2022年線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全歸納2

1、1 線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)1、 行 列 式1.n行列式共有2n 個(gè)元素，展開后有!n 項(xiàng)，可分解為2n行列式；2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：、ija和ija的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為a；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：( 1)( 1)ijijijijijijmaam4.設(shè)n行列式d：將d上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為1d ，則(1)21( 1)n ndd ；將d順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，所得行列式為2d ，則(1)22( 1)nndd ；將d主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為3d ，則3dd ；將d主副角線翻轉(zhuǎn)后，

2、所得行列式為4d ，則4dd ；5.行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積(1)2( 1)n n；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；、和：副對(duì)角元素的乘積(1)2( 1)n n；、拉普拉斯展開式：aoaca bcbob、( 1)m ncaoaa bbobcg、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；6.對(duì)于n階行列式a，恒有：1( 1)nnknkkkeas，其中ks 為 k 階主子式；7.證明0a的方法：、aa；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組0ax，證明其有非零解；、利用秩，證明()r an ；、證明0 是其特征值；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇

3、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -2 2、 矩 陣1.a是n階可逆矩陣：0a（是非奇異矩陣）；()r an （是滿秩矩陣）a的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組0ax有非零解；nbr ， axb總有唯一解；a與e等價(jià)；a可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；a的特征值全不為0；ta a 是正定矩陣；a的行（列）向量組是nr 的一組基；a是nr 中某兩組基的過渡矩陣；2

4、.對(duì)于n階矩陣a：*aaa aa e無條件恒 成立；3.1*111*()()()()()()ttttaaaaaa*111()()()tttabbaabb aabba4.矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均a、b可逆：若12saaaao，則：、12saaaal；、111121saaaao；、111aoaoobob；（主對(duì)角分塊）、111oaobboao；（副對(duì)角分塊）、11111acaacbobob；（拉普拉斯）、11111aoaocbbcab；（拉普拉斯）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

5、- - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -3 3、 矩 陣 的 初 等 變 換 與 線 性 方 程 組1.一個(gè)mn矩陣a，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：rm neofoo；等價(jià)類：所有與a等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對(duì)于同型矩陣a、b，若()()r ar bab:；2.行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非0 元素必須為1；、每行首個(gè)非0 元素所在列的

6、其他元素必須為0；3.初等行變換的應(yīng)用： （初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、若 (,)(,)raeex:，則a可逆，且1xa；、對(duì)矩陣(,)a b 做初等行變化，當(dāng)a變?yōu)閑時(shí)，b就變成1ab，即：1(,)(,)ca be a b ；、求解線形方程組：對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程 axb，如果 (, )(, )ra be x:，則a可逆，且1xab；4.初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、12no，左乘矩陣a，i乘a的各行元素；右乘，i乘a的各列元素；、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)( , )e i j ，且1( , )( , )

7、e i je i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符號(hào)( ( )e i k，且11( ( )( ()e i ke ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符號(hào)( ( )e ij k,且1( )()e ij ke ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩陣秩的基本性質(zhì)：、 0()min(, )mnr am n ；、()()tr ar a；、若ab:，則()()r ar b ；、若p、 q 可逆，則()()()()r ar par aqr paq ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max( (), ()(,)()()r a r br a br ar b ；（ ）、(

8、)()()r abr ar b ；（ ）、()min( (), ()r abr ar b；（ ）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -4 、如果a是mn矩陣，b是ns矩陣，且0ab，則：（ ）、b的列向量全部是齊次方程組0ax解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；、()()r ar bn、若a、b均為n階方陣，則()()()r abr ar bn ；6.三種

9、特殊矩陣的方冪：、秩為1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；、型如101001acb的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；二項(xiàng)展開式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabc ac abc abca bc bc a bll；注：、()nab展開后有1n項(xiàng)；、0(1)(1)!11 23!()!l lg g g l gmnnnnn nnmncccmm nm、組合的性質(zhì)：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrccccccrcnc；、利用特征值和相似對(duì)角化：7.伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：*()()1()10()1nr anr ar

10、anr an；、伴隨矩陣的特征值：*1*(,)aaaxx aa aa xx ；、*1aa a、1*naa8.關(guān)于a矩陣秩的描述：、()r an ，a中有n階子式不為0，1n階子式全部為0；（兩句話）、()r an ，a中有n階子式全部為0；、()r an ，a中有n階子式不為0；9.線性方程組：axb，其中a為mn矩陣，則：、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組axb 有m個(gè)方程；、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組axb 為n元方程；10.線性方程組axb的求解：、對(duì)增廣矩陣b進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

11、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -5 11.由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xaxba xaxaxbaxaxaxblll l l l l l l l l l ll；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbaxbaaaxbllmmommml（向量方程，a

