華南理工大學繼續(xù)教育學院

1、華南理工大學繼續(xù)教育學院數(shù)字信號處理習題集一、單項選擇題：1. 對-1.5V到1.5V的電壓量化到一個字節(jié)上，則量化步長為(C ) VA. 1.5 B. 3.0 C. 0.01171875D. 0.02343752. 一個數(shù)字通信系統(tǒng)的子帶頻率為1200Hz至2800Hz,系統(tǒng)的采樣頻率為8000Hz,那么，該子帶的數(shù)字頻率范圍為( A ) °A. 0.3 n 至 0.7 nB. 0.6 n 至 1.4 nC. 0.03n至 0.07 nD. 0.06 n 至 0.14n3. 一個數(shù)字信號xn二cos(二n 4)是由模擬信號x(t)二cos(5000二t)采樣獲得，貝U,系統(tǒng)的 采樣

2、頻率為(B ) HzA.40000B.20000C.80000D.100004. 離散系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)h(n)滿足下列關(guān)系，則(A ) 定是穩(wěn)定系統(tǒng)A.h(n)=0.35nu(n)-u(n-8)B.h(n) =1.75nu(n) u(n-6)C.h(n)=2.5nu(n)D.h(n)=0.35nu(-n-1)5. 已知某系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng) h(n)=0.8nu(n),則該系統(tǒng)是( A )A.因果穩(wěn)定系統(tǒng)B.因果非穩(wěn)定系統(tǒng)C.非因果穩(wěn)定系統(tǒng)D.非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)6. 下列系統(tǒng)(其中y(n)是輸出序列，x(n)是輸入序列)中(C )屬于線性系統(tǒng)3A. y(n)=3x(n)_5B. y(n)=x (

3、n) - 5C. y(n )=3x(n-5)D. y(n )=沙)7. 系統(tǒng)輸入序列x(n)和輸出序列y(n)滿足差分方程：y(n)=nx(n)，則該系統(tǒng)是(D )A.線性移不變系統(tǒng)B.非線性移不變系統(tǒng)C.線性移變系統(tǒng)D.非線性移變系統(tǒng)8. 已知某序列x(n)的z變換為z -2+z3，則x(n-2)的z變換為(C )-2-3-1-3A. z +zB. -2z -2z-4-5C. z 4+z 5D. z+19. 一個長度為256點的序列，利用A. 256B.1024 C.2048FFT來計算其頻譜的計算量為D.65536)次復(fù)數(shù)乘法。10. 一個系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)h(n)-(n-6)，則系統(tǒng)的頻

4、率響應(yīng)H (e')為(B )A. ejnb. e" c. ej nd. ej6'11. 一個線性時不變系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)為h(n“、：(n -2)，系統(tǒng)的輸入為 x(n)=0.35nRa(n)時，系統(tǒng)的輸出 y(n)%( B )。A. y(n)=0.35nRi(n)B. y(n)=0.35n，R3(n-2)C. y(n)=0.35n2R3(n 2)D. y(n)=0.35n，Ri(n-2)12. 序列 x(n) = ： (n -n°)的頻譜 X(eJ')為(B )。A.n b. e-J n0c. eJ nd. eJ n013. 設(shè) h(n) =0.2

5、5、(n) 0.85、(n -1) 12 (n -2) -0.85、(n -3) -0.25、(n -4)是一個線性相 位FIR系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)，則序列通過這個系統(tǒng)的群延遲為( A )。A.2B.3C.4D.514. 一個線性時不變系統(tǒng)，其單位沖擊響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為hn, H(z)，其逆系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為 hin, Hi(z)，逆系統(tǒng)的定義是滿足H(z)Hi(z)=1的系統(tǒng)。 則，這兩個系統(tǒng)串聯(lián)起來總的系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)為()。A.0B.1 C.、n D.1/、n15. 一個線性相位系統(tǒng)其單位沖擊響應(yīng)的長度為50,則信號通過系統(tǒng)后將延遲(A)A. 25B.50 C. 100

6、D. 20016. 快速傅立葉變換(FFT)能夠?qū)崿F(xiàn)快速計算的主要原因是：(D )。A.正弦余弦函數(shù)的周期性B.正弦余弦函數(shù)的對稱性C.正弦余弦函數(shù)的周期性和對稱性D.將一個長的DFT化為較短的DFT進行計算17. 線性相位系統(tǒng)的優(yōu)勢是：(B )。A.系統(tǒng)頻率響應(yīng)是線性的B.保證群延遲是一個常數(shù)C.使相移最小D.具有平坦的幅度特征18. 某FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=1+0.9zT 0.9z3 z4，則該系統(tǒng)屬于(D )。A.N為奇數(shù)的偶對稱線性相位濾波器B.N為偶數(shù)的偶對稱線性相位濾波器C.N為奇數(shù)的奇對稱線性相位濾波器D.N為偶數(shù)的奇對稱線性相位濾波器19. 利用基2的FFT計算長度

