2022年隨機過程題庫1

1、隨機過程綜合練習題一、填空題（每空3 分）第一章1nxxx,21是獨立同分布的隨機變量，ix的特征函數(shù)為)(tg，則nxxx21的特征函數(shù)是。2)(yxee。3x的特征函數(shù)為)(tg，baxy，則y的特征函數(shù)為。4條件期望)(yxe是的函數(shù)，（是 or 不是）隨機變量。5nxxx,21是獨立同分布的隨機變量，ix的特征函數(shù)為)(tgi，則nxxx21的特征函數(shù)是。6n 維正態(tài)分布中各分量的相互獨立性和不相關性。第二章7寬平穩(wěn)過程是指協(xié)方差函數(shù)只與有關。8在獨立重復試驗中，若每次試驗時事件a 發(fā)生的概率為)10(pp，以)(nx記進行到n次試驗為止a 發(fā)生的次數(shù)，則,2,1 ,0),(nnx是過

2、程。9正交增量過程滿足的條件是。10正交增量過程的協(xié)方差函數(shù)),(tscx。第三章11 x(t), t 0 為具有參數(shù)0的齊次泊松過程，其均值函數(shù)為；方差函數(shù)為。12設到達某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達率分別為1，2，3且均為泊松過程，它們相互獨立，若把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度、無延時)，相鄰綠色汽車之間的不同到達時間間隔的概率密度是，汽車之間的不同到達時刻間隔的概率密度是。13 x(t), t 0為具有參數(shù)0的齊次泊松過程，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學

3、習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -nsxstxp)()(。, 1 , 0n14設 x(t), t 0 是具有參數(shù)0的泊松過程，泊松過程第n 次到達時間wn的數(shù)學期望是。15在保險的索賠模型中，設索賠要求以平均2 次/月的速率的泊松過程到達保險公司若每 次 賠 付 金 額 是 均 值 為10000元 的 正 態(tài) 分 布 ， 求 一 年 中 保 險 公 司 的 平 均 賠 付 金額。16到達某汽車總站的客車數(shù)是一泊松過程，每輛客車內乘客數(shù)是一隨機變量設各客車內乘客數(shù)獨立同分布，且各輛車乘客數(shù)

4、與車輛數(shù)n(t) 相互獨立，則在0，t內到達汽車總站的乘客總數(shù)是（復合 or 非齊次）泊松過程17設顧客以每分鐘2 人的速率到達，顧客流為泊松流，求在2min 內到達的顧客不超過3人的概率是第四章18 無限制隨機游動各狀態(tài)的周期是。19非周期正常返狀態(tài)稱為。20設有獨立重復試驗序列1,nxn。以1nx記第 n 次試驗時事件a 發(fā)生，且pxpn1，以0nx記第 n 次試驗時事件a 不發(fā)生，且pxpn10，若有1,1nxynkkn，則1,nyn是鏈。答案一、填空題1)(tgn；2ex；3)(atgeibt4;y是5niitg1)(；6等價7時間差；8獨立增量過程；90)()()()(3412txt

5、xtxtxe10),(min2tsx11tt;； 12000)(11ttetft000)()()(321321ttetft13tnent!)(14n15240000 16復合；174371e精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -18 2；19遍歷狀態(tài)；20齊次馬爾科夫鏈；二、判斷題（每題2 分）第一章1)(tgi),2, 1(ni是特征函數(shù)

6、，niitg1)(不是特征函數(shù)。 （）2n 維正態(tài)分布中各分量的相互獨立性和不相關性等價。（）3任意隨機變量均存在特征函數(shù)。（）4)(tgi),2, 1(ni是特征函數(shù)，niitg1)(是特征函數(shù)。 （）5設1234x ,x ,x ,x是零均值的四維高斯分布隨機變量，則有1234123413241423()()()+()()+()()e x x x xe x xe x xe x xe x xe x xe x x（）第二章6嚴平穩(wěn)過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過程。（）7獨立增量過程是馬爾科夫過程。（）8維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程。（）第三章9非齊次泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程。（）第四

