或（2.30）構(gòu)成差分格式。若在方程）構(gòu)成差分格式。若在方程組中去掉已知溫度節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方程，即第組中去掉已知溫度節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方程，即第1至第至第3個(gè)方程，則式（個(gè)方程，則式（4.2.24）被改寫(xiě)成：）被改寫(xiě)成： cccTabTTTTTTTbw0111111111141111 , 31 , 21 , 12, 32, 22, 1（2.31） n將式（將式（2.31）與式（）與式（4.2.28）進(jìn)行對(duì)照，）進(jìn)行對(duì)照，即可得到矩陣即可得到矩陣 、 、 的各個(gè)元素。的各個(gè)元素。 這里特別提醒讀者注意，在式（這里特別提醒讀者注意，在式（2.31）與）與（2.28）中溫度）中溫度T

31、下角碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在討下角碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在討論二維穩(wěn)定導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)，人們習(xí)慣用二個(gè)論二維穩(wěn)定導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)，人們習(xí)慣用二個(gè)角碼（角碼（i，j）來(lái)表示節(jié)點(diǎn)位置及對(duì)應(yīng)的曾）來(lái)表示節(jié)點(diǎn)位置及對(duì)應(yīng)的曾度度 。IA TIBjiT, （二）解線性代數(shù)方程組的直接法（二）解線性代數(shù)方程組的直接法n這里介紹計(jì)算機(jī)上常用的解線性代數(shù)方程這里介紹計(jì)算機(jī)上常用的解線性代數(shù)方程組的直接法。組的直接法。n大家知道，線性方程組大家知道，線性方程組 BTA（2.32） 中只要矩陣的行列式中只要矩陣的行列式 ，方程組，方程組（2.32）就有唯一解，其表達(dá)式為）就有唯一解，其表達(dá)式為:0detAnjAATjj, 2 , 1det/d

32、et（2.33） 其中其中 為用右端向量為用右端向量 替換行列式替換行列式 的第的第j列而得的，這一公式為著名的列而得的，這一公式為著名的Carmer法則。法則。 jAdet BAdetn顯然，按顯然，按Cramer法則求解方程組（法則求解方程組（2.32）需要）需要計(jì)算計(jì)算n+1個(gè)個(gè)n階行列式。每個(gè)階行列式。每個(gè)n階行列式按直接展階行列式按直接展開(kāi)辦法來(lái)算，需作（開(kāi)辦法來(lái)算，需作（n-1）n！次乘法和！次乘法和n!次加次加法運(yùn)算。當(dāng)法運(yùn)算。當(dāng)n=30時(shí)，共約需完成時(shí)，共約需完成 次乘法和加次乘法和加法運(yùn)算，這是一個(gè)十分驚人的數(shù)字，即使在一臺(tái)法運(yùn)算，這是一個(gè)十分驚人的數(shù)字，即使在一臺(tái)每秒作一億

33、次運(yùn)算的計(jì)算機(jī)上完成這一計(jì)算也是每秒作一億次運(yùn)算的計(jì)算機(jī)上完成這一計(jì)算也是不可能的。所以，盡管這種辦法也是一種直接法，不可能的。所以，盡管這種辦法也是一種直接法，并且理論上可行，但實(shí)際上是無(wú)法進(jìn)行求解的。并且理論上可行，但實(shí)際上是無(wú)法進(jìn)行求解的。即使采用其它辦法來(lái)計(jì)算行列式，按即使采用其它辦法來(lái)計(jì)算行列式，按Cramer法法則求解的工作量也比通常的直接法大得多。因而，則求解的工作量也比通常的直接法大得多。因而，Cramer法則對(duì)于數(shù)值計(jì)算來(lái)說(shuō)是沒(méi)有什么用處法則對(duì)于數(shù)值計(jì)算來(lái)說(shuō)是沒(méi)有什么用處的，僅在一些特殊場(chǎng)合才有用。的，僅在一些特殊場(chǎng)合才有用。3310n另外，矩陣求逆也是人們熟悉的求解線性方程