7、為2048點的序列的DFT時，其復(fù)數(shù)乘法的優(yōu)化比是 (B )。A. 186.18B. 372. 36 C. 0.005371 D. 0.00268520. 一個穩(wěn)定的模擬濾波器通過沖擊響應(yīng)不變法映射為數(shù)字濾波器，可能會有()問題。A.數(shù)字濾波器不一定穩(wěn)定B.頻率畸變C.混疊效應(yīng)D.低通濾波器變成了高通濾波器21. 利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器時，過渡帶的寬度近似等于(A )A. 窗函數(shù)頻譜幅度函數(shù)的主瓣寬度B. 窗函數(shù)頻譜幅度函數(shù)的主瓣寬度的一半C. 窗函數(shù)頻譜幅度函數(shù)的第一個旁瓣寬度D. 窗函數(shù)譜幅幅度函數(shù)的第一個旁瓣寬度的一半數(shù)字信號處理第 3頁(共 頁)22. 利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波

8、器時，與矩形窗相比，漢明窗的優(yōu)勢為濾波器（ B ）A.過渡帶更窄B.阻帶衰減更好C.通帶波動更大D.沒有混疊效應(yīng)23. 與微處理器相比，DSP芯片不具有的優(yōu)勢是（）。A.采用哈佛總線結(jié)構(gòu)B.具有眾多事務(wù)處理中斷C.具有高速的片內(nèi)數(shù)據(jù)存儲器和程序存儲器D.具有高速陣列乘法器等專用硬件24. DSP芯片的哈佛總線結(jié)構(gòu)的主要特點是（A）。A.采用流水線作業(yè)B.具有高速的I/O接口C.具有高速的片內(nèi)數(shù)據(jù)存儲器和程序存儲器 D.具有高速陣列乘法器等專用硬件二、判斷題：1采樣頻率大于信號最高頻率時，即不會發(fā)生欠采樣問題。（X）2、如果一個系統(tǒng)的輸入 x（n）與輸出y（n）滿足y（n） = g（n）x（n）

9、，則這個系統(tǒng)一定穩(wěn)定。 （X ）3、 FIR濾波器基本結(jié)構(gòu)與IIR濾波器基本結(jié)構(gòu)具有相同的基本運算單元類型。（V ）4、 離散線性系統(tǒng)的輸出序列是輸入序列和系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)的卷積和。（X ）5、 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)即系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)的Z變換。（V ）6、 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)即系統(tǒng)傳遞函數(shù)在單位圓上的特例。（V ）7、 設(shè) h（ n） =0.5 （n） 0.55 （n-1） -0.55 （n- 2）-0.5、（n-3）是一個系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)，則這個系統(tǒng)是廣義線性相位的。（V）8 FIR濾波器不一定總是穩(wěn)定的。（X ）9、 利用DFT進行序列頻譜分析時，由于信號截短產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)。（X）10、系統(tǒng)的頻率

10、響應(yīng)即系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)的離散時間傅立葉變換（V）。11、 IIR濾波器基本結(jié)構(gòu)與FIR濾波器基本結(jié)構(gòu)具有不同的基本運算單元類型。（X ）12、 序列x（n）的N點按時間抽取基2-FFT與按頻率抽取基2-FFT的計算次數(shù)相同。（V ）13、離散卷積的快速算法一般是通過 FFT來實現(xiàn)的。（V ）14、 快速傅立葉變換（FFT）主要是利用正弦余弦函數(shù)的周期性和對稱性實現(xiàn)的。（X）15利用DFT進行信號頻譜分析，由于在時域要將信號截短，在頻域即會產(chǎn)生頻譜泄 漏問題。（V ）16、FIR濾波器的差分方程是遞歸的。（X ）17、 線性相位FIR濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)可以節(jié)省一半的乘法器。（V ）18、由于混

11、疊效應(yīng)，用沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計IIR濾波器不能將模擬的高通濾波器和帶阻 濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器。（V）19、線性相位濾波器能夠保證不同頻率的信號具有相同的群延遲。(V )20、用窗口函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器時，在相同的窗函數(shù)的長度下，漢寧窗比矩形窗能產(chǎn)生更優(yōu)化的過渡帶。( X )21、 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器時，最小阻帶衰減由窗函數(shù)的長度決定。(X )22、 濾波性能相似的IIR濾波器和FIR濾波器，IIR濾波器的階數(shù)高于FIR濾波器。(X)23、 IIR濾波器不能利用FFT改善運算速度(V )。24、 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器時存在頻率混疊失真。(X )三、證明及計算題：1、當系統(tǒng)

