第四章非平穩(wěn)序列的確定性分析

1、第四章第四章非平穩(wěn)序列的確定性分析非平穩(wěn)序列的確定性分析分析對(duì)象：非平穩(wěn)序列分析對(duì)象：非平穩(wěn)序列分析方法：確定性時(shí)序分析和隨機(jī)時(shí)序分析分析方法：確定性時(shí)序分析和隨機(jī)時(shí)序分析本章主要介紹：確定性時(shí)序分析本章主要介紹：確定性時(shí)序分析本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)n時(shí)間序列的分解時(shí)間序列的分解n確定性因素分解確定性因素分解n趨勢(shì)分析趨勢(shì)分析n季節(jié)效應(yīng)分析季節(jié)效應(yīng)分析n綜合分析綜合分析nX11過(guò)程過(guò)程4.1 時(shí)間序列的分解時(shí)間序列的分解nWold分解定理分解定理nCramer分解定理分解定理Wold分解定理（分解定理（1938）tttVxtx對(duì)于任何一個(gè)對(duì)于任何一個(gè)離散平穩(wěn)過(guò)程離散平穩(wěn)過(guò)程

2、，它都可以分解為兩個(gè)，它都可以分解為兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個(gè)為不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個(gè)為確定性確定性的，另一個(gè)的，另一個(gè)為為隨機(jī)性隨機(jī)性的，不妨記作的，不妨記作tV t0jjtjt其中：其中： 為確定性序列，為確定性序列， 為隨機(jī)序列，且為隨機(jī)序列，且它們需要滿(mǎn)足如下條件它們需要滿(mǎn)足如下條件020, 1jj ), 0(2WNtstVEst , 0),(（1） （2）（3）確定性序列與隨機(jī)序列的定義確定性序列與隨機(jī)序列的定義2lim0qqn 確定性序列：確定性序列：若若 ，說(shuō)明序列的發(fā)展具有很強(qiáng)，說(shuō)明序列的發(fā)展具有很強(qiáng)的規(guī)律性或確定性，用歷史數(shù)據(jù)可以很好預(yù)測(cè)未來(lái)的規(guī)律性或確定性，

3、用歷史數(shù)據(jù)可以很好預(yù)測(cè)未來(lái))(lim2tqqyVarn 隨機(jī)序列：隨機(jī)序列：若若 ，說(shuō)明序列的發(fā)展隨機(jī)，說(shuō)明序列的發(fā)展隨機(jī)性很強(qiáng)，過(guò)去對(duì)于現(xiàn)時(shí)值的估計(jì)，或預(yù)測(cè)效果很差。性很強(qiáng)，過(guò)去對(duì)于現(xiàn)時(shí)值的估計(jì)，或預(yù)測(cè)效果很差。 tytytqtqttyyy1210t2)(qtVar對(duì)任意序列對(duì)任意序列 而言，令而言，令 關(guān)于關(guān)于q期之前的序期之前的序列值作線(xiàn)性回歸：列值作線(xiàn)性回歸： 其中其中 為回歸殘差序列，為回歸殘差序列， 。ARMA模型分解模型分解ttBBx)()(確定性平穩(wěn)序列確定性平穩(wěn)序列隨機(jī)平穩(wěn)序列隨機(jī)平穩(wěn)序列Cramer分解定理（分解定理（1961）n任何一個(gè)時(shí)間序列任何一個(gè)時(shí)間序列 都可以分解

4、為兩部分的疊都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)成加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即txtttx隨機(jī)性影響隨機(jī)性影響taB)(確定性影響確定性影響djjjt0對(duì)兩個(gè)分解定理的理解對(duì)兩個(gè)分解定理的理解nWold分解定理說(shuō)明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性分解定理說(shuō)明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和。它是現(xiàn)代時(shí)間序列分析理論的靈序列和隨機(jī)序列之和。它是現(xiàn)代時(shí)間序列分析理論的靈魂，是魂，是構(gòu)造構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。nCramer 分解

