隨 機(jī) 信 號(hào) 分 析

1、隨隨 機(jī)機(jī) 信信 號(hào)號(hào) 分分 析析 1 1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程2 2 平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析3 3 隨機(jī)過程通過系統(tǒng)的分析隨機(jī)過程通過系統(tǒng)的分析4 4 離散隨機(jī)信號(hào)特征的估計(jì)離散隨機(jī)信號(hào)特征的估計(jì)1 1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 1.1 隨機(jī)過程的基本概念1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程1.3 馬爾科夫過程1.4 正態(tài)隨機(jī)過程1.5 泊松過程一、定義二、隨機(jī)信號(hào)的分類三、隨機(jī)過程的概率分布四、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念一、定義隨機(jī)過程定義1： 設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)， =是其樣本空間，如果對(duì)于每一個(gè)，總可依某種規(guī)則確定一參數(shù)為t的實(shí)值函“X(,t), t”與

2、之對(duì)應(yīng)；當(dāng)取遍時(shí)，便得到了定義在 T 上的一族時(shí)間t的函數(shù)，稱它為隨機(jī)過程。族中的每個(gè)函數(shù)即為該過程的一個(gè)樣本函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”，是參數(shù)t的變化范圍，稱為“參數(shù)集”，一般表示時(shí)間集合，隨機(jī)過程可簡記為X(t)。 隨機(jī)過程也可看成是變量、t 的函數(shù)，其含義分別為： 若、t均為變量， X(t)是一個(gè)時(shí)間函數(shù)族； 固定、t為變量，指隨機(jī)過程的一個(gè)樣本“實(shí)現(xiàn)”，X(t)是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)；1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念t固定、為變量，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量； 、t 均固定，X(t)是該過程某一樣本所對(duì)應(yīng)的 t 時(shí)刻的函數(shù)值。隨機(jī)過程定義2： 若對(duì)于每個(gè)特定的時(shí)刻

3、ti (i=1,2,)，X(,ti) 都是隨機(jī)變量，則稱 X(,t) 為隨機(jī)過程。 通常，將連續(xù)型隨機(jī)過程 X(,t) 簡記為 X(t) ，將該過程的一個(gè)樣本函數(shù)（或稱該過程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”）簡記為 x(t)。 將離散型隨機(jī)過程 X(,n) 簡記為 X(n) ，將該過程的一個(gè)樣本函數(shù)（或稱該過程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”）簡記為 x(n)。通常，將連續(xù)型隨機(jī)過程 X(,t) 簡記為 X(t) ，將該過程的一個(gè)樣本函數(shù)（或稱該過程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)”）簡記為 x(t)。1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念將離散型隨機(jī)過程 X(,n) 簡記為 X(n) ，將該過程的一個(gè)樣本函數(shù)（或稱該過程的一個(gè)“實(shí)現(xiàn)

4、”）簡記為 x(n)。例如：均勻分布高斯分布柯西分布1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念二、隨機(jī)信號(hào)的分類按照時(shí)間和狀態(tài)的連續(xù)性分類 時(shí)間及狀態(tài)取值都連續(xù) 時(shí)間及狀態(tài)取值都離散 時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散 時(shí)間離散狀態(tài)連續(xù)按照樣本函數(shù)的形式分類 不可預(yù)測(cè)型隨機(jī)信號(hào) 部分可預(yù)測(cè)型隨機(jī)信號(hào)按照統(tǒng)計(jì)特性分類 高斯型過程 馬爾可夫過程 獨(dú)立增量過程 1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念三、隨機(jī)過程的概率分布. .t1 1 一維概率分布一維概率分布設(shè) X(t),t T 是隨機(jī)過程，x為實(shí)數(shù)，隨機(jī)過程的一維概率分布描述為：定義：FX(x,t) = PX(t)x 為X(t)的一維分布。

5、如果FX(x,t)的一階導(dǎo)數(shù)存在，定義：px(x,t) = FX(x,t)/x 為X(t)的一維概率密度。xXX0F (x, t)1 , F (x, t)p(x,t)dx , p(x,t)dx11.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念2 2 二維及多維概率分布二維及多維概率分布t. . . 對(duì)于任意兩個(gè)不同時(shí)刻 t1 T、t2 T， x1、x2為實(shí)數(shù)，隨機(jī)過程的二維聯(lián)合概率分布描述為：定義：FX(x1,x2,t1,t2) = PX(t1)x1,X(t2)x2 為X(t)的二維分布。如果FX(x1,x2,t1,t2)的偏導(dǎo)數(shù)存在，定義：pX(x1,x2,t1,t2) = 2FX(x1

6、,x2,t1,t2)/x1x2 為X(t)的二維概率密度。 1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念四、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1.隨機(jī)信號(hào)的矩定義：設(shè)X(t)、Y(t)均為隨機(jī)信號(hào)，E 表示求統(tǒng)計(jì)平均，則：若EXk,k=1,2,存在，稱其為X(t)的K階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩；若X-E(X)k ,k=1,2,存在，稱其為X(t)的K階中心矩；若XkYL ,k、L=1,2,存在，稱其為X(t)和Y(t)的K+L階混合原點(diǎn)矩；若X-E(X)kY-E(Y)L ,k、L=1,2,存在，稱其為X(t)和Y(t)的K+L階混合中心矩；2.均值函數(shù)（數(shù)學(xué)期望）在M次測(cè)量中，測(cè)得結(jié)果為x1的次數(shù)m1、測(cè)得

7、結(jié)果為x2的次數(shù)m2、 測(cè)得結(jié)果為xk的次數(shù)mk ：1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念kkxiixiii 1i 1EX( )( )EX( )( )( )mx p xmnnx n p x或：k1122kkiii 12k.().Mx mx mx mmxmmmx(t)EX(t)( , )xp x txmd1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念222Xm(t)EX (t)( , )x p x t dx1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念dxtxptmxxtmxtXEt),()()()()(D22xdxtxptmxxtXEt),()()()(D22x)()

