微分中值定理及其應(yīng)用

1、總界面總界面 結(jié)束結(jié)束 濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2一、羅爾一、羅爾(rolle)定理定理.,的的切切線線是是水水平平的的在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處有有一一點(diǎn)點(diǎn)上上至至少少在在曲曲線線弧弧cabab1 2 xyo)(xfy crolle (1652 1719 )french第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3 0,000000

2、0 xfxfxfxfxfxuxxxuxxf，那么，那么或或，有，有如果對任意的如果對任意的可導(dǎo)可導(dǎo)并且在并且在內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某鄰域的某鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證 ,.000000 xfxxfxuxxxfxfxux 有有對對于于于于是是，時(shí)時(shí)，不不妨妨設(shè)設(shè); 0)()(00 xxfxxf ; 0)()(00 xxfxxf 時(shí)時(shí)從從而而當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)或或穩(wěn)定穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)點(diǎn)、臨界點(diǎn)第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4; 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 0-000 xfxfxf

3、xxf 可導(dǎo)可導(dǎo)在在據(jù)極限的局部保號性，得據(jù)極限的局部保號性，得; 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 從而從而 00 xf 情情況況完完全全類類似似時(shí)時(shí)，00 xfxfxux 注意注意第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5幾何解釋幾何解釋ab1 2 xyo)(xfy .,的的切切線線是是水水平平的的在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處有有一一點(diǎn)點(diǎn)上上至至少少在在曲曲線線弧弧cabc羅爾羅爾第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6證：證：.)1(mm 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf

4、則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mm 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時(shí)時(shí)在在端端點(diǎn)點(diǎn)由由費(fèi)費(fèi)馬馬引引理理. 0)( f有有),(afm 不不妨妨設(shè)設(shè).)(),(mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7 .3 , 1322上上的的正正確確性性在在區(qū)區(qū)間間驗(yàn)驗(yàn)證證羅羅爾爾定定理理對對函函數(shù)數(shù) xxy例例132)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1)(上連續(xù)上連續(xù)在在 xf,)3 , 1(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且.)3

5、, 1(1(, 1即即為為上上面面所所求求顯顯然然 ),1(2)( xxf由羅爾定理知，由羅爾定理知，. 0)(31 f），使使，（至至少少事實(shí)上，事實(shí)上，解解: :-131第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8注：注：羅爾定理的三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論可能不成立羅爾定理的三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論可能不成立.例如例如, ,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的一一切切條條不不存存在在外外上上除除在在f . 0)()2 , 2( xf內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能使使但但在在 00)0(1 , 0(1xfxxy.1 , 0, x

6、xy又例如又例如, ,x=0不可導(dǎo)不可導(dǎo)xy-22第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9 2110012)(xxxxxxf. )2 , 1(, 0)()( fxf有有實(shí)實(shí)定定理理的的三三個(gè)個(gè)條條件件，但但確確在在給給定定區(qū)區(qū)間間不不滿滿足足羅羅爾爾-112又如又如 至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)根根的的任任意意兩兩根根之之間間則則可可微微若若推推論論0,0,: xfxfxf應(yīng)用應(yīng)用: :羅爾定理常用來討論方程根的情況，尤其與某函數(shù)羅爾定理常用來討論方程根的情況，尤其與某函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的方程的一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的方程. .第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返

7、回返回 結(jié)束結(jié)束 10.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx例例2證：證：, 15)(15 xxxf）設(shè)）設(shè)（,1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理知，由零點(diǎn)定理知，. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1 1的正實(shí)根的正實(shí)根. .,),1 , 0(2011xxx ）設(shè)設(shè)另另有有（. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間介介于于至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1

8、, 0( , 0 x矛盾矛盾, ,.0為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根x結(jié)論結(jié)論: :可微函數(shù)在任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有其導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)可微函數(shù)在任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有其導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)存在存在唯一唯一第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11).()(:bfaf 去掉了去掉了與羅爾定理相比條件中與羅爾定理相比條件中注意注意).()()( fabafbf 結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成二、二、lagrange中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12ab1 2 xxoy)(xfy abcd