7、章10有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返。（）11有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不可能是閉集。（）12有限馬爾科夫鏈，若有狀態(tài)k 使0lim)(niknp，則狀態(tài)k 即為正常返的。 （）13設si，若存在正整數(shù)n，使得,0,0)1()(niiniipp則 i 非周期。（）14有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài)。（）15 i 是正常返周期的充要條件是)(limniinp不存在。（）16平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一個基本正常返閉集。（）17有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài)。（）18 i 是正常返周期的充要條件是)(limniinp存在。（）精品學習資料 可選擇p d f - -

8、- - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -19若ij，則有ijdd（）20不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài)（）答案二、判斷題1234567891011121314151617181920三、大題第一章1 （ 10 分）（易）設),(pnbx，求x的特征函數(shù)，并利用其求ex。2 （ 10 分）（中）利用重復拋擲硬幣的試驗定義一個隨機過程，ttttx出現(xiàn)反面出現(xiàn)正面,2,co

9、s)(出現(xiàn)正面和反面的概率相等，求)(tx的一維分布函數(shù))2/1 ,(xf和)1 ,(xf，)(tx的二維分布函數(shù))1 ,2/1 ;,(21xxf。3 （ 10 分）（易）設有隨機過程0,)(tbtatx，其中 a 與 b 是相互獨立的隨機變量，均服從標準正態(tài)分布，求)(tx的一維和二維分布。第二章4 （ 10 分）（易）設隨機過程x(t)=vt+b ，t (0,+ ), b 為常數(shù)， v 服從正態(tài)分布n(0，1)的隨機變量，求x(t)的均值函數(shù)和相關函數(shù)。5 （ 10 分）（易）已知隨機過程x(t) 的均值函數(shù)mx(t)和協(xié)方差函數(shù)b x(t1, t2)， g(t)為普通函數(shù)，令 y(t)=

10、 x(t)+ g(t)，求隨機過程y(t) 的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。6 （ 10 分）（中）設),(tttx是實正交增量過程，,0)0(),0xt是一服從 標 準 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 ， 若 對 任 一)(,0txt都 與相 互 獨 立 ， 求),0,)()(ttxty的協(xié)方差函數(shù)。7 （10 分）（中）設,)(tytxtz，若已知二維隨機變量),(yx的協(xié)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

11、- - - 第 4 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -方差矩陣為2221，求)(tz的協(xié)方差函數(shù)。8 （10 分）（難）設有隨機過程),(tttx和常數(shù)a，試以)(tx的相關函數(shù)表示隨機過程tttxatxty),()()(的相關函數(shù)。第三章9 （10 分）（易）某商店每日8 時開始營業(yè)， 從 8 時到 11 時平均顧客到達率線性增加在8 時顧客平均到達率為5 人/時，11 時到達率達到最高峰20 人/時，從 11 時到 13 時，平均顧客到達率維持不變，為20 人/時，從 13 時到 17 時，顧客到達率線性下降，到17 時顧客到達率為 12 人 /時。假定在不相重疊的時間間

12、隔內到達商店的顧客數(shù)是相互獨立的，問在8：30 9：30 間無顧客到達商店的概率是多少？在這段時間內到達商店的顧客數(shù)學期望是多少? 10 （15 分）（難）設到達某商店的顧客組成強度為的泊松過程，每個顧客購買商品的概率為p，且與其它顧客是否購買商品無關，求（0，t）內無人購買商品的概率。11 （15 分）（難）設x1(t) 和 x2 (t) 是分別具有參數(shù)1和2的相互獨立的泊松過程，證明： y(t)是具有參數(shù)21的泊松過程。12 （10 分）（中）設移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過程，平均每周有2 戶定居即2。如果每戶的人口數(shù)是隨機變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3，一戶兩人

13、的概率為1/3，一戶一人的概率為1/6，并且每戶的人口數(shù)是相互獨立的，求在五周內移民到該地區(qū)人口的數(shù)學期望與方差。13（ 10 分） （難）在時間 t 內向電話總機呼叫k 次的概率為,2,1, 0,!)(kekkpkt，其中0為常數(shù)如果任意兩相鄰的時間間隔內的呼叫次數(shù)是相互獨立的，求在時間2t內呼叫 n 次的概率)(2npt14 （10 分）（易）設顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30 人到達，求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達的時間間隔超過2 min 15 （15 分）（中）設進入中國上空流星的個數(shù)是一泊松過程，平均每年為10000 個每個流星能以隕石落于地面的概率為0.000