8、()(XtmtXtx22XXD (t)EX(t)m (t) ( )var ( )Xtx t2XX( )( )var ( )D (t)Xttx tx121212121212R (t ,t )EX(t )X(t )( ,; , )x x p x x t t dx dx x121x12x212x1x2C (t ,t )EX(t )m (t )X(t )m (t )(t ,t )m (t )m (t )xR1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念4.互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：表示兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)關(guān)系5.隨機(jī)信號(hào)間的 “獨(dú)立、不相關(guān)及正交關(guān)

9、系”如果 X(t)、Y(t) 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有: xy1212R(t ,t )EX(t )Y(t )xy121x12y2y12x1y2C (t ,t )EX(t )m (t )Y(t )m (t )(t ,t )m (t )m (t )xRxy12x1y2px y t tp x t p y t（ , ; , ） （ ; ) ( ; ）1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念如果 X(t)、Y(t) 互不相關(guān)，則有：如果 X(t)、Y(t) 相互正交，則有：隨機(jī)過程間若相互獨(dú)立，則必互不相關(guān)（反之不一定）隨機(jī)過程間的正交性與相關(guān)性一般沒有直接關(guān)系，但若其中任一隨機(jī)過程的均值為零，則正交

10、性與相關(guān)性是一致的。 XY121212x1y2R(t t )E X(t )Y(t )E X(t ) E Y(t )m (t )m (t ),XY121x12y21x12y2C (t t )E X(t ) m (t )Y(t ) m (t )E X(t ) m (t ) E Y(t ) m (t )0,xy1212R (t ,t )EX(t )Y(t )01.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念6.隨機(jī)信號(hào)的特征函數(shù)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)：隨機(jī)信號(hào)X（t）的一維特征函數(shù)n維特征函數(shù)7.隨機(jī)信號(hào)的微積分運(yùn)算時(shí)間連續(xù)隨機(jī)過程的微積分隨機(jī)信號(hào)數(shù)字特征的微積分1.1 1.1 隨機(jī)過程的基本概念

11、隨機(jī)過程的基本概念kjwxkxjwxxkexpwdxexpw)()(C)()()(C離散（連續(xù)）)(exp);(),(tjwXEdxetxptwjwxx)()(exp),;,(1111xnnnntXjwtXjwEttww一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念二、平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)（遍歷）性1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的主要特征：過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間改變。從分布函數(shù)描述：如果對(duì)于任意的 n ，都有 t1,t2, tnT , 和任意實(shí)數(shù)T ，使得 n 維隨機(jī)變量：具有相同的分布函數(shù)，則稱隨機(jī)過程 X(t), T 是嚴(yán)平穩(wěn)（狹義平穩(wěn)）隨機(jī)過程。從數(shù)字特征描述：1.

12、對(duì)所有整數(shù)1kn和所有t1、t2、tk及，其k階矩有界；2. 其k階矩與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)：mx(t1、tk) = mx(t1+,tk+)，則該隨機(jī)過程是平穩(wěn)的（嚴(yán)平穩(wěn)）。1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程12n12nX(t ),X(t ),.X(t ) X(t + ),X(t + ),.X(t + ) 和寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征：由上述第2、3項(xiàng)特征導(dǎo)致：寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)：X2XX1 EX(t) m2 EX (t) 3 R (t,t)R ( )均值為常數(shù)： 二階矩有界： 相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)： XXXXC (t,t)EX(t)m X(t)m C ( )1.2 1

13、.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程二、平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)（遍歷）性各態(tài)歷經(jīng)性定義：設(shè)運(yùn)算符號(hào)At 表示求時(shí)間平均，即：如果： 則稱X（t）為均值各態(tài)歷經(jīng)的。如果： 則稱X（t）為自相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)的。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，可用該過程的一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均計(jì)算該隨機(jī)過程的集合平均，各態(tài)歷經(jīng)性保證了兩種平均以概率1相等。1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程TTTtdttXTtxA)(21lim)(TTTtdttxtxTTtxtxA)()(21lim)()(xtmtxEtxA)()()()()()()(xtRtxtxEtxtxA各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的部分運(yùn)算特性：根據(jù)定義，各態(tài)歷經(jīng)過程必為平穩(wěn)隨機(jī)過程

14、，所以其均值、方均值、方差都為常數(shù)：各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)僅相差一個(gè)函數(shù)：1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程xxmtmtXE)()(22)()(2xxmtmtXExxxmm222)()()(txtxERxxxxxxmRmtxmtxEC2)()()()()()()(mnxnxEmRxxxxxxmmRmmnxmnxEmC2)()()()(各態(tài)歷經(jīng)過程的一、二階矩函數(shù)的物理意義設(shè)x(t)表示一隨機(jī)電信號(hào)，對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)過程，可用其時(shí)間平均替代其集平均：數(shù)學(xué)期望： 相當(dāng)于信號(hào)的直流分量相關(guān)函數(shù)0點(diǎn)值： 相當(dāng)于信號(hào)的平均功率方差： 相當(dāng)于信號(hào)的交流功率分量1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平

15、穩(wěn)隨機(jī)過程TTTxdttxTtXEm)(21lim)(TTTxdttxTtxER)(21lim)()0(22TTxTxdtmtxT2)(21lim2均值便利性充要條件的分析： 設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)離散隨機(jī)序列，均值為mx ,XN(n)是該序列的一個(gè)剎那高度為N的樣本序列，樣本均值為： ，定義 為均方收斂于mx:則隨機(jī)過程的樣本均值在均方意義下收斂的沖分必要條件是：（1）（2）1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程10)(1)(NnNxnXNNm)(Nmx0|)(|lim2mxNmExNxxNmNmE)(lim0)(limNmVarxNxxNmNm)(lim1.2 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)

