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文檔簡(jiǎn)介

1、 學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào): 年 級(jí): 課 時(shí) 數(shù):3學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目:奧數(shù)學(xué)科教師:授課主題 第03講雞兔同籠問(wèn)題授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo) 掌握?qǐng)D解法和列表法解決雞兔同籠問(wèn)題; 掌握假設(shè)法和列方程法解決雞兔同籠問(wèn)題。授課日期及時(shí)段T(Textbook-Based)同步課堂知識(shí)梳理 大約一千五百年前,我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中記載了一道數(shù)學(xué)趣題: 今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雉兔各幾何? 意思是:籠子里有若干只雞和兔,從上面數(shù),有35個(gè)頭;從下面數(shù),有94只腳。雞和兔各有幾只?這就是著名的“雞兔同籠”問(wèn)題。如何解決這道數(shù)學(xué)趣題,就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

2、解決雞兔同籠問(wèn)題的主要方法有:1、砍足法(抬腿法)解答思路:假如砍去每只雞、每只兔一半的腳,則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”,每只兔就變成了“雙腳兔”這樣,雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只;如果籠子里有一只兔子,則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多因此,腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差,就是兔子的只數(shù),即(只)顯然,雞的只數(shù)就是(只)了 2、假設(shè)法(經(jīng)典)雞兔同籠問(wèn)題的基本關(guān)系式是:如果假設(shè)全是兔,那么則有: 雞數(shù)=(每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù))÷(每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)) 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞,那么就有: 兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù))÷(每只兔子

3、腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)) 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù) 3、方程法根據(jù)雞兔的腳之和列方程解答。典例分析 考點(diǎn)一:圖解法和列表法例1、雞兔同籠,有20個(gè)頭,54只腳,雞兔各多少只?【解析】從有1只雞開(kāi)始一個(gè)一個(gè)地試,把試的結(jié)果列成表格。頭(個(gè))雞(只)兔(只)腳(只)2011978202187620317742041672202013754剛好,13只雞,7只兔。這樣做太麻煩,先假設(shè)兔和雞各占一半。頭(個(gè))雞(只)兔(只)腳(只)20101060>54201195820128562013754先假設(shè)兔和雞各占一半,根據(jù)腳的總數(shù)量與實(shí)際數(shù)量的大小關(guān)系,確定減少雞還是兔,這樣就減少列舉的次數(shù)。例2、有雞兔

4、共30只,兔腳比雞腳多60只,問(wèn)雞兔各多少只?【解析】可以用列表的方式,先假定雞兔各占一半,頭(個(gè))雞(只)兔(只)雞腳兔腳雞兔腳之差3015153060303014162864363013172668423012182472483011192652301020208060所以10只雞20只兔。點(diǎn)評(píng):從表中可以看出:增加一只兔,減少一只雞,它們的腳數(shù)差增加6.同樣,減少一只兔,增加一只雞,它們的腳數(shù)差減少6.也就是說(shuō),用一只雞換一只兔,腳數(shù)差的變化為6只。例3、籠子里有雞和兔共8只,一共22條腿。雞和兔各有幾只?【解析】本題可以用列表法解答,現(xiàn)在我們用另一種方法圖解法來(lái)解答。第一步:先畫8個(gè)

5、表示雞兔共有8個(gè)頭 。第二步:給每個(gè)頭都配上2條腿,共16條腿,這樣8只全是雞。第三步:把剩下的6條腿配在3個(gè)圖上,這樣2條腿的有5個(gè),4條腿的有3個(gè)。也就是有5只雞,3只兔。把上面的過(guò)程列成算式:假設(shè)全是雞:8個(gè)頭只需要16條腿8×2=16(只)還剩下6條腿:22-16=6(只)再把6條腿加在3只雞上,就變成3只兔。6÷2=3(只)考點(diǎn)二:假設(shè)法例1、有雞兔共20只,腳44只,雞兔各幾只?【解析】假設(shè)20只全是雞,那么就有雞腳20×2=40只,比實(shí)際少了44-40=4只,是因?yàn)槊恐煌蒙偎懔?-2=2只腳,所以兔有4÷2=2只。雞有20-2=18只。例2