14、1， 求一個月內落于中國地面隕石數(shù)w 的 ew、 varw和 pw 2 16 （10 分）（易）通過某十字路口的車流是一泊松過程設1min 內沒有車輛通過的概率為 0.2，求 2min 內有多于一輛車通過的概率。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -17 （10 分）（易）設顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30 人到達，求下列

15、事件的概率：兩個顧客相繼到達的時間間隔短于4 min 18 （15 分）（中）某刊物郵購部的顧客數(shù)是平均速率為6 的泊松過程，訂閱1 年、 2 年或 3 年的概率分別為1 2、l3 和 16，且相互獨立設訂一年時，可得1 元手續(xù)費；訂兩年時，可得2 元手續(xù)費；訂三年時，可得3 元手續(xù)費 . 以 x(t) 記在 0，t內得到的總手續(xù)費，求 ex(t) 與 var x(t) 19 （10 分）（易）設顧客到達商場的速率為2 個 min，求(1) 在 5 min 內到達顧客數(shù)的平均值； (2) 在 5min 內到達顧客數(shù)的方差；(3) 在 5min 內至少有一個顧客到達的概率20 （10 分）（中）

16、設某設備的使用期限為10 年，在前5 年內平均2.5 年需要維修一次，后 5 年平均 2 年需維修一次，求在使用期限內只維修過1 次的概率21 （15 分）（難）設x(t) 和 y(t) (t 0) 是強度分別為x和y的泊松過程，證明：在x(t) 的任意兩個相鄰事件之間的時間間隔內，y(t) 恰好有 k 個事件發(fā)生的概率為kyxyyxxp。第四章22 （10 分）（中）已知隨機游動的轉移概率矩陣為5 .005 .05 .05 .0005 .05 .0p求三步轉移概率矩陣p(3)及當初始分布為13,021000xpxpxp時，經(jīng)三步轉移后處于狀態(tài)3 的概率。23 （15 分）（難）將2 個紅球

17、4 個白球任意地分別放入甲、乙兩個盒子中，每個盒子放3 個，現(xiàn)從每個盒子中各任取一球，交換后放回盒中(甲盒內取出的球放入乙盒中，乙盒內取出的球放入甲盒中)，以 x(n) 表示經(jīng)過n 次交換后甲盒中紅球數(shù)，則x(n) ，n0為齊次馬爾可夫鏈，求（1）一步轉移概率矩陣；（2）證明：x(n) ， n 0 是遍歷鏈； （ 3）求2, 1 ,0,lim)(jpnijn。24 （10 分）（中）已知本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉移概率矩陣如下：)4.0,2.0,4.0()0(tp6.02.02.02.07.01.01 .01.08.0p求下一、二個月的銷售狀態(tài)分布。精品學習資料 可選擇p d f - - -

18、- - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -25 （15 分）（難）設馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間i1，2， 7，轉移概率矩陣為2.08.0000007.03.000000003 .05 .02 .000006 .004 .0000004 .06 .0001 .01.01.02 .02 .02.01.01 .01.01.001 .02.04.0p求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布。26（15 分）

19、 （難）設河流每天的bod( 生物耗氧量 )濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間i=1 ，2，3，4是按 bod 濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉移概率矩陣(以一天為單位)為4.04.02 .001.06.02 .01 .01.02.05 .02 .001.04 .05 .0p若 bod 濃度為高，則稱河流處于污染狀態(tài)。(1)證明該鏈是遍歷鏈；(2)求該鏈的平穩(wěn)分布；(3)河流再次達到污染的平均時間4。27 （10 分）（易）設馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間i0，1，2， 3，轉移概率矩陣為10004/14/14/14/1002/12/1002/12/1p求狀態(tài)空間的分解。28 （15 分）（難）設

20、馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為i1 ，2，3，4轉移概率矩陣為2/104/14/1003/23/100100001p討論)(1limninp29 （10 分）（易）設馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣為2/12/102/102/102/12/1p精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -求其平穩(wěn)分布。30 （15 分）（難）甲乙兩人進行一種比賽，設每局比賽甲勝的