34、另外，矩陣求逆也是人們熟悉的求解線性方程的一種方法。的一種方法。1BAT(2.34) 但求逆矩陣但求逆矩陣 時(shí)，要計(jì)算時(shí)，要計(jì)算 個(gè)個(gè)( n -1)階行列階行列式，和一個(gè)式，和一個(gè)n階行列式，它的計(jì)算工作量也是階行列式，它的計(jì)算工作量也是相當(dāng)可觀的，對(duì)于相當(dāng)可觀的，對(duì)于n較大的情況也沒(méi)有什么現(xiàn)較大的情況也沒(méi)有什么現(xiàn)實(shí)意義。實(shí)意義。2n1An現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上常用的直接解法大多數(shù)是以系數(shù)矩現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上常用的直接解法大多數(shù)是以系數(shù)矩陣的三角形化為基礎(chǔ)的。就是說(shuō)說(shuō)，先對(duì)方程組陣的三角形化為基礎(chǔ)的。就是說(shuō)說(shuō)，先對(duì)方程組進(jìn)行變換，使其化為等價(jià)的（即具有相同解的）進(jìn)行變換，使其化為等價(jià)的（即具有相同解的）三角形

35、方程組。由于三角形方程組的求解十分容三角形方程組。由于三角形方程組的求解十分容易，原方程的求解問(wèn)題即告解決。下面我們簡(jiǎn)要易，原方程的求解問(wèn)題即告解決。下面我們簡(jiǎn)要地討論這一類型的方法。為討論方便起見(jiàn)，我們地討論這一類型的方法。為討論方便起見(jiàn)，我們首先敘述三角形方程的解法，然后敘述將原方程首先敘述三角形方程的解法，然后敘述將原方程化為等價(jià)三角形方程組的方法。由于計(jì)算機(jī)的字化為等價(jià)三角形方程組的方法。由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的，每次運(yùn)算之后還要對(duì)結(jié)果進(jìn)行舍入，長(zhǎng)是有限的，每次運(yùn)算之后還要對(duì)結(jié)果進(jìn)行舍入，所以，雖然理論上直接法在有限步內(nèi)可以得到精所以，雖然理論上直接法在有限步內(nèi)可以得到精確解，但計(jì)算機(jī)

36、上實(shí)際得到的只是近似解。確解，但計(jì)算機(jī)上實(shí)際得到的只是近似解。n1三角形方程組的解法三角形方程組的解法 所謂三解形方程組是指下面兩種形式的方程組所謂三解形方程組是指下面兩種形式的方程組：nnnnnnnbTlTlTlTlbTlTlTlbTlTlbTl332211333323213122221211111(2.35) nnnnnnnnnnnnnnndTudTuTudTuTuTudTuTuTuTu1, 111, 12232222211313212111或或(2.36) 方程組方程組(2.35)叫作叫作下三角形方程組下三角形方程組，方程組，方程組(2.36)叫作叫作上三角形方程組上三角形方程組。 n若

37、用矩陣符號(hào)可分別寫(xiě)為：若用矩陣符號(hào)可分別寫(xiě)為：,DTUBTL其中其中L為方程組為方程組(2.35)的系數(shù)所構(gòu)成的下三的系數(shù)所構(gòu)成的下三角形矩陣，其元素滿足關(guān)系：角形矩陣，其元素滿足關(guān)系：filij 0U為方程組為方程組(2.36)的系數(shù)所構(gòu)成的上三角的系數(shù)所構(gòu)成的上三角形矩陣，其元素滿足關(guān)系：形矩陣，其元素滿足關(guān)系： fiuij 0n三角形方程組的求解是很簡(jiǎn)單的。方程組三角形方程組的求解是很簡(jiǎn)單的。方程組(2.35)的計(jì)算公式可歸結(jié)為：的計(jì)算公式可歸結(jié)為：nilTlTlTlbTlbTiiiiiiiii, 3, 2/ ),(/1122111111(2.37) 這個(gè)計(jì)算過(guò)程通常也只作這個(gè)計(jì)算過(guò)程通