16、過程0)(limkCxk由此導(dǎo)出：均值便利性定理1：設(shè)x(n)是自協(xié)方差Cx(k)的廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，x(n)為均值遍歷性隨機(jī)過程的充分必要條件是：均值遍歷性定理2：令x(n)是自協(xié)方差Cx(k)的廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，x(n)為均值遍歷性隨機(jī)過程的充分條件之一是：100)(1limNkxNkCN一、馬爾可夫過程的概念二、馬爾可夫序列三、馬爾可夫鏈1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程一、馬爾可夫過程的概念1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程 當(dāng)已知隨機(jī)過程在時(shí)刻 所處的狀態(tài)的條件下，過程在時(shí)刻 所處的狀態(tài)與過程在時(shí)刻以前的狀態(tài)無關(guān)，而僅與過程在 所處的狀態(tài)有關(guān)，則稱該過程為馬爾可夫過程。這

17、種特性稱為隨機(jī)過程的“無后效性”或馬爾可夫性。分為四類：1 T和E都取連續(xù)集時(shí)，稱為馬爾可夫過程。2 若T取連續(xù)集而E取離散集時(shí)，稱為可列馬爾可夫過程。3 若T取離散集而E取連續(xù)集時(shí)，稱為馬爾可夫序列。4 若T和E都取離散集時(shí)，稱為馬爾可夫鏈。狀態(tài)可列的馬爾可夫鏈稱為可列馬爾可夫鏈；狀態(tài)有限的馬爾可夫鏈稱為有限馬爾可夫鏈。it)(itt itit二、馬爾可夫序列1.馬爾可夫序列的定義1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程 設(shè) 表示隨機(jī)過程X(t)在t為整數(shù)時(shí)刻的取樣的隨機(jī)序列，記為 簡記為 或 ，則可按以下方式定義馬爾可夫序列。定義:若對(duì)于任意的n，有 則稱此 為馬爾可夫序列。這一概率密度函

18、數(shù)稱為轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)。 可以推出 即聯(lián)合概率密度函數(shù)可由轉(zhuǎn)移概率密度和起始時(shí)刻的一維概率密度來確定。 ,21nXXX, 2 , 1),( nnnX)(nXnX)|(),|(1121 nnXnnnXxxfxxxxfnX)|(),(121 nnXnXxxfxxxf)|(21nnXxxf)|(12xxfX )(1xfX2.馬爾可夫序列的性質(zhì)(1)一個(gè)馬爾可夫序列的子序列仍為馬爾可夫序列。(2)一個(gè)馬爾可夫序列按其相反方向組成的逆序列仍為馬爾 可夫序列。即對(duì)于任意的整數(shù)n和k,有1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程|,|111 nnnnXXEXXXE(3)|(),|(11 nnXknnnXxxf

19、xxxf(4)若 ，并在給定 條件下，隨機(jī)變量 與 是獨(dú)立的，則有 srnrXnXsX)|()|()|,(rsXrnXrsnXxxfxxfxxxf（5）若對(duì)于任意n，序列 滿足 則該序列為2重馬爾可夫序列。,11XXXnn ),|(),|(21121 nnnXnnnXxxxfxxxxf此概念可推廣到n重馬爾可夫序列。對(duì)于多個(gè)序列有（6）如果條件概率密度 與 無關(guān)，則稱該馬爾可夫序列是齊次的。（7）如果一個(gè)馬爾可夫序列是齊次的，并且所有的隨機(jī)變量 具有相同的概率密度，則稱該馬爾可夫序列是平穩(wěn)的。（8）對(duì)于 馬爾可夫序列的轉(zhuǎn)移概率滿足此式就是有名的切普曼柯爾莫哥洛夫方程（C-K方程）。1.3 1.

20、3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程),|,(111222111zyxzyxzyxzyxFnnnnnnnnnXYZ )|,|,|(),|,(1111111nnnnnnXYZnnnnnnXYZzzyyxxfzyxzyxf)|(1nnXxxfnnX, srnrsrXrnXsnXdxxxfxxfxxf)|()|()|(三、馬爾可夫鏈1.馬爾可夫鏈的定義定義：設(shè) 為一隨機(jī)序列，其狀態(tài)空間 ，若對(duì)于任意的n滿足則稱 為馬爾可夫鏈（簡稱馬氏鏈）。2.馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率及性質(zhì)（1）一步轉(zhuǎn)移概率在齊次條件下，令式中 時(shí)，有稱為一步轉(zhuǎn)移概率。由所有一步轉(zhuǎn)移概率 構(gòu)成的矩陣1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程, 2

21、 , 1, nXn,21NaaaE |,|)1(1)()1(1)2(2)1(1)( ninninininninninaXaXPaXaXaXaXPnX1k) 1 (ijpijijpmmp ) 1,(ijp稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡稱轉(zhuǎn)移概率矩陣。（2） n步轉(zhuǎn)移概率 在齊次條件下，令式中 時(shí)，可得到 步轉(zhuǎn)移概率1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程 NNNNNNppppppppp212222111211P 10ijpNjijp11 nk n)(npij|),(imjnmijaXaXPnmmp由所有n步轉(zhuǎn)移概率 可構(gòu)成 n步轉(zhuǎn)移概率矩陣 為了數(shù)學(xué)處理便利，通常規(guī)定 1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾

22、科夫過程)(npij )()()()()()()()()()(212222111211npnpnpnpnpnpnpnpnpnNNNNNNP（1） 1)(0npijNjijnp11)(（2） jijiaXaXPmmpijimjmij01|),(（3）切普曼-柯爾莫哥洛夫方程（C-K方程） 對(duì)于 步轉(zhuǎn)移概率，有如下的切普曼-柯爾莫哥洛夫方程的離散形式 若用概率矩陣表示，有 當(dāng) 時(shí)，有 同理可推出，當(dāng) n=k 時(shí)，有 即任意k步轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣自乘k次來得到。（4）初始分布與絕對(duì)分布定義1 設(shè) 為一馬氏鏈，其狀態(tài)空間或?yàn)橛邢拮蛹?。?且對(duì)任意的 均有1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科

23、夫過程lkn)()()()(1kplplkpnprjNririjij)()()(klnPPP22)()1 () 1 () 1 ()2(PPPPPkkkk)()1 () 1() 1 ()(PPPPP2n, 2 , 1 , 0),( nnX, 2, 1, 0 EEiiXPpi,)0()0(Ei1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程（1）0)0(ip（2）1)0(Eiip 則稱 為該馬氏鏈的初始分布，也稱初始概率。初始概率是馬氏鏈在初始時(shí)間 時(shí)處于狀態(tài)i的概率。 當(dāng) 時(shí)，馬氏鏈處于狀態(tài)i的概率稱為絕對(duì)概率或絕對(duì)分布。定義2 設(shè) 為一馬氏鏈，其狀態(tài)空間 或?yàn)橛邢拮蛹?。?且對(duì)任意的 均有 則稱 為該

24、馬氏鏈的絕對(duì)分布，也稱絕對(duì)概率。定理 馬氏鏈的絕對(duì)概率由初始分布和相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率唯一確定。),0(Eipi0n1n, 2 , 1 , 0),( nnX, 2, 1, 0 EEiinXPnpi,)()(Ei（1）0)(npi（2）1)(npEii),(Einpi推論：馬氏鏈的絕對(duì)概率由初始分布及一步轉(zhuǎn)移概率唯一確定。 由馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率和初始分布，不僅可以完全確定其絕對(duì)分布，也可以完全確定其有限維分布。即1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程, n,1010niniiaXaXaXP 11001100| nnniniiiiP XaXaP XaXaP Xanniiiiippp1100 |,0100

25、10iiiniaXaXaXPaXPn 3.轉(zhuǎn)移圖（狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與概率轉(zhuǎn)移圖）若一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為則相應(yīng)的概率轉(zhuǎn)移圖如圖1-1所示。4.馬氏鏈中的狀態(tài)分類（1）到達(dá)與相通 定義3（到達(dá)定義）：如果對(duì)于狀態(tài) 與 （可簡寫為i和 j)總存在某個(gè) ，使得 ，則稱自i狀態(tài)經(jīng)過n步可以到達(dá)j狀態(tài)，并記為 反之，若對(duì)所有的 有 ，則自i狀態(tài)不可以到達(dá)j狀態(tài)，并記為到達(dá)具有傳遞性，即若 , ,則1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程pqpqpppp11100100Piaja) 1(n0)(npijji ) 1(n0)(npijijri jr ji 定義4（相通定義）：若自狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j，同時(shí)自狀態(tài)j也可達(dá)狀

26、態(tài)i，則稱狀態(tài)和狀態(tài)相通，記為 相通具有以下等價(jià)關(guān)系： 若 ，則 ,自返性 若 ，則 ，對(duì)稱性 若 ， ，則 ，傳遞性（2）狀態(tài)的分類 定義5 設(shè) 為一馬氏鏈，對(duì)任一狀態(tài)i與j，稱為 自狀態(tài)i出發(fā)首次進(jìn)入狀態(tài)j的時(shí)刻，或稱為自i到j(luò)的首達(dá)時(shí)。 是一隨機(jī)變量。另外， 可能永不取值i，這時(shí)我們就規(guī)定 1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程ji ii ij jr ri ii ji ji , 2 , 1 , 0),( nnX0,min0njXiXnTnij, 2 , 1 , 0),( nnXijTnXijT定義6 設(shè) 為一馬氏鏈，對(duì)任一狀態(tài)i與j，稱為 自狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)過n步首次進(jìn)入狀態(tài)j的概率。顯然

27、有 從而定義7 設(shè) 為一馬氏鏈，對(duì)任一狀態(tài)i與j，稱為 自狀態(tài)i出發(fā)遲早要到達(dá)狀態(tài)j的概率。 顯然有1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程, 2 , 1 , 0),( nnX|)(0iXnTPnfijij, 2 , 1 , 0),( nnX|1, 2 , 1,;)(0iXnmjXjXPnfmnij jijijiiiiinnnppp1112111,|) 1 (01iXjXPpfijij|,)(0iXmjXPfmij對(duì)一切, 2 , 1 , 0),( nnXnTPiXnTPnnffijijijij101|)(, 2 , 1 , 0),( nnXijijijfTPf1)(1)(0ijijfnf定理

28、 對(duì)任何狀態(tài) ，有 定義8 如果 ，則稱狀態(tài)j是常返的。如果 ，則稱狀態(tài)j是非常返的（或稱為瞬時(shí)的）。如果馬爾可夫鏈的任一狀態(tài)都是常返的，則稱此鏈為常返馬爾可夫鏈。定理5 的充要條件是 如果狀態(tài)j是非常返的，則必有 設(shè)i是一常返態(tài)，則從i出發(fā)可經(jīng)過n 步首次返回i， 在 的條件下的分布列為由數(shù)學(xué)期望的定義，可得 稱 為狀態(tài)i的平均返回時(shí)間。 1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程1,nEjinljjijijlnplfnp1)()()(1jjf1jjf0ijfji 0)(limnpjjn), 2 , 1( niiT12nPiiT) 1 (iif)2(iif)(nfii1)(niiiiinnfT