12、為線性平移不變系統(tǒng)時，試證明輸入信號x(n)、系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)h(n)以及輸出信號y(n)之間的關(guān)系為y(n) =x( n)*h( n)。(10%QOxn =xk、n _kkqQyn二Txn二Txk、n-kk -：From principle of superposition, we haveody(n)x(k)T、(n-k)kOn another hand, h(n)= T n), if the system is time-invariant, h(n - k)=T、(n -k)So,ynY Xkhn-kk=-ooThis equation is commonly called thCo

13、nvolution Sum2、證明z變換的時移性質(zhì)，即，如果X(z)為序列x( n)的z變換，y(n )=x( n-k)，其中 k 為一整數(shù)，貝U, Y(z) =X(z)z*QO證明：X(z)二、x(n)z 而 y(n) =x(n -k)QOCOY(z)y(n)z *x(n - k)z"工n =n :二 _x(n -k)z°n*z =n =OQz妝k(n -k)二 z x(n -k)zn-k 3、證明Z變換的卷積定理，即，如果y(n)=x(n)* h(n)，則Y(z) = X(z)H (z)，其中, Y(z), X(z)和 H (z)分別是 y(n), x(n)和 h(n)

14、的 Z 變換。證明：oOoOoOX(z) =x(n )z，H(z)=h(n )z， Y(z) = y(n )znn -二n 二二qQ另一方面，離散卷積的定義為：y(n)=x(n)*h(n) ' x(k)h(n - k)kjQO兩邊取z變換，有：qQqQY(z)' x(k)h(n k)z山n-一： k -.：:odod二 ' x(k)z上' h(n-k)z巳=X(z)H(z)k -一： ：n -.：:故Y(z) = X(z)H (z)4、計算序列x(n)=(2)nu( n -1)的z變換，并給出其收斂域 解：根據(jù)z變換的定義有QOQ0X(z)二 ' x(n

15、)z二、(2)nu(-n-1)z，收斂域為:|0.5z| 1即|zh 2nn =-：:SOQOn nmm=為(2) z = = (0.5) zn =/m T0.5z11-0.5z1-2z'5、一個線性時不變系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng) h(n)=尺8(n)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并給出幅度響 應(yīng)和相位響應(yīng)。解：系統(tǒng)的頻率響即單位沖擊響應(yīng)的離散時間傅立葉變換： ：17H(ej )二、h(n)n 八nn =- ： ：n =01-寸18'1一訂e"9(ej»-eT9)二 eWeM-e"/2)0,2 )j8.5 sin(9 )Dsin® /2)因此:系統(tǒng)的幅度響

16、應(yīng)為|H(ej )F (9), 0,2：) sin 伸/2)系統(tǒng)的相位響應(yīng)為argH(ej )8.5- 0,2：)(還有另一種解法，你自己能做出來嗎？參見下一題6、一個線性移不變系統(tǒng)可以用下列差分方程表示，且系統(tǒng)是因果系統(tǒng):5 11y(n) -y(n 1) - y(n 2) = x(n) ：x(n1)6 62(1) 利用z變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)和單位脈沖響應(yīng)h(n)；求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H (er )；(3)畫出系統(tǒng)一階級聯(lián)形式結(jié)構(gòu)圖.(15%)解：(1)差分方程兩邊取z變換，有：Y(z)(i_6" 6z»x(z)(i夕) 因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H()竺 (1 0.5z)

17、X (z) f)(1z)-533 2因此，系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)為:宀21 1h(n) =6(-) -5(-)'u(n)2 3(2)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為:H(ej ) = H (z) jw)二1 -嚴汨 6exp(m)(3)系統(tǒng)的一階級聯(lián)形式結(jié)構(gòu)圖(信號流圖)如下:O-xn*oOO-o-oz-iIi1z-yn卄°.1/1Jo1/ 呻37、一個線性移不變系統(tǒng)可以用下列差分方程表示，且系統(tǒng)是因果系統(tǒng): y( n)- 0.2y( n-1) = x (n) +0.8x( n-1)(1) 利用z變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)和單位沖擊響應(yīng)h(n)；求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(e)；(3)畫出系統(tǒng)直接I型

18、和直接II型結(jié)構(gòu)圖.解：(1)方程兩邊取z變換，有：Y(z)(1 0.2z)二 X(z)(10.8z)因此,傳遞函數(shù)：H二丫0二(1 0,)X(z) (1-0.2z )單位沖擊響應(yīng)：h(n) =zH(z) =(0.2)nu(n) 0.8(0.2)n'u(n-1) 頻率響應(yīng)為：H(ej )' 0.8珂(7 ')(1 _0.2exp(_jco)(3)直接I型和直接II型結(jié)構(gòu)圖如下數(shù)字信號處理第 11頁(共 頁)8、如果一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z) =1.2 - 3.2z-3.2z，-1.2z(1) 求其單位沖擊響應(yīng)；(2) 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并給出幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)