6、、雞、兔共100只,雞腳比兔腳多20只。問(wèn):雞、兔各多少只?【解析】假設(shè)100只都是雞,沒(méi)有兔,那么就有雞腳200只,而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只,而實(shí)際上只多20只,這說(shuō)明假設(shè)的雞腳與兔腳的差比實(shí)際的差多200-20=180(只)。現(xiàn)在以兔換雞,每換一只,雞腳減少2只,兔腳增加4只,即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少426(只),而180÷630,因此有兔子30只,雞100-3070(只)。解:有兔(2×100-20)÷(24)30(只),有雞100-30=70(只)。答:有雞70只,兔30只。例3、現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè),每個(gè)大瓶可裝油4千克,每個(gè)小瓶

7、可裝油2千克,大瓶比小瓶共多裝20千克。問(wèn):大、小瓶各有多少個(gè)?【解析】小瓶有(4×50-20)÷(42)30(個(gè)),大瓶有50-3020(個(gè))。答:有大瓶20個(gè),小瓶30個(gè)。例4、彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,這兩種文化用品共買了16套,用錢280元。問(wèn):兩種文化用品各買了多少套?【解析】我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳,一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳,它們共有16個(gè)頭,280只腳。這樣,就將買文化用品問(wèn)題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問(wèn)題了。買了16套彩色文化用品,則共需19×16304(元),比實(shí)際多30428024(元),是因?yàn)槠胀ㄎ幕闷访刻锥嗨懔?/p>

8、19118(元),所以買普通文化用品 24÷83(套),買彩色文化用品 16313(套)。例5、100個(gè)和尚140個(gè)饃,大和尚1人分3個(gè)饃,小和尚1人分1個(gè)饃。問(wèn):大、小和尚各有多少人?【解析】本題由中國(guó)古算名題“百僧分饃問(wèn)題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔,饃看作腿,那么就成了雞兔同籠問(wèn)題,可以用假設(shè)法來(lái)解。 假設(shè)100人全是大和尚,那么共需饃300個(gè),比實(shí)際多300140160(個(gè))?,F(xiàn)在以小和尚去換大和尚,每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變,而饃就要減少312(個(gè)),因?yàn)?60÷280,故小和尚有80人,大和尚有1008020(人)。同樣,也可以假設(shè)100人都是小和尚,

9、同學(xué)們不妨自己試試。在下面的例題中,我們只給出一種假設(shè)方法??键c(diǎn)三:列方程解決雞兔同籠問(wèn)題例1、雞、兔共籠,雞比兔多20只,足數(shù)共280只,問(wèn)雞、兔各幾只?【解析】本題可以用假設(shè)法解答。假設(shè)雞與兔的數(shù)量一樣,則足數(shù)共280-20×2=240只,則兔有240÷(4+2)=40只,雞有40+20=60只。雞兔同籠問(wèn)題除了用假設(shè)法解答外,還可以用方程解答解:設(shè)有x只雞,則有x-20只兔。根據(jù)足數(shù)共280只列方程得 2x+4(x-20)=280 X=60 60-20=40答:雞60只、兔40只。例2、劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船,共租了10條船每條大船坐6人,每條小船坐4人,