38、常也只作前推前推過(guò)程。過(guò)程。n對(duì)于方程組對(duì)于方程組(2.36)，其計(jì)算公式可歸結(jié)為：，其計(jì)算公式可歸結(jié)為：1 , 2, 1/ ),(/22,11,nniuTuTuTudTudTiinniiiiiiiiinnnn(2.38) 這個(gè)計(jì)算過(guò)程通常也叫作這個(gè)計(jì)算過(guò)程通常也叫作回代方程回代方程。由以上分析可以看到，只要把方程組化成了等由以上分析可以看到，只要把方程組化成了等價(jià)的三角形方程組，求解就容易了。價(jià)的三角形方程組，求解就容易了。 2Gauss消去法消去法 Gauss消去法消去法（簡(jiǎn)稱消去法）的提出已有相當(dāng)長(zhǎng)（簡(jiǎn)稱消去法）的提出已有相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間了，是一種古老的方法。然而，近年來(lái)在的時(shí)間了，是一種古

39、老的方法。然而，近年來(lái)在計(jì)算機(jī)上求解線性代數(shù)方程組的實(shí)踐表明，它仍計(jì)算機(jī)上求解線性代數(shù)方程組的實(shí)踐表明，它仍是直接法中最常用的一種方法，也是最有效的方是直接法中最常用的一種方法，也是最有效的方法之一。其基本思想是，用逐次消去一個(gè)未知數(shù)法之一。其基本思想是，用逐次消去一個(gè)未知數(shù)的辦法把原來(lái)的方程組化為等價(jià)的（具有相同解）的辦法把原來(lái)的方程組化為等價(jià)的（具有相同解）三角形方程組。這樣，求解就很容易了。三角形方程組。這樣，求解就很容易了。n假定把要求的假定把要求的n階線性的方程組階線性的方程組(2.32)改寫(xiě)成如改寫(xiě)成如下形式：下形式： ) 1 () 1 (3) 1 (32) 1 (21) 1 (1

40、) 1 (2) 1 (23) 1 (232) 1 (221) 1 (21) 1 (1) 1 (13) 1 (132) 1 (121) 1 (11nnnnnnnnnnnbTaTaTaTabTaTaTaTabTaTaTaTa(2.39) 用矩陣符號(hào)記為用矩陣符號(hào)記為)1()1(BTAn其中其中 為為 方陣，方陣， 為為 向量，它們向量，它們分別為：分別為：分別從原方程組的第二個(gè)方程減去第一個(gè)方分別從原方程組的第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以程乘以 ，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以乘以 ，如此等等，即可消去后面，如此等等，即可消去后面n-1個(gè)方程中的未知量個(gè)方程中的未知量 。 )

41、 1 (11) 1 (21/aa)1(11)1(31/aa1T)1(Ann)1(B1n) 1 () 1 (2) 1 (1) 1 () 1 () 1 (3) 1 (2) 1 (1) 1 (2) 1 (23) 1 (22) 1 (21) 1 (1) 1 (13) 1 (12) 1 (11) 1 (,nnnnnnnnbbbBaaaaaaaaaaaaAn這時(shí)方程組這時(shí)方程組(2.39)就變?yōu)槿缦碌葍r(jià)方程組：就變?yōu)槿缦碌葍r(jià)方程組： )2()2(3)2(3)2(2)2(3)2(33)2(33)2(32)2(2)2(23)2(23)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (13) 1 (12) 1 (11