9、n)(,(xfxm幾何解釋幾何解釋: :.,abcab線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧分析分析: :).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦ab方程為方程為).()()()(axabafbfafy nm).()()()()(axabafbfafxf )(xf ).()(bfaf 顯然顯然第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13證證條條件件中中與與羅羅爾爾定定理理相相差差弦弦ab方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(abxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的函

10、函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線ba構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)).()()()()(axabafbfafxf ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xf,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或. 0)( f使使得得ab1 2 xoy)(xfy abcdxnm)()(bfaf nm )(xf拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式精確表達(dá)了函數(shù)在一區(qū)間上的增量與拉格朗日中值公式精確表達(dá)了函數(shù)在一區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. .注注: :第三

11、章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14,),()()3內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式增量增量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式. .微分中值定理微分中值定理注意：注意：1）b a 上述公式也成立；上述公式也成立；2）若）若f（b）=f（a ）時(shí)，即為羅爾定理；）時(shí)，即為羅爾定理；比較：比較：xxfxoxxfy )(

12、)()(00增量近似公式第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixfixf推論推論1推論推論2: cxgxfxgxf 第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16 例例3).11(2arccosarcsin xxx 證明證明證：證：1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2ar

13、ccosarcsin xx第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17 例例4證：證：.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)),1ln()(txf 設(shè)設(shè), 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即方法：方法：構(gòu)造函數(shù)、選區(qū)間、應(yīng)用定理、放大縮小構(gòu)造函數(shù)、選區(qū)間、應(yīng)用定理、放大縮小說明：說明： 上應(yīng)用拉氏定理上應(yīng)用拉氏定理，在在令令xttf 11ln第三章

14、第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：，)(:xfyl ，的斜率：的斜率：易知弦易知弦)()()()(afbfafbfab ),(,)()()(baffdxdytx baafbfafbfff ,)()()()()()(即即柯西中值定柯西中值定理理abafbff )()()( 確定且確定且由由)()( xy ),(,)()(battfytfxl ）給出）給出（由參數(shù)方程由參數(shù)方程若若問題：問題：拉格朗日中值定理的結(jié)論會怎樣？拉格朗日中值定理的結(jié)論會怎樣？btoaba),(,)()()(battftfx 第三章第三章 總界面總界面 上

15、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理柯西柯西柯西柯西(cauchy )中值定理中值定理)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm幾何解釋幾何解釋: :.),(),(abffcab處的切線平行于弦處的切線平行于弦在該點(diǎn)在該點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧 第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20注注: :,)(1xxf ）當(dāng)）當(dāng)（, 1)(,)()( xfabafbf)()()()()()( ffafbfafbf).()()( fabafbf拉拉格格朗朗日日中

16、中值值公公式式)()()()()()(22abfafbfabfafbf ，使使，使使得得：）問問題題：由由定定理理（.)()()()()()( ffafbfafbf ？說明說明: :1、柯西定理中的柯西定理中的 是同一過程中的量是同一過程中的量. .2、當(dāng)考察兩個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，可、當(dāng)考察兩個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，可考慮用柯西定理考慮用柯西定理.第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)證證明明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例

17、5證：證：結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為: : 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè),1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即第三章第三章 總界面總界面 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22lagrange(1736 1813) 法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家。他在數(shù)學(xué)法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上最突出的貢獻(xiàn)是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離上最突出的貢獻(xiàn)是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開來，使數(shù)學(xué)的

18、獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再開來，使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。他是僅僅是其他學(xué)科的工具。他是1818世紀(jì)對微積分基世紀(jì)對微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化做出嘗試的主要代表人物之一，他承礎(chǔ)的嚴(yán)格化做出嘗試的主要代表人物之一，他承認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來，并認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來，并主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù)，由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù)，由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。另外，他在代數(shù)學(xué)、微分方程、數(shù)論、方程論、日中值定理。另外，他在代數(shù)學(xué)、微分方程、數(shù)論、方程論、無窮級數(shù)等領(lǐng)域都做出了重要貢獻(xiàn)，堪稱法國最杰出的數(shù)學(xué)大無窮級數(shù)等領(lǐng)域都做出了重要貢獻(xiàn)，堪稱法國最杰出的數(shù)學(xué)大師。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地師。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