21、概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率為r，且 p+q+r=1設每局比賽勝者記1 分，負者記一1分和局記零分。當有一人獲得2 分時比賽結束以nx表示比賽至n 局時甲獲得的分數(shù)，則1,nxn是齊次馬爾可夫鏈（ 1）寫出狀態(tài)空間i； （2）求出二步轉移概率矩陣；（ 3） 求甲已獲1 分時，再賽兩局可以結束比賽的概率31 （10 分）（中） (天氣預報問題 ) 設明天是否有雨僅與今天的天氣有關，而與過去的天氣無關又設今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為，規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)l 。因此問題是兩個狀態(tài)的馬爾可夫鏈設4 .0,7.0，求今天有雨且第四天仍有雨的概率32 （

22、10 分）（中）設1,nxn是一個馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間i=a ，b，c，轉移概率矩陣為05/25/33/103/24/14/12/1p求（ 1）|,07654321cxbxcxaxcxaxcxbxp（ 2）|2bxcxpnn33 （15 分）（難）設馬爾可夫鏈0,nxn的狀態(tài)空間i 1 ，2， 6，轉移概率矩陣為2/10002/10000001003/103/13/1010000100000000100p試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態(tài)的周期。答案三、大題1 解：引入隨機變量nipqxi2, 110（1 分）iitxieet)(peqeitit10qpeit（3 分）精品學習資料 可選擇p d

23、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -),(1pnbxxnii（4 分）itxeet)(niixitee1)(niitxiee1nitqpe)( （6 分）iex)0(（8 分）)0(iex0)(tnitqpei01)(titnitipeqpeninp（10 分）2解：依題意知硬幣出現(xiàn)正反面的概率均為1/2 （1）當 t=1/2 時， x（1/2）的分布列為211)

24、21(0)21(xpxp其分布函數(shù)為11102100);21(xxxxf（3 分）同理，當t=1 時 (1)的分布列為212)1(1)1(xpxp其分布函數(shù)為21212110); 1(xxxxf（5 分）（2）由于在不同時刻投幣是相互獨立的，故在t=1/2，t=1 時的聯(lián)合分布列為412)1(,1)21(1)1(,1)21(2)1(,0)21(1)1(,0)21(xxpxxpxxpxxp故聯(lián)合分布函數(shù)為21121121021102/14/1100),; 1 ,21(212121212121xandxxandxorxandxxandxxorxxxf（10 分）3解：對于任意固定的t t，x(t)

25、 是正態(tài)隨機變量，故精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -0)()()(tbeaetxe221)()()(ttbdadtxd所以 x （t ）服從正態(tài)分布)1 ,0(2tn（3 分）其次任意固定的221121)(,)(,btatxbtatxttt則依 n 維正態(tài)隨機向量的性質，)(),(21txtx服從二維正態(tài)分布，且0)()(21txet

26、xe2222111)(1)(ttxdttxd（8 分）2121211)()()(),(tttxtxetxtxcov所以二維分布是數(shù)學期望向量為（0， 0） ，協(xié)方差為222121211111tttttt的二維正態(tài)分布。（10 分）4解：bvttx)(，)1 ,0( nv，故)(tx服從正態(tài)分布，bbtevbvtetxe)(22)(tdvtbvtdtxd均值函數(shù)為btxetm)()(（4 分）相關函數(shù)為bvtbvtetxtexttr211121)()(),(221212)(bbttvttve221btt（10 分）5 解：)()()()()()(tgtmtgtxeteytmxy（4 分）)()(

27、),(),(212121tmtmttrttbyyyy)()()()(2121tmtmtyteyyy)()()()()()()()(22112211tgtmtgtmtgtxtgtxexx)()(),(2121tmtmttrxxx),(21ttbx（10 分）6解：因為),(tttx是實正交增量過程，故0)(txe精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 21 頁 - - - - - -

28、 - - -服從標準正態(tài)分布， 所以1,0de（2 分）0)()(etxetye（4 分）又因為)(,0txt都與相互獨立)()()()()(),(txsxetysyetysycov （6 分）2)()()()(etxesxetxsxe1)(),(txsxcov（8 分）1),(min2tsx（10 分）7解：利用數(shù)學期望的性質可得，)()()()(),(tytxsysxetscyxyxz （2 分）)()()()(tytxsysxeyxyx)()()(2yxxytxexe2)()()(yyxyestysxe（8 分）stdyyxcovtsdx),()(2221)(stts（10 分）8解：)