12、為mn矩陣，m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)）、1212nnxxaaaxlm（全部按列分塊，其中12nbbbm）；、1122nna xa xa xl（線性表出）、有解的充要條件：()(,)r ar an （n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、 向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性1.m個(gè)n維列向量所組成的向量組a：12,ml構(gòu)成nm矩陣12(,)mal；m個(gè)n維行向量所組成的向量組b：12,tttml構(gòu)成mn矩陣12tttmbm；含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)0ax有、無非零解； （齊次線性方程組）、向量的線性表出axb是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示axb是否

13、有解；（矩陣方程）3.矩陣mna與lnb行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組0ax和0bx同解； (101p例 14) 4.()()tr a ar a；(101p例 15) 5.n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)0 ；、,線性相關(guān),坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、,線性相關(guān),共面；6.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若12,sl線性相關(guān)，則121,ssl必線性相關(guān)；若12,sl線性無關(guān)，則121,sl必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組a的每個(gè)向量上添上nr個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組b：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

14、5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -6 若a線性無關(guān)，則b也線性無關(guān)；反之若b線性相關(guān)，則a也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7.向量組a（個(gè)數(shù)為r）能由向量組b（個(gè)數(shù)為s）線性表示，且a線性無關(guān)，則rs；向量組a能由向量組b線性表示，則()()r ar b ；向量組a能由向量組b線性表示axb 有解；()(,)r ar a b向量組a能由向量組b等價(jià)()()(,)r ar br a b8

15、.方陣a可逆存在有限個(gè)初等矩陣12,lp ppl，使12lap ppl；、矩陣行等價(jià)：rabpab（左乘，p可逆）0ax與0bx同解、矩陣列等價(jià)：cabaqb （右乘， q 可逆） ；、矩陣等價(jià)：abpaqb （p、 q 可逆） ；9.對(duì)于矩陣m na與lnb：、若a與b行等價(jià)，則a與b的行秩相等；、若a與b行等價(jià)，則0ax與0bx同解，a與b的任何對(duì)應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣a的行秩等于列秩；10.若m ss nm nabc，則：、 c 的列向量組能由a的列向量組線性表示，b為系數(shù)矩陣；、 c 的行向量組能由b的行向量組線性表示，ta 為系數(shù)矩陣；

16、 （轉(zhuǎn)置）11.齊次方程組0bx的解一定是0abx的解， 【考試中可以直接作為定理使用，而無需證明】、0abx只有零解0bx只有零解；、0bx有非零解0abx一定存在非零解；12.設(shè)向量組12:,n rrbb bbl可由向量組12:,nssaa aal線性表示為：1212(,)(,)rsb bba aakll（bak）其中k為sr，且a線性無關(guān)，則b組線性無關(guān)()r kr ；（b與k的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：()()(), (),()rr br akr kr krr krq；充分性：反證法）注：當(dāng)rs時(shí)，k為方陣，可當(dāng)作定理使用；13.、對(duì)矩陣m na，存在n mq，maqe()

17、r am 、 q 的列向量線性無關(guān)；、對(duì)矩陣m na，存在nmp，npae()r an、p的行向量線性無關(guān)；14.12,sl線性相關(guān)存在一組不全為0 的數(shù)12,skkkl，使得11220sskkkl成立；（定義）1212(,)0ssxxxlm有非零解，即0ax有非零解；12(,)srsl，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - -

18、 - - -7 15.設(shè)mn的矩陣a的秩為r，則n元齊次線性方程組0ax的解集 s 的秩為：()r snr ；16.若*為 axb的一個(gè)解，12,nrl為0ax的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則*12,nrl線性無關(guān)；5、 相 似 矩 陣 和 二 次 型1.正交矩陣ta ae 或1taa （定義），性質(zhì)：、a的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即1( ,1,2,)0tijija ai jnijl；、若a為正交矩陣，則1taa 也為正交陣，且1a；、若a、b正交陣，則ab也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化 ；2.施密特正交化：12(,)ra aal11ba ；1222111,b aba

19、bb bgl l l121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bbbbbgglg; 3.對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對(duì)于 實(shí)對(duì)稱陣 ，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4.、a與b等價(jià)a經(jīng)過初等變換得到b；paqb ，p、 q 可逆；()()r ar b ，a、b同型；、a與b合同tc acb ，其中可逆；tx ax 與tx bx 有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)；、a與b相似1papb ；5.相似一定合同、合同未必相似；若 c 為正交矩陣，則tc acbab:， （合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格）；6.a為對(duì)稱陣，則a為二次型矩陣；7.n元二次型tx ax 為正定：a 的正慣性指數(shù)為n；a 與e合同，即存在可逆矩陣c ，使tc ace ；a 的所有特征值均為正數(shù)；a 的各階順序主子式均大于0；0,0iiaa；