42、_0_0_0_0nnnnnnnnnnnnbTaTaabTaTaabTaTaabTaTaaan表示成矩陣形式為：表示成矩陣形式為：)2()2(BTA其中其中)2()2(3)2(2) 1 (1)2()2()2(3)2(2)2(3)2(33)2(23)2(2)2(23)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (12) 1 (11)2(b,000nnnnnnnnbbbBaaaaaaaaaaaaaAn若令若令 ，則系數(shù)，則系數(shù) 和和 的計(jì)的計(jì) 算公式應(yīng)為：算公式應(yīng)為：) 1 (11) 1 (11/aamaii)2(ija)2(ibnjibmbbamaaiiijiijij, 3, 2,) 1 (11)

43、1 ()2() 1 (11) 1 ()2(類似地，分別從上述等價(jià)方程組的第三個(gè)方程減類似地，分別從上述等價(jià)方程組的第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以去第二個(gè)方程乘以 ，第四個(gè)方程減去第，第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以二個(gè)方程乘以 ，如此等等，即可進(jìn)一步，如此等等，即可進(jìn)一步消去后面消去后面n-2個(gè)方程中的未知量個(gè)方程中的未知量T2，而將方程，而將方程(2.39)變?yōu)槿缦碌葍r(jià)形式：變?yōu)槿缦碌葍r(jià)形式： )()(/222232aa)()(/222242aa)3()3(3)3(3)3(44)3(43)3(43)3(33)3(33)3(33)2(2)2(23)2(232)2(22)1(1)1(13)1(132)

44、1(121)1(11nnnnnnnnnnnbTaTabTaTabTaTabTaTaTabTaTaTaTa表示成矩陣形式為：表示成矩陣形式為：)3()3(BTAn其中其中)3()3(4)3(3)2(2) 1 (1)3()3()3(3)3(4)3(43)3(3)3(33)2(2)2(23)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (12) 1 (11)3(,000000nnnnnnnnbbbbbBaaaaaaaaaaaaaA若令若令 ，則系數(shù)，則系數(shù) 和和 的計(jì)算的計(jì)算公式應(yīng)為：公式應(yīng)為：)2(22)2(22/aamii)3(ija)3(ibnjibmbbamaaiiijiijij, 4, 3,)

45、 2(22) 2() 3 () 2(22) 2() 3 (n上述的消去步驟還可以進(jìn)行下去。如此繼續(xù)之，上述的消去步驟還可以進(jìn)行下去。如此繼續(xù)之，重復(fù)上述步驟重復(fù)上述步驟(n -1)次以后，我們即可得到如次以后，我們即可得到如下等價(jià)三角形方程組：下等價(jià)三角形方程組：)()()3(3)3(33)3(33)2(2)2(23)2(232)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (132) 1 (121) 1 (11nnnnnnnnnnnnbTabTaTabTaTaTabTaTaTaTa(2.40) 表示為矩陣形式：表示為矩陣形式：)()(nnBTA其中其中 為如下上三角形矩陣，為如下上三角形矩陣，

46、為為 向量；向量；)(nA)(nB1n)() 3 (3) 2(2) 1 (1)()() 3 (3) 3 (33) 2(2) 2(23) 2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (13) 1 (11)(,nnnnnnnnnnnbbbbBaaaaaaaaaaA0(2.41) n三角形方程組三角形方程組 很容易用前述的回很容易用前述的回代過(guò)程代過(guò)程(2.38)求解，這樣就完成了消去法求解求解，這樣就完成了消去法求解n階線性代數(shù)方程組的過(guò)程。從原來(lái)方程組階線性代數(shù)方程組的過(guò)程。從原來(lái)方程組(2.39)得出等價(jià)三角形方程組得出等價(jià)三角形方程組(2.40)的過(guò)程稱之為消去的過(guò)程稱之為消去過(guò)程。采用前面的