29、()()()(),(221121txatxtxatxettry（2分）)()()()()()()()(21212121txtxeatxtxetxatxeatxatxe),(),(),(),(21212121ttrattrtatratatrxxxx（ 10 分）9 解：根據(jù)題意知顧客的到達率為95)5(22053203055)(tttttt（3 分）10)55()5 .0()5.1(5.15.0dttmmxx（6 分）100)5.0()5 .1(exxp（10 分）10解：設0),(ttx表示到達商店的顧客數(shù)，i表示第 i 個顧客購物與否，即精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

30、 - - - - - - - - 第 11 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -個顧客不購物第個顧客購物第iii01則由題意知i獨立同分布且與)(tx獨立ppppii1)0(,)1(因此，)(1)(txiity是復合泊松過程，表示（0，t）內購買商品的顧客數(shù)，（5分）由題意求0)(typ0)(1)(1)(,00ktxiitxiiktxpp0)(10kiikpktxp（10 分）ktkkqekt0!)(0!)(kktkqteptqt

31、teee （15 分）11證明：)()(ntytyp)()()()(2121ntxtxtxtxp)()()()(2211ntxtxtxtxpniintxtxitxtxp02211)()(,)()(（ 5 分）niintxtxpitxtxp02211)()()()(（ 10 分）niinieinei02121)!()(!)(!)(21)(21nen2,1 ,0n故 y(t) 是具有參數(shù)21的泊松過程（15 分）12. 解：設)(tn為在時間 0，t內的移民戶數(shù)，其是強度為2 的泊松過程，iy表示每戶的人數(shù)，則在 0，t內的移民人數(shù))(1)(tniiytx是一個復合泊松過程。（2 分）精品學習資料

32、 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -iy是獨立同分布的隨機變量，其分布為iy1 2 3 4 p613131616436152iieyey（4 分）2561552)5()5(1eyenmx（7 分）321564352)5()5(21eydnx（10 分）13 解： 以 a 記時間 2t 內呼叫 n 次的事件，記第一時間間隔內呼叫為kh， 則)()(

33、kphptk，第二時間間隔內)()|(knphaptk成立，于是eknekknpkpnpknnkknkttt)!(!)()()(002（4 分）nkknnnkncneknknne0202!)!(!（8 分）2!)2(enn（10 分）14 解： 由題意，顧客到達數(shù)n(t) 是強度為的泊松過程， 則顧客到達的時間間隔 1,nxn服從參數(shù)為的指數(shù)分布，00030)(30 xxexfxx（4 分）16023030602edxexpx（10 分）15解：設)(tx是 t 年進入中國上空的流星數(shù)，)(tx為參數(shù)10000的齊次泊松過程設,2, 1,0, 1iiiyi個流星不落于地面第個流星落于地面第即0

34、001.09999.010iy由題意知，)(1txiiyw是一個復合泊松過程（5 分）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -1210001. 010000121)(1eytexew1210001.0110000121)(221eytvarxvarww是參數(shù)為1p的泊松過程（10 分） 101112wpwpwpwp121121121112

35、101211! 1)121(! 0)121(1eeee （15 分）16解：以)(tn表示在),0t內通過的車輛數(shù)，設0),(ttn是泊松過程，則, 2, 1 ,0,!)()(kektktnptk（2 分）5ln2.00)1 (enp（5 分） 1)2(0)2(1 1)2(1 1)2(npnpnpnp5ln25225242122ee（10 分）17 解： 由題意，顧客到達數(shù)n(t) 是強度為的泊松過程， 則顧客到達的時間間隔 1,nxn服從參數(shù)為的指數(shù)分布，00030)(30 xxexfxx（4 分）2604030130604edxexpx（10 分）18解：設z(t) 為在 0，t內來到的顧

36、客數(shù)，)(tz為參數(shù)6的齊次泊松過程，iy是每個顧客訂閱年限的概率分布，且iy獨立同分布，由題意知，)(1)(tziiytx為0，t內得到的總手續(xù)費，是一個復合泊松過程（5 分）6106133122111ey精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -62061331221122221ey（8 分）tteyteztex106106)()(1t

37、teytvarztvarx206206)()(21 （15 分）19解： n (t)表示在 0，t)內到達的顧客數(shù)，顯然 n (t), t 0是泊松過程，2，則當t=2 時， n （5）服從泊松過程,2, 1,0,!)52()5(52kekknpk（5 分）故10)5(;10)5(ndne1010)5(11)5(enpnp（10 分）20解：因為維修次數(shù)與使用時間有關，所以該過程是非齊次泊松過程，強度函數(shù)1052/1505 .2/1)(ttt則5 .4215.21)()10(10550100dtdtdtt（6 分）295. 429!1!5.41)0()10(eennp（10 分）21證明：設x