5、定理是分解定理是Wold分解定理的理論推廣，它說(shuō)分解定理的理論推廣，它說(shuō)明明任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定性影任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定性影響和隨機(jī)性影響的綜合作用響和隨機(jī)性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所受到的這兩方面的影響受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定至少有一方面是不穩(wěn)定的。的。 4.2確定性因素分解確定性因素分解n在自然界中，在自然界中，由確定性因素導(dǎo)致的非平穩(wěn)，往往顯示出非常明顯由確定性因素導(dǎo)致的非平穩(wěn)，往往顯示出非常明顯的

6、規(guī)律性，如有顯著的趨勢(shì)或有固定的變換周期的規(guī)律性，如有顯著的趨勢(shì)或有固定的變換周期，這種規(guī)律性比，這種規(guī)律性比較容易提取，而由隨機(jī)因素導(dǎo)致的波動(dòng)則非常難確定和分析。較容易提取，而由隨機(jī)因素導(dǎo)致的波動(dòng)則非常難確定和分析。n傳統(tǒng)的時(shí)序方法通常把分析的重點(diǎn)放在確定性信息的提取上，忽傳統(tǒng)的時(shí)序方法通常把分析的重點(diǎn)放在確定性信息的提取上，忽視對(duì)隨機(jī)信息的提取，將序列簡(jiǎn)單地假定為：視對(duì)隨機(jī)信息的提取，將序列簡(jiǎn)單地假定為： 式中，式中， 為零均值白噪聲序列。為零均值白噪聲序列。n這種分析方法稱(chēng)為確定性分析方法。這種分析方法稱(chēng)為確定性分析方法。tttxtn最常用的確定性分析方法是確定性因素分解方法。最常用的確

7、定性分析方法是確定性因素分解方法。4.2確定性因素分解確定性因素分解n傳統(tǒng)的因素分解傳統(tǒng)的因素分解n長(zhǎng)期趨勢(shì)：如遞增、遞減等；長(zhǎng)期趨勢(shì)：如遞增、遞減等；n循環(huán)波動(dòng)：呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復(fù)循環(huán)波動(dòng)；循環(huán)波動(dòng)：呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復(fù)循環(huán)波動(dòng)；n季節(jié)性變化：呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關(guān)的穩(wěn)定的周期波動(dòng)；季節(jié)性變化：呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關(guān)的穩(wěn)定的周期波動(dòng)；n隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)n現(xiàn)在的因素分解現(xiàn)在的因素分解n長(zhǎng)期趨勢(shì)波動(dòng)：包括長(zhǎng)期趨勢(shì)和無(wú)固定周期的循環(huán)波動(dòng)；長(zhǎng)期趨勢(shì)波動(dòng)：包括長(zhǎng)期趨勢(shì)和無(wú)固定周期的循環(huán)波動(dòng)；n季節(jié)性變化：包括所有具有穩(wěn)定周期的循環(huán)波動(dòng)；季節(jié)性變化：包括所有具有穩(wěn)定周期的循環(huán)波動(dòng)；n隨

8、機(jī)波動(dòng)：除上述變化外，其他因素的綜合影響。隨機(jī)波動(dòng)：除上述變化外，其他因素的綜合影響。確定性時(shí)序分析的目的確定性時(shí)序分析的目的n克服其它因素的影響，單純測(cè)度出某一克服其它因素的影響，單純測(cè)度出某一個(gè)確定性因素對(duì)序列的影響個(gè)確定性因素對(duì)序列的影響n(yōu)推斷出各種確定性因素彼此之間的相互推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對(duì)序列的綜合影響作用關(guān)系及它們對(duì)序列的綜合影響4.3趨勢(shì)分析趨勢(shì)分析n目的目的n有些時(shí)間序列有些時(shí)間序列具有非常顯著的趨勢(shì)，具有非常顯著的趨勢(shì)，我們分析我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢(shì)，并利用的目的就是要找到序列中的這種趨勢(shì)，并利用這種趨勢(shì)對(duì)序列的發(fā)展作出合理的預(yù)

