小學(xué)數(shù)學(xué)雞兔同籠教學(xué)設(shè)計(jì)(共10頁)

1、 學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 課 時(shí) 數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：授課主題 第03講雞兔同籠問題授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo) 掌握?qǐng)D解法和列表法解決雞兔同籠問題； 掌握假設(shè)法和列方程法解決雞兔同籠問題。授課日期及時(shí)段T（Textbook-Based）同步課堂知識(shí)梳理 大約一千五百年前，我國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中記載了一道數(shù)學(xué)趣題： 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？ 意思是：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？這就是著名的“雞兔同籠”問題。如何解決這道數(shù)學(xué)趣題，就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

2、解決雞兔同籠問題的主要方法有：1、砍足法（抬腿法）解答思路：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）顯然，雞的只數(shù)就是（只）了 2、假設(shè)法（經(jīng)典）雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有： 雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有： 兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子

3、腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù) 3、方程法根據(jù)雞兔的腳之和列方程解答。典例分析 考點(diǎn)一：圖解法和列表法例1、雞兔同籠，有20個(gè)頭，54只腳，雞兔各多少只？【解析】從有1只雞開始一個(gè)一個(gè)地試，把試的結(jié)果列成表格。頭（個(gè)）雞（只）兔（只）腳（只）2011978202187620317742041672202013754剛好，13只雞，7只兔。這樣做太麻煩，先假設(shè)兔和雞各占一半。頭（個(gè)）雞（只）兔（只）腳（只）20101060>54201195820128562013754先假設(shè)兔和雞各占一半，根據(jù)腳的總數(shù)量與實(shí)際數(shù)量的大小關(guān)系，確定減少雞還是兔，這樣就減少列舉的次數(shù)。例2、有雞兔

4、共30只，兔腳比雞腳多60只，問雞兔各多少只？【解析】可以用列表的方式，先假定雞兔各占一半，頭（個(gè)）雞（只）兔（只）雞腳兔腳雞兔腳之差3015153060303014162864363013172668423012182472483011192652301020208060所以10只雞20只兔。點(diǎn)評(píng)：從表中可以看出：增加一只兔，減少一只雞，它們的腳數(shù)差增加6.同樣，減少一只兔，增加一只雞，它們的腳數(shù)差減少6.也就是說，用一只雞換一只兔，腳數(shù)差的變化為6只。例3、籠子里有雞和兔共8只，一共22條腿。雞和兔各有幾只？【解析】本題可以用列表法解答，現(xiàn)在我們用另一種方法圖解法來解答。第一步：先畫8個(gè)

5、表示雞兔共有8個(gè)頭 。第二步：給每個(gè)頭都配上2條腿，共16條腿，這樣8只全是雞。第三步：把剩下的6條腿配在3個(gè)圖上，這樣2條腿的有5個(gè)，4條腿的有3個(gè)。也就是有5只雞，3只兔。把上面的過程列成算式：假設(shè)全是雞：8個(gè)頭只需要16條腿8×2=16（只）還剩下6條腿：22-16=6（只）再把6條腿加在3只雞上，就變成3只兔。6÷2=3（只）考點(diǎn)二：假設(shè)法例1、有雞兔共20只，腳44只，雞兔各幾只？【解析】假設(shè)20只全是雞，那么就有雞腳20×2=40只，比實(shí)際少了44-40=4只，是因?yàn)槊恐煌蒙偎懔?-2=2只腳，所以兔有4÷2=2只。雞有20-2=18只。例2

6、、雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？【解析】假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳與兔腳的差比實(shí)際的差多200-20=180（只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少426（只），而180÷630，因此有兔子30只，雞100-3070（只）。解：有兔（2×100-20）÷（24）30（只），有雞100-30=70（只）。答：有雞70只，兔30只。例3、現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶

7、可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個(gè)？【解析】小瓶有（4×50-20）÷（42）30（個(gè)），大瓶有50-3020（個(gè)）。答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套?【解析】我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。買了16套彩色文化用品，則共需19×16304(元)，比實(shí)際多30428024(元)，是因?yàn)槠胀ㄎ幕闷访刻锥嗨懔?/p>