19、；(3) 畫出系統(tǒng)的線性相位結(jié)構(gòu)圖。(12%)解：(1)對H(z)進行逆z變換，系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)為：h(n) =1.2、(n) 3.2 (n-1)-3.2、(n-2)-12 (n - 3)(2) 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H (ejc°) = H (z) |z=j= 1.2 + 3.2eT灼-3.2 -1.2j3°二 e" (1.2ej23.2ej , -3.2j -1.2jZ )二 e" 2.4 j sin(2 ) 6.4j sin()因此，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為|H(ej )|=2.4sin(2 ) 6.4sin()argH (ej )石 - 2(3)

20、 系統(tǒng)的線性相位型結(jié)構(gòu)為：yn 1.2I2.4X9、一個有限單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)為線性相位系統(tǒng)，即它的相頻特征為: 證明系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)對稱。證明：H ejQ 二 Aej" eQ j A ejQ cos B-Qa jA ejQ sin BQaodsin B- Qacos B - Qa-送 hbbin(Qn)n 二qo' h bCos Qn' h h Cos Qn sin B - Qa - ' h h din Qn cos B - Qa 二 0n 二：n=二整理后，有：v h n sin B -Qa Qn h n sin B Q n - al - 0 nn=jQd

21、QO' h n s inB Q na二 0由于sin是對稱的，所以:h2 n = hn】10、對于一個沖擊響應(yīng)長度為 N的有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器，如果其單位脈沖響應(yīng) 滿足偶對稱，即，h(n) =h(N 1 n)假設(shè)N為奇數(shù)，試證明這個濾波器是一個線性相位系統(tǒng)。 證明：N -1If hn=hN-1- n, where N is odd, and the center is,2N -4 1 N 4_Nz1 2H (z)hn z43 =z 2 ' (hn zn £n £X匚AN")hn z 2 h N -1 - n z 2the frequency

22、 response is:N 4 “.N 4.1H(ej )'hN -1-nh弩二 hn( z 2zl).N 42n =0N 412、hn cos(n =0hn(e 2In廠2|H(ej )F|A( J|N -1 h 2N _1arg(H (ej )=¥=e 2* A()=-TW11、按時間抽選的方法，證明基2的FFT算法。即證明一個長為N的序列的DFT可以 分解為兩個N/2的DFT進行計算。證明：對xn的DFT按n為奇數(shù)和n為偶數(shù)進行劃分，有：N JX 収丄 xne= 2/N knn亠N JN Jxne_j 2/N kn 、xnrj 2八 knn =evenn =oddSu

23、bstitute variables n=2r for n even and n=2r+1 for oddN /2JN/2二xklx2rWfk' x2r 1WN2r 1kr -0r -0N/2 JN/2 Jrkkrk=Z x2rWN/2+Wn 送 x2r+1WN/2r=0X1k and X2k are tQe N*-poix1k 1-wNx21N N 2TTr 0s of each subsequenceXk）八 （）也r =0A八 x（2r）W：kr £數(shù)字信號處理第 17頁（共 頁）AAX2（k）二' X2（r）W=' x（2r 1）WNTkN0n r=0

24、 k*NNX（k ） = X1（k） WN 7X2（k）2=X1（k）wN；X2（k）, k =0,1，,t-1N 點的 DFT 可由兩個 N/2 點的 DFT 來計算。 The process may be repeated to attain yet further improvement.12、按照512點和1024個點，分析FFT相對DFT的復(fù)數(shù)乘法的優(yōu)化程度。 解：對xn的DFT按n為奇數(shù)和n為偶數(shù)進行劃分，有：2 1解：對于長度為N的序列，DFT的計算量為N2，而FFT的計算量-Nlog2 N。所以優(yōu)化比為二2Nlog 2 N當N=512時，r=128倍，當N=1024時，r=20

25、4.8倍。計算規(guī)模越大，優(yōu)化比越大13、用雙線性法設(shè)計一個截止頻率為 200Hz的二階低通Butterworth濾波器，設(shè)系統(tǒng)的采樣頻率F s =500Hz，已知原形低通模擬濾波器為：行尿亍2。1Jt X解：變換到原型濾波器頻率坐標：尬2皐X 200)=tg(04 ) = 3.07768 rad /sec 500日乩(亠)1S廠'c 11.414() ()2Qc 0c雙線性變換:、 0.068 + 0.134Z+0.068Z，H (z)二 H (s) |1z12 一s11-1.142Z0.413z1 +z14、基于窗口函數(shù)法，利用矩形窗，設(shè)計一個一線性相位低通濾波器，要求c = 03二且 N=25。求出系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)。解：HdCc0-二-c,