47、記號(hào)，我們可將消去過(guò)程的計(jì)過(guò)程。采用前面的記號(hào)，我們可將消去過(guò)程的計(jì)算公式歸結(jié)為對(duì)于算公式歸結(jié)為對(duì)于 ，遞推地，遞推地計(jì)算如下各量：計(jì)算如下各量：)()(nnBTA1n21k,nijkjabaabbnjknikaaaaanjkibbaakijkkkkkkikkikikkjkkkkikkijkijkikikijkij1,1011,) 1()()()()() 1()()()()() 1()() 1()() 1(2.42) 用用Gauss消去法解線性代數(shù)方程組時(shí)，為了能求到消去法解線性代數(shù)方程組時(shí)，為了能求到最后的解（盡管已經(jīng)具備了最后的解（盡管已經(jīng)具備了 的條件），并的條件），并使解盡可能的精確，

48、應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：使解盡可能的精確，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：0Adet)(kiiaiia)(kiia)(kiia（i）系數(shù)矩陣中對(duì)角線上的元素）系數(shù)矩陣中對(duì)角線上的元素 都不應(yīng)都不應(yīng) 為零，因?yàn)樵谙倪^(guò)程中，不斷用為零，因?yàn)樵谙倪^(guò)程中，不斷用 作為除數(shù)，倘若有一個(gè)作為除數(shù)，倘若有一個(gè) 為零，為零， 計(jì)算就無(wú)法進(jìn)行下去。計(jì)算就無(wú)法進(jìn)行下去。（ii）在系數(shù)矩陣）在系數(shù)矩陣A每一行的元素中，每一行的元素中， 的絕對(duì)值最好比同一行的其他元素都的絕對(duì)值最好比同一行的其他元素都 大，這大，這 樣在作除法運(yùn)算時(shí)，引起的舍樣在作除法運(yùn)算時(shí)，引起的舍 入誤差就比較小。入誤差就比較小。n對(duì)照上節(jié)中差分格式，不難看到，

49、由有限對(duì)照上節(jié)中差分格式，不難看到，由有限差分法得到的系數(shù)矩陣是能夠滿足以上兩差分法得到的系數(shù)矩陣是能夠滿足以上兩個(gè)條件的。因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)方程（第個(gè)條件的。因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)方程（第i個(gè)方程）個(gè)方程）都代表著一個(gè)單元（第都代表著一個(gè)單元（第i個(gè)單元）與周圍單個(gè)單元）與周圍單元或外界環(huán)境的熱量交換關(guān)系。在這些熱元或外界環(huán)境的熱量交換關(guān)系。在這些熱量交換中，無(wú)疑都與該單元的溫度量交換中，無(wú)疑都與該單元的溫度(Ti)有關(guān)，有關(guān)，Ti的系數(shù)的系數(shù)aii當(dāng)然不能為零。當(dāng)然不能為零。 n而且在第而且在第i個(gè)方程中，個(gè)方程中，Ti的地位比其周圍單的地位比其周圍單元溫度更為突出，表現(xiàn)在系數(shù)上，它的絕元溫度更為突出，表

50、現(xiàn)在系數(shù)上，它的絕對(duì)值總是最大的。對(duì)于給定溫度的節(jié)點(diǎn)方對(duì)值總是最大的。對(duì)于給定溫度的節(jié)點(diǎn)方程而言，這種性質(zhì)更明顯。因?yàn)榉匠讨谐潭?，這種性質(zhì)更明顯。因?yàn)榉匠讨谐嗽摴?jié)點(diǎn)溫度以外再也沒(méi)有別的節(jié)點(diǎn)溫度，了該節(jié)點(diǎn)溫度以外再也沒(méi)有別的節(jié)點(diǎn)溫度，它的系數(shù)當(dāng)然也就最大了。它的系數(shù)當(dāng)然也就最大了。n綜上所述，由于對(duì)穩(wěn)定導(dǎo)熱問(wèn)題用有限綜上所述，由于對(duì)穩(wěn)定導(dǎo)熱問(wèn)題用有限差分法得到的代數(shù)方程具有上述性質(zhì)，差分法得到的代數(shù)方程具有上述性質(zhì)，因此在求解方程組時(shí)，可大膽放心使用因此在求解方程組時(shí)，可大膽放心使用Gauss消去法。（對(duì)于更一般的方程組，消去法。（對(duì)于更一般的方程組，目前更多采用主元素消去法，而不用目前更