29、Euiu定義9 設(shè)i是常返態(tài)，如果 ，則稱狀態(tài)i是正常返態(tài)；如果 ,則稱狀態(tài)i是零常返態(tài)。定理 設(shè)i為常返狀態(tài)，有周期 ,則 如果j是常返態(tài)，則 （1）j零常返當(dāng)且僅當(dāng) （2）j遍歷當(dāng)且僅當(dāng)定義10 對(duì)于狀態(tài)i，若正整數(shù)集合 非空，則稱該集合的最大公約數(shù)L為狀態(tài)i的周期。若 ，則稱狀態(tài)i是周期的，若 ，則稱狀態(tài)i是非周期的。如果狀態(tài)i是非周期且正常返的，則稱狀態(tài)i是遍歷的。1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程iuiulim( )jjnjLpnu(1)L L lim( )0jjnpn1lim( )jjnjpnu1L0)(, 1:npnnii1L馬氏狀態(tài)分類圖1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科

30、夫過程狀態(tài)分類判別法： 1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程1lim( )0iinip n（2）i零常返1( )iinp n且lim( )0iinp n1( )iinp n且lim( )0iinp n（4）i遍歷 1( )iinp n且（3）i正常返（1） i非常返1( )iinpn 引理1 對(duì)任意i和j，若 ，則存在正數(shù) 、及正整數(shù)l、m，使對(duì)任一正整數(shù)n，有 ()( )( )( )( )()( )( )( )( )iiijjjjijjjjjiiiijiip lnmp l pn pmpnplnmpl p n pmp n ij1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程定理 若 ，則 i與j同

31、為常返或同為非常返； 若i與j常返，則i與j同為正常返或同為零常返； i與j或同為非周期的，或同為周期的且有相同的周期。（3）遍歷性與平穩(wěn)分布定義11：設(shè)齊次馬氏鏈 的狀態(tài)空間為E，若對(duì)一切 ，存在不依賴于i的極限則稱馬爾可夫鏈具有遍歷性。并 稱為狀態(tài)j的穩(wěn)態(tài)概率。定理9 對(duì)于一有限狀態(tài)的馬氏鏈 ，若存在一正整數(shù)m，使 （對(duì)所有的狀態(tài) ） ij( ),0X nn lim( )ijjnpnp, i jEjp ( ),1,2,3.n n( )0ijpm ,0,1,2,i jN則此鏈?zhǔn)潜闅v性的，且 是 的滿足條件 的唯一解。 對(duì)平穩(wěn)分布 ，有一個(gè)非周期，不可約的馬氏鏈?zhǔn)浅７档模嬖谝粋€(gè)平穩(wěn)分布 即

32、 ，即平穩(wěn)分布就是極限分布。 遍歷的馬氏鏈一定具有平穩(wěn)性，但平穩(wěn)的馬氏鏈不一定具有遍歷性（不遍歷的馬氏鏈也可具有平穩(wěn)性）。 1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程12,jNpp pp0Njiijipp p(1,2,.)jN101,1Njjjpp=0( )iijip pn 1jjpu1lim( )ijjnjpnpu,jpjE0000()jiijkkiijkkiijiikkipp pp pppp p 0(2)kkjkp p5.狀態(tài)空間分解定義 設(shè) ，若從V中任一狀態(tài)出發(fā)不能到達(dá)V外的任一狀態(tài)，則稱V為閉集。 顯然，對(duì)一切 和 有 若中僅含有單個(gè)狀態(tài)，則此閉集稱為吸收態(tài)。它構(gòu)成了一個(gè)較小的閉集。而

33、整個(gè)空間構(gòu)成一個(gè)較大的閉集。除了整個(gè)狀態(tài)空間外，沒有別的閉集的馬爾可夫鏈稱為不可約的馬爾可夫鏈。此時(shí)整個(gè)空間的所有狀態(tài)皆是相通的。閉集內(nèi)任一狀態(tài)，不論轉(zhuǎn)移多少步，都不能轉(zhuǎn)移到閉集之外的狀態(tài)上去，即隨著時(shí)間的推移，閉集內(nèi)任一狀態(tài)只能在閉集內(nèi)部的狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移。 定理10 馬爾可夫鏈的所有常返狀態(tài)構(gòu)成的集合是一閉集。1.3 1.3 馬爾科夫過程馬爾科夫過程EV 1nVji,Vjijnp1)(定理 （分解定理）狀態(tài)空間E必可分解為 其中N是全體非常返態(tài)組成的集合， 是互不相交的常返態(tài)閉集組成。而且 （1）對(duì)每一確定的k, 內(nèi)任意兩狀態(tài)相通； （2） 與 ( )中的狀態(tài)之間不相通；1.3 1.3 馬爾科

34、夫過程馬爾科夫過程12kENCCC12kCCCkCgCkgkC1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程一、正態(tài)隨機(jī)過程的一般概念二、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程三、正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程 一、正態(tài)隨機(jī)過程的一般概念1. 正態(tài)隨機(jī)過程的定義如果隨機(jī)過程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)隨機(jī)過程或高斯隨機(jī)過程，簡稱正態(tài)過程或高斯過程。2. 概率密度函數(shù)式中,mX是n維向量，K是n維陣，其中：2)()(exp)2(1),;,(12122121XTXnnnXtttxxxfmXKmXKkiikkkiikiXikrmXmXEttKK)(),(nnnnnNKKKKK