8、19118(元)，所以買普通文化用品 24÷83(套)，買彩色文化用品 16313(套)。例5、100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃。問：大、小和尚各有多少人?【解析】本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。 假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300140160(個(gè))。現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少312(個(gè))，因?yàn)?60÷280，故小和尚有80人，大和尚有1008020(人)。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，

9、同學(xué)們不妨自己試試。在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法?？键c(diǎn)三：列方程解決雞兔同籠問題例1、雞、兔共籠，雞比兔多20只，足數(shù)共280只，問雞、兔各幾只？【解析】本題可以用假設(shè)法解答。假設(shè)雞與兔的數(shù)量一樣，則足數(shù)共280-20×2=240只，則兔有240÷（4+2）=40只，雞有40+20=60只。雞兔同籠問題除了用假設(shè)法解答外，還可以用方程解答解：設(shè)有x只雞，則有x-20只兔。根據(jù)足數(shù)共280只列方程得 2x+4(x-20)=280 X=60 60-20=40答：雞60只、兔40只。例2、劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船每條大船坐6人，每條小船坐4人，

10、問大船、小船各租幾條？【解析】本題是雞兔同籠的變形題。把大船看成“兔”，小船看成“雞”，學(xué)生看成“腳”。解：設(shè)大船x條，小船10-x條。 6x+4(10-x)=41+1 X=110-1=9答：大船租1條、小船租9條。例3、大院里養(yǎng)了三種動(dòng)物，每只小山羊戴著3個(gè)鈴鐺，每只獅子狗戴著一個(gè)鈴鐺，大白鵝不戴鈴鐺小明數(shù)了數(shù)，一共9個(gè)腦袋、28條腿、11個(gè)鈴鐺，三種動(dòng)物各有多少只？【解析】本題是三個(gè)對(duì)象的雞兔同籠問題。若用假設(shè)法解題，應(yīng)抓住“獅子狗與小山羊的腳相同”這一條件，即把獅子狗與小山羊看成“兔”，大白鵝看成“雞”，這樣把三種動(dòng)物轉(zhuǎn)化成兩種動(dòng)物的雞兔同籠問題。列方程也同樣要將獅子狗與小山羊看成“兔”

11、，大白鵝看成“雞”。解：設(shè)小山羊和獅子狗共有x只，大白鵝有9-x只。 4x+2(9-x)=28 X=5 9-5=4再設(shè)小山羊有y只，獅子狗有5-y只 3y+(5-y)=11 Y=35-3=2答：小山羊有3只，獅子狗有2只，大白鵝有4只。例4、小毛參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共做20道題，得64分，已知做對(duì)一道得5分，不做得0分，錯(cuò)一題扣2分，又知道他做錯(cuò)的題和沒做的一樣多問小毛做對(duì)幾道題？【解析】設(shè)錯(cuò)了x題，對(duì)了20-2x題。 5（20-2x）-2x=64 X=3 20-2×3=14答：小毛做對(duì)14道題.點(diǎn)評(píng)：將三種以及更多的動(dòng)物/東西，轉(zhuǎn)化為兩種動(dòng)物/東西的雞兔同籠基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)化后的“頭

12、”與“腳”。P(Practice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練 Ø 課堂狙擊1、今有雞兔共居一籠，已知雞頭與兔頭共35個(gè)，雞腳與兔腳共94只，問雞兔各幾只？【解析】假設(shè)全是雞，那么就有雞腳35×2=70只，比實(shí)際少了94-70=24只，是因?yàn)槊恐煌蒙偎懔?-2=2只，所以兔有24÷2=12只。雞有35-12=23只。2、雞與兔共有200只，雞的腳比兔的腳少56只，問雞與兔各多少只？【解析】假設(shè)200只都是兔，沒有雞，那么就有兔腳200×4=800只，而雞的腳數(shù)為零。這樣兔腳比雞腳多800只，而實(shí)際上只多56只，比實(shí)際的差多800-56=744（只）