51、多采用主元素消去法，而不用Gauss消去法。）消去法。）（三）解線性代數(shù)方程組的迭代法（三）解線性代數(shù)方程組的迭代法n前面介紹的解線性代數(shù)方程組的直接法對(duì)于前面介紹的解線性代數(shù)方程組的直接法對(duì)于階數(shù)不是很高的問(wèn)題是非常有效的，這種場(chǎng)階數(shù)不是很高的問(wèn)題是非常有效的，這種場(chǎng)合一般不使用下面介紹的迭代法。然而對(duì)于合一般不使用下面介紹的迭代法。然而對(duì)于階數(shù)很高的稀疏矩陣，盡管提出了很多特殊階數(shù)很高的稀疏矩陣，盡管提出了很多特殊的直接法來(lái)處理它們，在運(yùn)算量和存儲(chǔ)量的的直接法來(lái)處理它們，在運(yùn)算量和存儲(chǔ)量的節(jié)省方面也取得了很大的進(jìn)展，但仍然難于節(jié)省方面也取得了很大的進(jìn)展，但仍然難于克服存儲(chǔ)需要量大的缺點(diǎn)，特

52、別在不具備大克服存儲(chǔ)需要量大的缺點(diǎn)，特別在不具備大型計(jì)算機(jī)的條件下，采用下面介紹的迭代法型計(jì)算機(jī)的條件下，采用下面介紹的迭代法更為合適。更為合適。 n迭代法的優(yōu)點(diǎn)：迭代法的優(yōu)點(diǎn)：由于不需要存儲(chǔ)系數(shù)矩陣的零由于不需要存儲(chǔ)系數(shù)矩陣的零元素，所以占用的存儲(chǔ)單元少。同時(shí)程序也比元素，所以占用的存儲(chǔ)單元少。同時(shí)程序也比較簡(jiǎn)單，對(duì)于穩(wěn)定導(dǎo)熱用有限差分法所得到的較簡(jiǎn)單，對(duì)于穩(wěn)定導(dǎo)熱用有限差分法所得到的方程組，求解收斂較快，因此廣泛地被采用。方程組，求解收斂較快，因此廣泛地被采用。迭代法的缺點(diǎn)是：迭代法的缺點(diǎn)是：它所得到的是一種近似解，它所得到的是一種近似解，在運(yùn)算過(guò)程中需要進(jìn)行多次迭代才能達(dá)到收斂在運(yùn)算過(guò)程

53、中需要進(jìn)行多次迭代才能達(dá)到收斂指標(biāo)的要求，而迭代次數(shù)事先是不知道的，這指標(biāo)的要求，而迭代次數(shù)事先是不知道的，這樣，往往要耗費(fèi)較多的時(shí)間。因此，一般地講，樣，往往要耗費(fèi)較多的時(shí)間。因此，一般地講，直接法與迭代法各有優(yōu)缺點(diǎn)。直接法與迭代法各有優(yōu)缺點(diǎn)。 n迭代法所要討論的問(wèn)題，仍是如下線性代數(shù)方程組：迭代法所要討論的問(wèn)題，仍是如下線性代數(shù)方程組：nnnnnnnnnnbTaTaTabTaTaTabTaTaTa22112222212111212111(2.43) 簡(jiǎn)寫(xiě)成：簡(jiǎn)寫(xiě)成：nibTaijijni, 2, 11(2.44) n迭代法的基本思想是，構(gòu)造一個(gè)由迭代法的基本思想是，構(gòu)造一個(gè)由 組成的向量序