10、問(wèn)大船、小船各租幾條?【解析】本題是雞兔同籠的變形題。把大船看成“兔”,小船看成“雞”,學(xué)生看成“腳”。解:設(shè)大船x條,小船10-x條。 6x+4(10-x)=41+1 X=110-1=9答:大船租1條、小船租9條。例3、大院里養(yǎng)了三種動(dòng)物,每只小山羊戴著3個(gè)鈴鐺,每只獅子狗戴著一個(gè)鈴鐺,大白鵝不戴鈴鐺小明數(shù)了數(shù),一共9個(gè)腦袋、28條腿、11個(gè)鈴鐺,三種動(dòng)物各有多少只?【解析】本題是三個(gè)對(duì)象的雞兔同籠問(wèn)題。若用假設(shè)法解題,應(yīng)抓住“獅子狗與小山羊的腳相同”這一條件,即把獅子狗與小山羊看成“兔”,大白鵝看成“雞”,這樣把三種動(dòng)物轉(zhuǎn)化成兩種動(dòng)物的雞兔同籠問(wèn)題。列方程也同樣要將獅子狗與小山羊看成“兔”

11、,大白鵝看成“雞”。解:設(shè)小山羊和獅子狗共有x只,大白鵝有9-x只。 4x+2(9-x)=28 X=5 9-5=4再設(shè)小山羊有y只,獅子狗有5-y只 3y+(5-y)=11 Y=35-3=2答:小山羊有3只,獅子狗有2只,大白鵝有4只。例4、小毛參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,共做20道題,得64分,已知做對(duì)一道得5分,不做得0分,錯(cuò)一題扣2分,又知道他做錯(cuò)的題和沒(méi)做的一樣多問(wèn)小毛做對(duì)幾道題?【解析】設(shè)錯(cuò)了x題,對(duì)了20-2x題。 5(20-2x)-2x=64 X=3 20-2×3=14答:小毛做對(duì)14道題.點(diǎn)評(píng):將三種以及更多的動(dòng)物/東西,轉(zhuǎn)化為兩種動(dòng)物/東西的雞兔同籠基本模型。即:抓住轉(zhuǎn)化后的“頭

12、”與“腳”。P(Practice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練 Ø 課堂狙擊1、今有雞兔共居一籠,已知雞頭與兔頭共35個(gè),雞腳與兔腳共94只,問(wèn)雞兔各幾只?【解析】假設(shè)全是雞,那么就有雞腳35×2=70只,比實(shí)際少了94-70=24只,是因?yàn)槊恐煌蒙偎懔?-2=2只,所以兔有24÷2=12只。雞有35-12=23只。2、雞與兔共有200只,雞的腳比兔的腳少56只,問(wèn)雞與兔各多少只?【解析】假設(shè)200只都是兔,沒(méi)有雞,那么就有兔腳200×4=800只,而雞的腳數(shù)為零。這樣兔腳比雞腳多800只,而實(shí)際上只多56只,比實(shí)際的差多800-56=744(只)

13、。是因?yàn)槊恐浑u換成兔,雞的腳減少2只,兔的腳增加4只,也就是一只雞變成一只兔,兔的腳與雞的腳之差就會(huì)增加6只。因此雞有744÷6124只,兔子200-134=76只。3、在一個(gè)停車場(chǎng)上,現(xiàn)有車輛輛,其中汽車有個(gè)輪子,摩托車有個(gè)輪子,這些車共有個(gè)輪子,那么三輪摩托車有多少輛?【解析】假設(shè)都是三輪摩托車,應(yīng)有3×41=123(個(gè))輪子,少了127-123=4(個(gè))輪子每把一輛汽車假設(shè)為三輪摩托車,會(huì)減少4-3=1(個(gè))輪子汽車有4÷1=4(輛);從而求出三輪摩托車有41-4=37(輛)或者假設(shè)都是汽車,應(yīng)有4×41=164(個(gè))輪子,多了164-127=37