35、KKKK212222111211K)()()()()()(21122222211211nnnnnnnnmXEmXmXEmXmXEmXmXEmXmXEmXE性質(zhì):正態(tài)隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)由它的一、二階矩（均值、方差和相關(guān)系數(shù)完全決定）。 推論: 若復(fù)正態(tài)隨機(jī)過程Z(t)的n個(gè)采樣時(shí)刻得到n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，即 其中, Xi、Yi皆為實(shí)隨機(jī)變量。此n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度應(yīng)是2n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。 二、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程 1. 平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程的定義若正態(tài)隨機(jī)過程滿足下列條件，則它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機(jī)過程。iiiiiijYXtjYtXtZZ)()()(1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨

36、機(jī)過程22,XiXimm)(),(ikXkiXRttRnkittikik, 2 , 1,2.平穩(wěn)正態(tài)過程的n維概率密度 平穩(wěn)正態(tài)過程一、二維概率密度表達(dá)式222)(21)(XXmxXXexf)(12)()()(2)(exp)(121);,(222221212221rmxmxmxrmxrxxfXXXXXXX1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程平穩(wěn)正態(tài)過程n維概率密度表達(dá)式：式中，R是相關(guān)系數(shù)rik構(gòu)成的行列式，具有下列形式Rik為行列式中元素rik的代表余子式。ninkXkXiikXnXnmxmxRRR112)(21exp)2(1),;,(111nnXxxf11121221112212222

37、111211nnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrR1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程3.平穩(wěn)正態(tài)過程的n維特征函數(shù)n維特征函數(shù)：維特征函數(shù)：),;,(111nnXuuCninkkiikXniiuuKujm111)(21exp式中， 為隨機(jī)變量Xk、Xi的協(xié)方差函數(shù)。特別：一維和二維特征函數(shù)2)()(XikikXrK21( )exp2XXXC ujmu222121212121( , )exp()(2 ( )2XXXC u u tjmuuuur t u u三、正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)性質(zhì)1：正態(tài)隨機(jī)過程的n維概率密度完全由它的均值集合，協(xié)方差函數(shù)集合所確定。1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過

38、程正態(tài)隨機(jī)過程性質(zhì)2：正態(tài)過程的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。性質(zhì)3：正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)。性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過程與確定信號(hào)之和仍為正態(tài)分布。 性質(zhì)5：n維正態(tài)隨機(jī)矢量序列的均方極限仍為n維正態(tài)隨機(jī)矢量，即設(shè) 為n維實(shí)正態(tài)隨機(jī)變量，又 ，即對(duì)于每個(gè)1,2,n均有 ，則X=（X1,X2,Xn）為n維正態(tài)隨機(jī)矢量。性質(zhì)6： 若正態(tài)過程X(t) 在T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù)X(t)也是正態(tài)過程。性質(zhì)7：若正態(tài)過程 X(t) 在T上均方可積，則積分過程也是正態(tài)過程。()()()12,.RRRRnXXXXl.i.m()RkXXl.i.m()iRkiXX( )( )taY tXd, a tT( )( ) ( ,

39、 )baY tXht d, b tT1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程性質(zhì)8：正態(tài)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過程。推論： 正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)過程。1.4 1.4 正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程1.5 1.5 泊松過程泊松過程一、泊松過程的基本概念二、泊松過程的統(tǒng)計(jì)量三、泊松增量四、泊松沖激序列五、過濾的泊松過程與散粒噪聲1.5 1.5 泊松過程泊松過程一、泊松過程的基本概念1.定義設(shè)隨機(jī)過程 ， ，其狀態(tài)只取非負(fù)整數(shù)值，若滿足下列三個(gè)條件：（1）（2） 為均勻獨(dú)立增量過程；（3）對(duì)任意時(shí)刻 ， ，相應(yīng)的隨機(jī)變量的增量服從數(shù)學(xué)期望為 的泊松分布，即對(duì)于k=0,1,2,.,有其中

40、， 則稱 為泊松過程。( )X t00,(0)ttt0 ( )01Pt( )X t120,t tt12tt21( )( )X tX t2121()1212()(,)(,)!kttkttPttP X ttkek1221( , )( )( )X t tX tX t( )X t1( ,)(1,2,.,1)iiX t tin 2.泊松過程 滿足如下條件： （1）對(duì)于任意時(shí)刻 出現(xiàn)事件次數(shù) 是相互獨(dú)立的；（2）對(duì)于充分小的 ，在 內(nèi)出現(xiàn)時(shí)間一次的概率為其中 是在 時(shí)關(guān)于的高階無窮小量；常數(shù) ，稱為過程 的強(qiáng)度。（3）對(duì)于充分小的 在 內(nèi)出現(xiàn)事件兩次及兩次以上的概率為 這就是說，一個(gè)隨機(jī)過程 如果能滿足上

41、述三個(gè)條件，則它為泊松過程。 ( )X t120.ntttt, t tt1( ,)( ,)10()P t ttP X t tttt 0() t0( )X t0t t, t tt22( ,) ( ,) 0()jjjP t ttP X i ttjt ( )X t1.5 1.5 泊松過程泊松過程二、泊松過程的統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的時(shí)刻 和 且 則先來討論服從泊松分布的隨機(jī)變量 及 的數(shù)學(xué)期望，方差和相關(guān)函數(shù)等統(tǒng)計(jì)量。1數(shù)學(xué)期望 令 因此，均值為2. 均方值與方差 令 故均方值為atbtabtt() ()( , ) ( )( )!abkttabkbaabttP t tPttkek( )( )abX tX t

42、( )( )cdX tX t()abtt101( )( )!(1)!kkabkkE X tX tkeekk()abeett()abtt22000( ( )( ) (1)!kkkabkkkE X tX tkek kekekkk222222()()(2)!kababkettttk1.5 1.5 泊松過程泊松過程而方差為3.相關(guān)函數(shù)若 則時(shí)間間隔 和 互不交疊。因此，隨機(jī)變量 和 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，故它們之積的數(shù)學(xué)期望等于它們各自數(shù)學(xué)期望之積，即 若 ，則時(shí)間間隔 和 相重疊，因此，上式不再成立。 22( )( )( )( ) ( )( )abababDttEttEtt 22()abtt abcdtttt(