13、。是因?yàn)槊恐浑u換成兔，雞的腳減少2只，兔的腳增加4只，也就是一只雞變成一只兔，兔的腳與雞的腳之差就會(huì)增加6只。因此雞有744÷6124只，兔子200-134=76只。3、在一個(gè)停車場(chǎng)上，現(xiàn)有車輛輛，其中汽車有個(gè)輪子，摩托車有個(gè)輪子，這些車共有個(gè)輪子，那么三輪摩托車有多少輛？【解析】假設(shè)都是三輪摩托車，應(yīng)有3×41=123(個(gè))輪子，少了127-123=4(個(gè))輪子每把一輛汽車假設(shè)為三輪摩托車，會(huì)減少4-3=1(個(gè))輪子汽車有4÷1=4(輛)；從而求出三輪摩托車有41-4=37(輛)或者假設(shè)都是汽車，應(yīng)有4×41=164(個(gè))輪子，多了164-127=37

14、(個(gè))輪子；所以摩托車有37÷（4-3）=37(輛)4、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下?【解析】利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12×(2+3)60(下)?？汕蟪鲂访糠昼娞?78060)÷(2+3+3)90(下)，小樂一共跳了90×3270(下)，因此小喜比小樂共多跳780270×2240(下)。5、列方程解答：雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？【解析】設(shè)雞x只，兔100-x

15、只。 2x-4(100-x)=20 X=70 100-70=30答：雞70只、兔30只。6、五年二班全體同學(xué)，植樹節(jié)那天共栽樹180棵平均每個(gè)男生栽5棵、每個(gè)女生栽3棵；又知女生比男生多4人，該班男生和女生各多少人？【解析】設(shè)男生x人，女生x+4人。 5x+3(x+4)=180 X=21 21+4=25答：該班男生有21人，女生有25人。7、食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克

16、20元的收入：元，所以賣出：千克，所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問題Ø 課堂反擊1、雞兔同籠，頭共，足共，雞兔各幾只？【解析】假設(shè)46只都是兔，一共應(yīng)有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳，這是因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)成了兔子，如果把1只雞當(dāng)成1只兔，就要比實(shí)際多4-2=2（只）腳，那么56只腳是我們把56÷2=28只雞當(dāng)成了兔子，所以雞的只數(shù)就是28，兔的只數(shù)是46-28=

17、18（只）2、雞、兔同籠，雞比兔多只，足數(shù)共只，問雞、兔各幾只？【解析】這道例題是已知雞、兔的腳數(shù)和，雞比兔多的只數(shù)，求雞、兔各幾只我們假設(shè)雞與兔只數(shù)一樣多，那么現(xiàn)在它們的足數(shù)一共有： 274-2×26=222（只），每一對(duì)雞、兔共有足： 2+4=6（只），雞兔共有對(duì)數(shù)（也就是兔子的只數(shù)）： 222÷6=37（對(duì)），則雞有37+26=63（只）3、工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元，損壞一個(gè)倒賠100元運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個(gè)？【解析】本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差（元），即損1個(gè)花

18、瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi)，而且要付出120元本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好，這樣可得運(yùn)費(fèi)20×250=5000（元）這樣比實(shí)際多得5000-4400=600（元） 就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子，損壞1個(gè)花瓶相差120元現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個(gè)花瓶根據(jù)以上分析，可得損壞了（20×250-4400）÷（100+20）=5（個(gè)）4、某學(xué)校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？【解析】如果30間都是小宿舍，那么只能住4×30=120（人），而實(shí)際上住了168人大宿舍比小宿舍每間多住6-4=2（人），所以大宿舍有（168-120）÷2=24（間）5、學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。問：象棋與跳棋各有多少副?【解析】假設(shè)26副全是跳棋，那么可供26×6=152人活動(dòng)，比實(shí)際多了156-120=36人，是因?yàn)槊扛毕笃宥嗨懔?-2=4人，所以象棋有36÷4=9副。跳棋有26-9=17副。6、某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共20題，做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)或不做一題倒扣1分小華得了88分，問他做對(duì)幾題？【解析】設(shè)作對(duì)x題，做錯(cuò)和不做共有20-x題。 5x-(20-x)=88 X=1820-18=2答