54、列，使其收斂于某個(gè)極限向量組成的向量序列，使其收斂于某個(gè)極限向量 ，并且，并且 就是方程組就是方程組(2.43)的精確解。根據(jù)構(gòu)造向量序列的方法不的精確解。根據(jù)構(gòu)造向量序列的方法不同，常用的有簡(jiǎn)單迭代法，同，常用的有簡(jiǎn)單迭代法，GaussSeidel迭迭代法與超松弛迭代法，下面分別予以介紹。代法與超松弛迭代法，下面分別予以介紹。n21TTT,*2*1,nTTT*2*1,nTTTn1簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 最簡(jiǎn)單的迭代法稱為簡(jiǎn)單迭代法，也稱同步迭代最簡(jiǎn)單的迭代法稱為簡(jiǎn)單迭代法，也稱同步迭代法，法，Jakobi迭代法。迭代的最終目的是求解方程迭代法。迭代的最終目的是求解方程組組(2.43)中的中的

55、。 前面已經(jīng)說(shuō)到，用有限差分法（包括有限元法）前面已經(jīng)說(shuō)到，用有限差分法（包括有限元法）得到的代數(shù)方程組能保證系數(shù)矩陣得到的代數(shù)方程組能保證系數(shù)矩陣A對(duì)角線上對(duì)角線上元素不為零，即元素不為零，即 n21TTT,n21i0aii, n則可將式則可將式(2.43)改寫(xiě)成：改寫(xiě)成： )()()(1n1n11nn1nnnnn232312121222nn121211111TaTabaTTaTaTabaTTaTabaT(2.45) 其中任一方程均可寫(xiě)成：其中任一方程均可寫(xiě)成：niTabaTjijnijjiiii, 2, 1)(11(2.46) n任意給定各節(jié)點(diǎn)上的溫度值任意給定各節(jié)點(diǎn)上的溫度值 作為作為解

56、的第零次近似，把它們代入式解的第零次近似，把它們代入式(2.46)的右端，的右端，由此算得的由此算得的),()(n21iT0iniTabaTjijnijjiiii, 2, 1)()0(11) 1 (作為解的第一次近似，把第一次近似得到的解再作為解的第一次近似，把第一次近似得到的解再代入式代入式(2.46)的右端，得到解的第二次近似。一的右端，得到解的第二次近似。一般地講，在已得到解的第般地講，在已得到解的第k次近似次近似 后，代入式后，代入式(2.46)右端，得右端，得)(kiTniTabaTkjijnijjiiiki, 2, 1)()(11) 1( 為解的第為解的第k+1次的似。這樣得到的序

57、列次的似。這樣得到的序列 為方程組的近為方程組的近似解。只要方程組似解。只要方程組(2.43)存在唯一解，則不存在唯一解，則不論零次近似如何選取，當(dāng)論零次近似如何選取，當(dāng) 時(shí)，此序時(shí)，此序列列 必然收斂，且收斂于方程組的必然收斂，且收斂于方程組的解解 。實(shí)際計(jì)算中。實(shí)際計(jì)算中k不可能取不可能取 ，但可以說(shuō)，當(dāng)?shù)梢哉f(shuō)，當(dāng)k充分大時(shí)，序列充分大時(shí)，序列 已足夠精確地接近方程組的。已足夠精確地接近方程組的。 ),(,)()()(210kTTTknk2k1kn21TTT,*2*1,nTTTn21TTT,n通常，對(duì)充分大的通常，對(duì)充分大的k，其相鄰兩次迭代解，其相鄰兩次迭代解 之間的偏差小于之間的偏差小于預(yù)先給定的適當(dāng)小量預(yù)先給定的適當(dāng)小量 （ 大于零），即大于零），即滿足滿足),(,)()(n21kTTk21k1niTTkiki, 2, 1|)() 1(就結(jié)束迭代過(guò)程，而取就結(jié)束迭代過(guò)程，而取 作作為方程組為方程組(2.43)的近似解。的近似解。 ), 2, 1()(niT