38、（t）的兩個相鄰事件的時間間隔為，依獨立性有yekktytypky!)()()(（2 分）而 x（t）的不同到達時刻的概率密度函數(shù)為othersefxxx00)(（4 分）由于 x（ t）是泊松過程，故y（t）恰好有k 個事件發(fā)生的概率為精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -kyxyyxxkyxkyxkkyxxkykkdeekdeekp

39、xyxy100)(!)(（ 8 分）（10 分）22解：3)3(pp5.005 .05.05.0005.05 .05.005 .05.05.0005.05 .05.005.05.05.0005.05.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0（6 分）25.025.01)3()3(3333ppp（10 分）23解：由題意知，甲盒中的球共有3 種狀態(tài)，)(nx表示甲盒中的紅球數(shù)甲盒乙盒2 2 紅、 1 白3 白1 1 紅、 2 白1 紅、 2 白0 3 白2 紅、 1 白pp00甲乙互換一球后甲盒仍有3 個白球|甲盒有 3 個白球 =p從乙盒放入甲盒的

40、一球是白球=1/3 pp01 甲乙互換一球后甲盒有2 個白球 1 個紅球|甲盒有 3 個白球 =p 從乙盒放入甲盒的一球是紅球=2/3 pp02甲乙互換一球后甲盒有1 個白球 2 個紅球|甲盒有 3 個白球 =0 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -以此類推，一步轉移概率矩陣為3/13/209/29/59/203/23/1p（8 分）

41、（2）因為各狀態(tài)互通，所以為不可約有限馬氏鏈，且狀態(tài)0 無周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。（ 10 分）（3）),(210解方程組1210p即1319232953292312102122101100（13 分）解得51,53,5121051lim53lim,51lim2)(21)(10)(0ninninninppp（15 分）24解：)4.0,2.0,4 .0()0()1(ppptt6 .02.02.02 .07.01.01.01 .08.0)32.0,26.0,42.0(（5 分）)4.0,2.0,4.0()0()2(2ppptt6 .02.02.02 .07.01.01.01 .08.06 .02

42、.02 .02 .07.01.01.01 .08 .0)286.0,288.0,426.0(（ 10 分）25解：2,1n是非常返集，5 ,4,31c，7,62c是正常返閉集。（5 分）常返閉集5 ,4,31c上的轉移矩陣為3.05 .02.06.004.004 .06.0解方程組1543p，其中),(543，解得236,237,2310543精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共

43、 21 頁 - - - - - - - - -1c上的平穩(wěn)分布為0,0,236,237,2310,0,0（10 分）同理解得2c上的平穩(wěn)分布為157,158,0,0,0,0,0（15 分）26. 解： （1）因為4321，故馬氏鏈不可約，又因為狀態(tài)1 非周期，故馬氏鏈是遍歷鏈（5 分）（2）解方程組14321p其中),(4321解得1044.0,3236.0,3028.0,2112.04321（10 分）（3）天）(9144（15 分）27解：狀態(tài)傳遞圖如下圖（2 分）由狀態(tài) 3 不可能到達任何其它狀態(tài)，所以是常返態(tài)由狀態(tài)2 可到達0， 1，3 三個狀態(tài)，但從0，1，3 三個狀態(tài)都不能到達狀態(tài)

44、2，且141)1(221)(22ffnn，故狀態(tài) 2 是非常返狀態(tài)。（5 分）狀態(tài) 0，1 互通且構成一個基本常返閉集，1212121212121)3(00)2(00)1(001)(00ffffnn故狀態(tài) 0，1 是常返態(tài)。（8 分）于是狀態(tài)空間分解為31 ,02i（10 分）28解：狀態(tài)傳遞圖如下圖精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -（5 分）狀態(tài) 1 和狀態(tài) 2 都是吸收態(tài) 都是正常返非周期的基本常返閉集，而 n3，4是非常返集 有,31, 0, 1)(31)(21)(11nnnppp（8 分）111)(411)(11)(41)(4121214121412141nnnllnllnlnfpfp（12 分）以