2022年解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題-自己總結(jié)的

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題一、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)1、正弦定理及其變形2(sinsinsinabcrrabc為三角形外接圓半徑）12sin,2sin,2sinara brb crc（）(邊化角公式）2 sin,sin,sin222abcabcrrr（ ）(角化邊公式）3:sin:sin:sina b cabc（ ）sinsinsin(4),sinsinsinaa aa bbbbcccc2、正弦定理適用情況：（1）已知兩角及任一邊（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角（需要判斷三角形解的情況）已知a，b和a，求b時(shí)的解的情況: 如果basinsin，則b有唯一解；如果1sinsinba，則b有兩解

2、；如果1sin b，則b有唯一解；如果1sin b，則b無(wú)解 . 3、余弦定理及其推論2222222222cos2cos2cosabcbcabacacbcababc222222222cos2cos2cos2bcaabcacbbacabccab4、余弦定理適用情況：（1）已知兩邊及夾角； （2）已知三邊 . 5、常用的三角形面積公式（1）高底21abcs；（2）bcaabccabsabcsin21sin21sin21（兩邊夾一角）. 6、三角形中常用結(jié)論（1）,(abc bca acb 即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）；（2）sinsin(abcababab在中，即大邊對(duì)大角，大角對(duì)大

3、邊）. （3）在 abc中，cba，所以cbasin)sin(；cbacos)cos(；cbatan)tan(. 2sin2cos,2cos2sincbacba. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)二、典型例題題型 1 邊角互化例 1 在abc中，若7:5:3sin:sin:sincba，則角c的度數(shù)為【解析】由正弦定理可得7:5:3:cba，, 令cba、依次為753 、，則ccos=2222abcab=22235723 5=12因?yàn)閏0，所以c23 例 2 若a

4、、b、c是abc的三邊，222222)()(cxacbxbxf，則函數(shù))(xf的圖象與x軸( ) a、有兩個(gè)交點(diǎn) b 、有一個(gè)交點(diǎn) c、沒(méi)有交點(diǎn) d、至少有一個(gè)交點(diǎn)【解析】由余弦定理得2222cosbcabca，所以222( )2cosf xb xbca xc=2222(cos)cosbxcacca，因?yàn)?cos a1, 所以222coscca0，因此( )f x0 恒成立，所以其圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。題型 2 三角形解的個(gè)數(shù)例 3 在abc中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是( ) a、7a，14b，30a；b、25b，30c，150c；c、4b，5c，30b；d、6a，3b，60b。

5、題型 3 面積問(wèn)題例 4 abc的一個(gè)內(nèi)角為0201，并且三邊構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則abc的面積為【解析】設(shè) abc的三邊分別：4,4xxx，c=120，由余弦定理得：0222120cos)4(2)4()4(xxxxx，解得：10 x，abc三邊分別為6、10、14，113sin6 1015 3222abcsabc. 題型 4 判斷三角形形狀例 5 在abc中，已知2222() sin()() sin()abababab, 判斷該三角形的形狀?！窘馕觥堪岩阎仁蕉蓟癁榻堑牡仁交蚨蓟癁檫叺牡仁健７椒ㄒ唬?2sin()sin()sin()sin()aababbabab222cossin2cos

6、sinaabbba由正弦定理，即知22sincossinsincossinaabbbasinsin(sincossincos)0abaabbsin2sin2ab由22 ,20ba，得22ab或22ab, 即abc為等腰三角形或直角三角形. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)方法二： 同上可得222cossin2cossinaabbba由正、余弦定理，即得：2222222222bcaacba bb abcac22222222()()abcabacb即22222()()

7、0abcabab或222cab, 即abc為等腰三角形或直角三角形. 【點(diǎn)撥】 判斷三角形形狀問(wèn)題，一是應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過(guò)因式分解等方法化簡(jiǎn)得到邊與邊關(guān)系式，從而判斷出三角形的形狀；（角化邊）二是應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間三角函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變形以及三角形內(nèi)角和定理得到內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀。（邊化角）題型 5 正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用例 6 在abc中，, ,a b c分別為角cba,.的對(duì)邊，且sinsinsin()acpb pr且214acb（1）當(dāng)5,14pb時(shí)，求,a c的值；（2）若角b為銳

8、角，求p的取值范圍?！窘馕觥浚?）由題設(shè)并由正弦定理，得51,44acac，解得，11,4ac或1,14ac（2）由余弦定理，2222cosbacacb=2222211()22coscos22acacacbp bbbb即231cos22pb，因?yàn)?cos0b，所以23(,2)2p，由題設(shè)知0p，所以226p.三、課堂練習(xí)：1、滿足45a，6c，2a的abc的個(gè)數(shù)為m，則ma為 . 2、已知35,5 ba，30a，解三角形。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)3、在ab

9、c中，已知4acm，xbcm，60a，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則x的取值范圍是 ( ) a、4xb、40 xc、3384xd、3384x4、在abc中，若),(41222cbas則角c . 5、設(shè)r是abc外接圓的半徑，且bbacarsin)2()sin(sin222，試求abc面積的最大值。6、在abc中，d為邊bc上一點(diǎn)，33bd，135sin b，53cosadc，求ad.7、在abc中，已知, ,a b c分別為角cba,的對(duì)邊，若coscosabba，試確定abc形狀。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 5

10、頁(yè) - - - - - - - - -名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)8、在abc中，, ,a b c分別為角cba,的對(duì)邊，已知cos2cos2cosaccabb（1）求sinsinca；（2）若1cos,2,4bb求abc的面積。四、課后作業(yè)1、在abc中，若bcacbcba3)(，且cbacossin2sin，則abc是a、等邊三角形b、鈍角三角形c、直角三角形d、等腰直角三角形2、abc中若面積s=)(41222cba則角c3、清源山是國(guó)家級(jí)風(fēng)景名勝區(qū)，山頂有一鐵塔ab，在塔頂a處測(cè)得山下水平面上一點(diǎn)c的俯角為，在塔底b處測(cè)得點(diǎn)c的俯角為，若鐵塔的高為hm，則清源山的高度為m。a、)sin(cossinhb、)sin(sincoshc、)sin(sinsinhd、)sin(coscosh4、abc的三個(gè)內(nèi)角為abc、 、，求當(dāng)a為何值時(shí)，cos2cos2bca取得最大值，并求出這個(gè)最大值。