9、測(cè)這種趨勢(shì)對(duì)序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測(cè) n常用方法常用方法n趨勢(shì)擬合法趨勢(shì)擬合法n平滑法平滑法趨勢(shì)擬合法趨勢(shì)擬合法n趨勢(shì)擬合法就是把時(shí)間作為自變量，相趨勢(shì)擬合法就是把時(shí)間作為自變量，相應(yīng)的序列觀(guān)察值作為因變量，應(yīng)的序列觀(guān)察值作為因變量，建立序列建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法 n分類(lèi)分類(lèi)n線(xiàn)性擬合線(xiàn)性擬合n非線(xiàn)性擬合（曲線(xiàn)擬合）非線(xiàn)性擬合（曲線(xiàn)擬合）線(xiàn)性擬合線(xiàn)性擬合n使用場(chǎng)合使用場(chǎng)合n長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出線(xiàn)性特征長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出線(xiàn)性特征n模型結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu))(, 0)(ttttIVarIEIbtax勢(shì)。響之后該序列的長(zhǎng)期趨就是消除隨機(jī)波動(dòng)的影為隨機(jī)波動(dòng)；式中，btaTItt

10、例例4.1:擬合擬合澳大利亞政府澳大利亞政府19811990年每季度的消費(fèi)支出序列年每季度的消費(fèi)支出序列 線(xiàn)性擬合線(xiàn)性擬合n模型模型n參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法n最小二乘估計(jì)最小二乘估計(jì)n參數(shù)估計(jì)值參數(shù)估計(jì)值2)(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba線(xiàn)性擬合的線(xiàn)性擬合的SAS過(guò)程過(guò)程data a;input gov_cons; time=intnx(quarter,1jan1981d,_n_-1);format time year2.; t=_n_;cards;原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù);proc gplot; plot gov_cons*time=1

11、;symbol1 c=black v=star i=join;proc autoreg;/*自回歸過(guò)程自回歸過(guò)程*/ 或者或者 proc reg;/*回歸過(guò)程回歸過(guò)程*/ model gov_cons=t;output out=out p=forecast;proc gplot data=out;plot gov_cons*time=1 forecast*time=2/overlay haxis=1jan1981d to 1jan1991d by year;symbol2 c=red v=none i=join w=2 l=3; run;線(xiàn)性擬合模型結(jié)果線(xiàn)性擬合模型結(jié)果(autoreg過(guò)程過(guò)程

12、)線(xiàn)性擬合模型結(jié)果線(xiàn)性擬合模型結(jié)果(reg過(guò)程過(guò)程)擬合效果圖擬合效果圖非線(xiàn)性擬合非線(xiàn)性擬合n使用場(chǎng)合使用場(chǎng)合n長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出長(zhǎng)期趨勢(shì)呈現(xiàn)出非線(xiàn)性特征非線(xiàn)性特征 n參數(shù)估計(jì)指導(dǎo)思想?yún)?shù)估計(jì)指導(dǎo)思想n能轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性模型的都轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性模型能轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性模型的都轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性模型，用，用線(xiàn)性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)線(xiàn)性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)n實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性的，就用迭代法進(jìn)行參實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性的，就用迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)數(shù)估計(jì) 常用非線(xiàn)性模型常用非線(xiàn)性模型模型模型變換變換變換后模型變換后模型參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法線(xiàn)性最小二乘估計(jì)線(xiàn)性最小二乘估計(jì)線(xiàn)性最小二線(xiàn)性最小二乘估計(jì)乘估計(jì)迭代法迭代法迭代法迭代法迭代法