43、)abtt()cdtt( )( )abX tX t( )( )cdX tX t2( )( )( )( )()()abcdabcdE X tX tX tX tttttacbdtttt()abtt()cdtt( )( )( )( ) ( )( )abaccbX tX tX tX tX tX t( )( )( )( ) ( )( )cdcbbdX tX tX tX tX tX t1.5 1.5 泊松過程泊松過程經(jīng)過簡單運(yùn)算后，可得式中 ， 就是間隔 與 交疊部分的長度。然后，運(yùn)用上述結(jié)果，我們可推導(dǎo)出泊松過程 的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)。令 可得 的數(shù)學(xué)期望為令 可得 的相關(guān)函數(shù)為若隨機(jī)點(diǎn)具有非均勻密度

44、我們用 代替 則前述結(jié)果仍然是成立的。即有2( )( )( )( )()()()abcdabcdcbE X tX tX tX ttttttt( )X t12,0acbdtt tt tt( )X t( )E X tt12,0acbdtt tt tt2212 ,12122112 ,(,)()()xtt tRttEXtXttt t( )X t()cbtt( ,)bat t( , )dctt( ) t21( )ttt dt21()tt0( )( )tE X td 2112120012121200( )1( ),( , )( )( )( )1( ),ttxttt dtt dtttR t tE X t X

45、 tt dtt dttt1.5 1.5 泊松過程泊松過程三、泊松增量由泊松過程X(t)在給定的時(shí)間間隔 內(nèi)的增量與 之比，我們構(gòu)成一個(gè)新的隨機(jī)過程 稱它為泊松增量為了確定Y(t)的自相關(guān)函數(shù)，需要分別考慮兩種情況：若 ，則間隔 與 是不重疊的 若 ，則間隔 與 相交疊 ()( )( )X ttX tY tt0t t11 ( )()( )E Y tE X ttE X ttt12ttt11( ,)t tt22( ,)t tt22212( )()Et Y t Y tt212 ( ) ( )E Y t Y t或212tttt11( ,)t tt22( ,)t tt2221212( ) ( )()Et

46、Y t Y ttttt 212122()( )()ttE Y t Y ttt或1.5 1.5 泊松過程泊松過程對(duì)于 ，我們也能得到與上式類似的結(jié)果。于是12tt2121222( , )YR t ttttt1212()(tttttt 無交疊 時(shí)有交疊)時(shí)四、泊松沖激序列 階梯性的泊松過程X(t)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，便可得到與時(shí)間軸上的隨機(jī)點(diǎn) 相對(duì)應(yīng)的沖擊序列Z(t),稱此離散隨機(jī)過程為泊松沖激序列。其表示式為( )( )()iidX tZ tttdt0( )( )lim( )tdX tZ tY tdt 不難看出 其中X(t)和 Y(t)在前面都已經(jīng)定義過。這樣Z(t)的數(shù)學(xué)期望和 相關(guān)函數(shù)取 的極限求

47、得，即0t ( )E Z t1.5 1.5 泊松過程泊松過程212212,( , )(),ZR t ttt1212tttttt 由此可見，泊松沖擊序列是平穩(wěn)的。五、過濾的泊松過程與散粒噪聲設(shè)有一泊松沖激脈沖序列 經(jīng)過線形時(shí)不變?yōu)V波器，則此濾波器輸出是隨機(jī)過程X(t)（如圖1-18所示）由圖可見( )()iiZ ttt( )1( )( )* ( )()N TiiX tZ th th tt0t 1.5 1.5 泊松過程泊松過程式中h(t)為濾波器的沖激響應(yīng)； 為第i個(gè)沖激脈沖出現(xiàn)的時(shí)間；N(T)為在 內(nèi)輸入到濾波器的沖激脈沖的個(gè)數(shù)，它服從泊松分布，即式中 為單位時(shí)間內(nèi)的平均脈沖數(shù)。經(jīng)分析可知，若在

48、0,T)內(nèi)輸入到濾波器的沖激脈沖數(shù)N(T)為k，則該k個(gè)沖激脈沖出現(xiàn)的時(shí)間均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且此隨機(jī)變量均勻分布在0,T)內(nèi)，即在溫度限制的電子二極管中，由散粒（或散彈）效應(yīng)引起的散粒（或散彈）噪聲電流是過濾的泊松過程。 it0,T() ( )!kTTP N Tkek0,1,2,k 1,( |( )0,if tN TkT0itT其它1.5 1.5 泊松過程泊松過程在晶體管中有三種類型的噪聲：（1）熱噪聲；（2）散粒噪聲；（3）閃爍晶體管的散粒噪聲的機(jī)理與電子管的相類似，它們皆為過濾的泊松過程。 1.5 1.5 泊松過程泊松過程2 2 平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜分析 2.1 隨

49、機(jī)過程的譜分析2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度2.3 離散隨機(jī)過程的功率譜密度2.4 白噪聲一、隨機(jī)過程的功率譜密度應(yīng)用截取函數(shù)當(dāng)x(t)為有限值時(shí)， 的傅里葉變換存在 應(yīng)用帕塞瓦等式 2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析TtTttxtxT0)()()(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(dTXdttxXTT22),(21)(dTXTdttxTXTT22),(41)(21一、隨機(jī)過程的功率譜密度二、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系三、平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析dTXTEdttxTEXTT22),(41)(2