14、(個(gè))輪子;所以摩托車有37÷(4-3)=37(輛)4、小樂(lè)與小喜一起跳繩,小喜先跳了2分鐘,然后兩人各跳了3分鐘,一共跳了780下。已知小喜比小樂(lè)每分鐘多跳12下,那么小喜比小樂(lè)共多跳了多少下?【解析】利用假設(shè)法,假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂(lè)一樣,那么兩人跳的總數(shù)減少了12×(2+3)60(下)??汕蟪鲂?lè)每分鐘跳(78060)÷(2+3+3)90(下),小樂(lè)一共跳了90×3270(下),因此小喜比小樂(lè)共多跳780270×2240(下)。5、列方程解答:雞、兔共100只,雞腳比兔腳多20只。問(wèn):雞、兔各多少只?【解析】設(shè)雞x只,兔100-x

15、只。 2x-4(100-x)=20 X=70 100-70=30答:雞70只、兔30只。6、五年二班全體同學(xué),植樹(shù)節(jié)那天共栽樹(shù)180棵平均每個(gè)男生栽5棵、每個(gè)女生栽3棵;又知女生比男生多4人,該班男生和女生各多少人?【解析】設(shè)男生x人,女生x+4人。 5x+3(x+4)=180 X=21 21+4=25答:該班男生有21人,女生有25人。7、食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克,共收入2570元已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元,那么,每千克25元的糖果售出了多少千克?【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元,則每千克

16、20元的收入:元,所以賣出:千克,所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共千克,相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成:賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克,收入1970元,問(wèn):每千克25元的糖果售出了多少千克?轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問(wèn)題Ø 課堂反擊1、雞兔同籠,頭共,足共,雞兔各幾只?【解析】假設(shè)46只都是兔,一共應(yīng)有4×46=184只腳,這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳,這是因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)成了兔子,如果把1只雞當(dāng)成1只兔,就要比實(shí)際多4-2=2(只)腳,那么56只腳是我們把56÷2=28只雞當(dāng)成了兔子,所以雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)是46-28=

17、18(只)2、雞、兔同籠,雞比兔多只,足數(shù)共只,問(wèn)雞、兔各幾只?【解析】這道例題是已知雞、兔的腳數(shù)和,雞比兔多的只數(shù),求雞、兔各幾只我們假設(shè)雞與兔只數(shù)一樣多,那么現(xiàn)在它們的足數(shù)一共有: 274-2×26=222(只),每一對(duì)雞、兔共有足: 2+4=6(只),雞兔共有對(duì)數(shù)(也就是兔子的只數(shù)): 222÷6=37(對(duì)),則雞有37+26=63(只)3、工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè),規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元,損壞一個(gè)倒賠100元運(yùn)完這批花瓶后,工人共得4400元,則損壞了多少個(gè)?【解析】本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差(元),即損1個(gè)花

18、瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi),而且要付出120元本例可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好,這樣可得運(yùn)費(fèi)20×250=5000(元)這樣比實(shí)際多得5000-4400=600(元) 就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子,損壞1個(gè)花瓶相差120元現(xiàn)共相差600元,從而求出共損壞多少個(gè)花瓶根據(jù)以上分析,可得損壞了(20×250-4400)÷(100+20)=5(個(gè))4、某學(xué)校有30間宿舍,大宿舍每間住6人,小宿舍每間住4人已知這些宿舍中共住了168人,那么其中有多少間大宿舍?【解析】如果30間都是小宿舍,那么只能住4×30=120(人),而實(shí)際上住了168人大宿舍比小宿舍每間多住6-4=2(人),所以大宿舍有(168-120)÷2=24(間)5、學(xué)校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。問(wèn):象棋與跳棋各有多少副?【解析】假設(shè)26副全是跳棋,那么可供26×6=152人活動(dòng),比實(shí)際多了156-120=36人,是因?yàn)槊扛毕笃宥嗨懔?-2=4人,所以象棋有36÷4=9副。跳棋有26-9=17副。6、某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共20題,做對(duì)一題得5分,做錯(cuò)或不做一題倒扣1分小華得了88分,問(wèn)他做對(duì)幾題?【解析】設(shè)作對(duì)x題,做錯(cuò)和不做共有20-x題。 5x-(20-x)=88 X=1820-18=2答

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