三角形四心向量形式的應(yīng)用

1、二角形“四心”向量形式的應(yīng)用一.知識總結(jié)1、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用（中線交點）命題一：G是厶ABC的重心=GA GB GC =0命題二：PG =1（Pa PB PC GABC的重心（P是平面上的點）.命題三：點O是三角形ABC的重心則S aob = S boc = S coa變式：已知D, E, F分別為 ABC的邊BC, AC, AB的中點.則 AD BE0 .變式引申：平行四邊形ABCD的中心為O , P為該平面上任意一點，則1 -PO （PA PB PC PD）42、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用:： 匸邊高線交點）命題一：h是厶abc的垂心=HA iHB/HA例1:若HABC所在平

2、面內(nèi)一點，且 H2 TBC? =|HB2 *總嚴(yán)=|H+|ab,2則點H是厶ABC的垂心3 .外心（三邊垂直平分線交點，彳接圓圓心）命題一：O是厶 ABC的外心二 I OA|=| OB|=| OC|（離相等）4.內(nèi)心（角平分線交點，內(nèi)切圓圓心）命題一：O是厶ABC的內(nèi)心.OB（豆一雖）（呂-或oA2=ob2=oc2）（點 O到三邊距AB ACOA *（）I AB| hAC_ _/LBAI 丄4命題二：IAB |PC | BC | PA | CA | PB =0= P ABC 的內(nèi)心；I變式：向量，（岀洋）（，0）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是/ BAC的角平分線所在|AB| |AC I直線）；例

3、1.已知0是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足 AC ）,“（0,訟）,則動點P的軌跡一定通過厶ABCB（）AB|cosB |aC|cosCB.內(nèi)心 C 重丿心D 垂心AB-ACIaB sin BOP =oA+”一AA .外心變形:(1) OP =OA (2)+ABACOP = OA (BACAB cosB AC cosC)A (0,址)AC1 si nC'I),'(0,：)(3)PB = -PC例2：點O在厶ABC內(nèi)部且滿足OA 2OB 2O = 0 ,則厶ABC面積與凹四邊形 ABOC 的面積之比（）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3變形引

4、申：OAmOBnOC=0，求 ABC面積與凹四邊形 伴坐的的面積之比5外心與重心：0是厶ABC勺外心，G是重心，則OG =°A °B °C36. 外心與垂心：°是厶ABC勺外心，H是垂心，貝U OH=°A.°OC _7. 重心與垂心：6是厶ABC的重心，H是垂心，則 忑二ha HB HC38. 外心、重心、垂心：O G H分別是銳角 ABC勺外心、重心、垂心，則°G JOH39. 歐拉定理”銳角三角形的 三心”一-卜心、重心、垂心的(1) 三角形的外心、重心、垂心三點共線 一一歐拉線”(2) 三角形的重心在 歐拉線”上，且為

5、外一一垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍。二.練習(xí)1.已知A、B、C是平面上不共線的三點，°是三角形ABC的重心，動點P滿足Op=3(1°A + 2OB+2Oc),則點P一定為三角形ABC的()AAB邊中線的中點 B.AB邊中線的三等分點(非重心) _C.重心D.AB邊的中點2. 在同一個平面上有 ABC及一點O滿足關(guān)系式：°人2+民2=衽2+忍2= °C2 + AB2,則0為厶ABC的()A.外心 B.內(nèi)心C.重心D.垂心3. 已知 ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：PA pb P.0，則P為 ABC的()A.

6、外心B.內(nèi)心C.重心 D.垂心4. 知_°是平面上一定點，A B C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足：OP =° (AB AC)，貝u p的軌跡一定通過厶abc勺()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心5.已知 ABC P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：a PA b PB P0，則P點為三角形的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心2 26. 在三角形ABC中，動點P滿足：CA CB -2AB *CP，則P點一定通過 ABC的 ( )A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心_7. 非零向量AB與AC滿足(ABi + AC ) BC =0且AE AC =-,則厶ABC

7、為| AB | | AC | AB| AC | 2()A三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角 D.等邊三角形 8點°是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足°A°B =°B °C =°C °A，則點°是 ABC勺()(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D三條高的交點9. P是厶ABC所在平面上一點，若PA PB = PB PC=PC PA，則P是厶ABC® ()A .外心B .內(nèi)心 C .重心 D .垂心ABAC10.已知非零向量ABW疋滿足（

8、+|Afi| |AC|) BC=0 且|A6|=2 ,則厶 ABC|AC| 2為（）A.三邊均不相等的三角形C等腰非等邊三角形.直角三角形.等邊三角形11.已知向量a工e，| e| = 1,對任意 t R,恒有 I a -1 e| >| a e|，貝U()(A) a 丄 e (B) a 丄(a e) (C) e 丄(a e) (D) ( a + e)丄(a e)12.在四邊形A B C D，AB BD + BD DC =4，AB BD 二 BD DC = 0，則(AB DC) AC 的值為()B. 2 2C. 4D. 4213. ABC的外接圓的圓心為 Q兩條邊上的高的交點為 H, OH

9、 =m（OA OB ，則實數(shù)m =A. 2C. 414.平面內(nèi)有三個向量 OA、OB、OC，其中OA與OB的夾角為120°, OA與OC的夾角為30°，且OA =OB =1，OC = 2.3 .若OC = OA，r)，值為.15.如圖，在厶ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別 交 直線AB，AC于不同的兩點M ， N，若ABmAM，AC = nAN，16.給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.M'AO C如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動.若 OC =xOA yOB,其中 x, y R,則 x y 的最大值是.17.在厶ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足AP = 2 PM,則PA (PB PC) =18.如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若AD= xABy AC，則.5D1；當(dāng) -2 時，19.如圖1