13、迭代法2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt例例4.2： 對(duì)上海證券交易所對(duì)上海證券交易所19911991年年1 1月月-2001-2001年年1010月每月末上證指數(shù)序列進(jìn)行模型擬合月每月末上證指數(shù)序列進(jìn)行模型擬合 非線(xiàn)性擬合非線(xiàn)性擬合n模型模型n變換變換n參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法n線(xiàn)性最小二乘估計(jì)線(xiàn)性最小二乘估計(jì)n擬合模型口徑擬合模型口徑2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTtdata a;input index; time=intnx(month,1jan1991d,_n

14、_-1);format time year2.; t=_n_; cards;原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù);t2=t*2;proc gplot;plot index*time=1;symbol1 c=black v=none i=join;proc reg;model index=t t2;model index=t2;output out=out p=index_cup;proc gplot data=out;plot index*time=1 index_cup*time=2/overlay;symbol2 c=red v=none i=join w=2 l=3;run;非線(xiàn)性擬合模型非線(xiàn)性擬合模型SA

15、S結(jié)果結(jié)果非線(xiàn)性擬合模型非線(xiàn)性擬合模型SAS結(jié)果結(jié)果擬合效果圖擬合效果圖平滑法平滑法n平滑法是進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)時(shí)常用的一種方法。它平滑法是進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)時(shí)常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機(jī)波動(dòng)對(duì)序列的影響，是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機(jī)波動(dòng)對(duì)序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長(zhǎng)期趨勢(shì)變化的規(guī)律。使序列平滑化，從而顯示出長(zhǎng)期趨勢(shì)變化的規(guī)律。 n平滑法廣泛應(yīng)用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)、人口研究等諸多領(lǐng)域；平滑法廣泛應(yīng)用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)、人口研究等諸多領(lǐng)域；n常用平滑方法常用平滑方法n移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法n指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法n基本思想基本思想n假定在一個(gè)比較短的時(shí)間間隔里，序列的

16、取值假定在一個(gè)比較短的時(shí)間間隔里，序列的取值是比較穩(wěn)定的，它們之間的差異主要是由隨機(jī)是比較穩(wěn)定的，它們之間的差異主要是由隨機(jī)波動(dòng)造成的。波動(dòng)造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定根據(jù)這種假定，我們可以用一定時(shí)間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計(jì)值。時(shí)間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計(jì)值。n分類(lèi)分類(lèi)nn期中心移動(dòng)平均期中心移動(dòng)平均nn期移動(dòng)平均期移動(dòng)平均n期中心移動(dòng)平均期中心移動(dòng)平均為偶數(shù)，為奇數(shù)，nxxxxxnnxxxxxnxntnttntntntnttntntt)2121(1)(12121222112112121tx2tx1tx1tx2tx52112ttttttxxxxxx5期中心移動(dòng)平均期中心移動(dòng)

17、平均n期移動(dòng)平均期移動(dòng)平均tx1tx2tx3tx4tx51234ttttttxxxxxx)(111nttttxxxnx5期移動(dòng)平均期移動(dòng)平均移動(dòng)平均期數(shù)確定的原則移動(dòng)平均期數(shù)確定的原則n事件的發(fā)展有無(wú)周期性事件的發(fā)展有無(wú)周期性n以周期長(zhǎng)度作為移動(dòng)平均的間隔長(zhǎng)度以周期長(zhǎng)度作為移動(dòng)平均的間隔長(zhǎng)度 ，以消除周，以消除周期效應(yīng)的影響期效應(yīng)的影響n(yōu)對(duì)趨勢(shì)平滑的要求對(duì)趨勢(shì)平滑的要求n移動(dòng)平均的期數(shù)越多，擬合趨勢(shì)越平滑移動(dòng)平均的期數(shù)越多，擬合趨勢(shì)越平滑n對(duì)趨勢(shì)反映近期變化敏感程度的要求對(duì)趨勢(shì)反映近期變化敏感程度的要求 n移動(dòng)平均的期數(shù)越少，擬合趨勢(shì)越敏感移動(dòng)平均的期數(shù)越少，擬合趨勢(shì)越敏感所以，如果想得到長(zhǎng)期