50、1令 ，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序 T dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)結(jié)論： （1）)0()()(22XRtXEtXEAQ )(2tXEAQ .21lim.TAT若平穩(wěn)若平穩(wěn)2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析（2）dSQX)(21功率譜密度： 描述了隨機(jī)過程X(t)的 功率在各個(gè)不同頻率上的分布 稱為隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度。 )( XS)( XS對(duì) 在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。 )( XS對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有： dStXEX)(21

51、)(22.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析二、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 確定信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。1. 維納辛欽定理若隨機(jī)過程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：推論：對(duì)于一般的隨機(jī)過程推論：對(duì)于一般的隨機(jī)過程X(t)，有：，有：)()(jXtxdeRSjXX)()(deSRjXX)(21)(dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析2單邊功率譜 由于實(shí)平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù) 是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我

52、們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。000)(2)(XXSG三、平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度的性質(zhì)1. 功率譜密度的性質(zhì)1） 功率譜密度為非負(fù)的,即 0)(XS2） 功率譜密度是 的實(shí)函數(shù) 2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析3） 對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程來說，功率譜密度是 的偶函數(shù)，即4 ）功率譜密度可積，即2.譜分解定理1） 譜分解 在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為 的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常常可以用有理函數(shù)來逼近 。這時(shí) 可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即 )()(XXSSdSX)( )( XS)( XS022222220222

53、22220)()(dddcccSSNNNMMMX2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析 若用復(fù)頻率s來表示功率譜密度，那么，對(duì)于一個(gè)有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式： 根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于 的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)：)()()()()(21212NMXbsbsasasasS)( XS （1） 為實(shí)數(shù)。 2 （2） 的所有虛部不為0的零點(diǎn)和極點(diǎn)都成 復(fù)共軛出現(xiàn)。 )( XS （3） 的所有零、極點(diǎn)皆為偶重的。 )( XS（4） MN。 2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析2） 譜分解定理根據(jù)上面的性質(zhì)，可將 分解成兩項(xiàng)之積，即：)( XS)

54、()()(sSsSsSXXX譜分解定理譜分解定理 )()()()()(11NMXssssasS)()()()()(*1*1NMssssasSX其中（零極點(diǎn)在（零極點(diǎn)在s s上半平面）上半平面）（零極點(diǎn)在（零極點(diǎn)在s s下半平面）下半平面）*)()(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且jjXdssSjtXE)(21)(2此時(shí)2.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜分析3） 為有理函數(shù)時(shí)的均方值求法（1）利用 （2）直接利用積分公式（3）查表法（4）留數(shù)法)( XS)( XR)0()()(02XXXRRtXE dStXEXX)(21)(22.1 2.1 隨機(jī)過程的譜分析隨機(jī)過程的譜

55、分析2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度一、互譜密度二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系三、互譜密度的性質(zhì) 2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度一、互譜密度 考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)， 它們的樣本函數(shù)分別為 和 ，定義兩個(gè)截取函數(shù) 、 為： 因?yàn)?、 都滿足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍 (-T，T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)過程的互功率 為:（注意 、 為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均）由于 、 的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即:)(tx)(ty)(tx)(tyTtTttxtxT0)()

56、(TtTttytyT0)()( txT tyT txT tyT)(TQXYTTTTXYdttytxTTQ)()(21)(TTdttytxT)()(21 txT tyTdttytxTT)()(*dTYTXYX),(),(21*dttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(dTTYTXYX2),(),(21*注意到上式中， 和 是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令 得：)(tx)(ty T)()(21lim)(limdttytxTEQTQETTTXYXYT ),(21limdtttRTTTXYTdTTXTXEYXT2),(),(lim21*2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨

57、機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度定義互功率譜密度為：則同理，有： 且 二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ),(),(21lim)(*TXTXETSYXTXYdSQXYXY)(21YXXYQQ),(),(21lim)(*TXTXETSXYTYXdSQYXYX)(21自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度 F互相關(guān)函數(shù) 互譜密度 F2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度 定義：對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)，其互譜密度 與互相關(guān)函數(shù) 之間的關(guān)系為 )(XYS),( ttRXYdettRASjXYXY),()()(),(XYXYSttRA即若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)

58、合平穩(wěn)，則有結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn)至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變機(jī)過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。換。)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：)()()(* YXYXXYSSS 性質(zhì)性質(zhì)2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS性質(zhì)性質(zhì)3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS0)(XYS性質(zhì)性質(zhì)4： 若若X(

59、t)與與Y(t)正交，則有正交，則有 0)(YXS2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度性質(zhì)性質(zhì)5 5： 若若X(t)與與Y(t)不相關(guān)，不相關(guān)，X(t)、Y(t)分分別具有常數(shù)均值別具有常數(shù)均值 和和 ，則，則 )(2)()(YXYXXYmmSS性質(zhì)性質(zhì)6： )(),(XYXYSttRA)(),(YXYXSttRA2.2 2.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度2.3 2.3 離散隨機(jī)過程的功率譜密度離散隨機(jī)過程的功率譜密度一、 離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度二、平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理三、功率譜密度的采樣定理2.3 2.3 離散隨機(jī)過程的功率譜

60、密度離散隨機(jī)過程的功率譜密度一、 離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度1.平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù) 設(shè)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程，或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為:簡寫為：2.平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度當(dāng) 滿足條件式 時(shí)，我們定義 的功率譜密度為 的離散傅里葉變換，并記為 )()()(mTnTXnTXEmRX)()()(mnXnXEmRX)(mRXmXmR)()(nX)(mRX)(XSTjmmXXemRS)()(2.3 2.3 離散隨機(jī)過程的功率譜密度離散隨機(jī)過程的功率譜密度T是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。 是頻率為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為因?yàn)?為周期函數(shù)，周