18、趨勢(shì)，則用期數(shù)較大的移動(dòng)平均，如所以，如果想得到長(zhǎng)期趨勢(shì)，則用期數(shù)較大的移動(dòng)平均，如果想密切關(guān)注序列的短期趨勢(shì)，就用期數(shù)較小的移動(dòng)平均。果想密切關(guān)注序列的短期趨勢(shì)，就用期數(shù)較小的移動(dòng)平均。移動(dòng)平均預(yù)測(cè)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)1),(121lxxxnxnlTlTlTlTniilxilxxilTilTilT, 2 , 1,，式中，在預(yù)測(cè)領(lǐng)域，在預(yù)測(cè)領(lǐng)域，n期移動(dòng)平均還是一種常用的預(yù)測(cè)方法。期移動(dòng)平均還是一種常用的預(yù)測(cè)方法。假定最后一期的觀(guān)察值為假定最后一期的觀(guān)察值為 ，那么使用，那么使用n期移動(dòng)平均方法，期移動(dòng)平均方法，向前向前l(fā)期的預(yù)測(cè)值為：期的預(yù)測(cè)值為：Tx例例4.3n某一觀(guān)察值序列最后某一觀(guān)察值序列最后

19、4期的觀(guān)察值為：期的觀(guān)察值為：5，5.4，5.8，6.2（1）使用）使用4期移動(dòng)平均法預(yù)測(cè)期移動(dòng)平均法預(yù)測(cè) 。（2）求在二期預(yù)測(cè)值）求在二期預(yù)測(cè)值 中中 前面的系數(shù)前面的系數(shù)等于多少？等于多少？2Tx2TxTx例例4.3解解75. 544 . 58 . 52 . 66 . 5416 . 542 . 68 . 54 . 5541 ) 1 (21123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141 )2(TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165在二期預(yù)測(cè)值中在二期預(yù)測(cè)值中 前面的系數(shù)等于前面的系數(shù)等于 指數(shù)平滑法指數(shù)

20、平滑法n指數(shù)平滑方法的基本思想指數(shù)平滑方法的基本思想n在實(shí)際生活中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)大多數(shù)隨機(jī)事件而言，在實(shí)際生活中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)大多數(shù)隨機(jī)事件而言，一般都是近期的結(jié)果對(duì)現(xiàn)在的影響會(huì)大些，遠(yuǎn)期的一般都是近期的結(jié)果對(duì)現(xiàn)在的影響會(huì)大些，遠(yuǎn)期的結(jié)果對(duì)現(xiàn)在的影響會(huì)小些。結(jié)果對(duì)現(xiàn)在的影響會(huì)小些。n為了更好地反映這種影響作用，我們將為了更好地反映這種影響作用，我們將考慮到時(shí)間考慮到時(shí)間間隔對(duì)事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時(shí)間間隔的增間隔對(duì)事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時(shí)間間隔的增大而呈指數(shù)衰減，這就是指數(shù)平滑法的基本思想。大而呈指數(shù)衰減，這就是指數(shù)平滑法的基本思想。 n分類(lèi)分類(lèi)n簡(jiǎn)單指數(shù)平滑簡(jiǎn)單指數(shù)平滑nHolt兩參數(shù)指數(shù)平滑兩參數(shù)指數(shù)平滑簡(jiǎn)單指數(shù)平滑簡(jiǎn)單指數(shù)平滑n基本公式基本公式n等價(jià)公式等價(jià)公式221)1 ()1 (ttttxxxx1)1 (tttxxx10為平滑系數(shù)，式中，32211)1 ()1 ( ttttxxxx又經(jīng)驗(yàn)確定經(jīng)驗(yàn)確定n初始值的確定初始值的確定n平滑系數(shù)的確定平滑系數(shù)的確定10 xx 經(jīng)驗(yàn)表明經(jīng)驗(yàn)表明 的值的值介于介于0.05至至0.3之間之間，修勻效果比較好。，修勻效果比較好。1、一般對(duì)