數(shù)學(xué)分析第五章導(dǎo)數(shù)和微分1

1、第五章第五章 導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)和微分1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出一、問題的提出1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題0tt ,0時(shí)時(shí)刻刻的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度求求tt如圖如圖,0tt 的時(shí)刻的時(shí)刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運(yùn)動(dòng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得2t)(tlimv00 gtt瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.0gt 2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放 t0 xxoxy)(xfy cnm如圖如圖, 如果割線如果割線mn繞點(diǎn)繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置mt

2、,直線直線mt就稱為曲線就稱為曲線c在點(diǎn)在點(diǎn)m處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱這個(gè)極限為函并稱這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在

3、之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn) x.)(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開

4、區(qū)間在開區(qū)間就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點(diǎn)內(nèi)的每點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixfixfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfix或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對(duì)應(yīng)著都對(duì)應(yīng)著對(duì)于任一對(duì)于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 播放播放2.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)

5、導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).,),(),()(000可導(dǎo)性可導(dǎo)性的的討論在點(diǎn)討論在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxxxxf xxfxxfx )()(li

6、m000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存在存在xf 則則)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可導(dǎo)導(dǎo)，,)(0存在存在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且三、由定義求導(dǎo)數(shù)三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即例例2 2.)(sin)(

7、sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解

8、haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0(

9、)0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy t0 xm1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何

10、意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即2.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng): :路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)的

11、導(dǎo)數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf

12、.)(0,0的角點(diǎn)的角點(diǎn)為為處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在xfxx 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無窮導(dǎo)數(shù)有無窮導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x.,)()(. 30點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)則則指擺動(dòng)不定指擺動(dòng)不定不存在不存在在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都函數(shù)函數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy.)()(,)(

13、. 4000不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的尖點(diǎn)的尖點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)符號(hào)相反符號(hào)相反的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)且在點(diǎn)且在點(diǎn)若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小結(jié)六

14、、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考題思考題 函函數(shù)數(shù))(xf在在某某點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 與與導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf 有有什什么么區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系？

15、思考題解答思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個(gè)具體的是一個(gè)具體的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間i上每一上每一點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在i上的一個(gè)新函數(shù)，即上的一個(gè)新函數(shù)，即ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對(duì)應(yīng)，所以兩與之對(duì)應(yīng)，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點(diǎn)是：在某點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 即是導(dǎo)即是導(dǎo)函數(shù)函數(shù))(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(0

16、xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時(shí)的速度為秒時(shí)的速度為_ ._ .3 3、 設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .練習(xí)題練習(xí)題4 4、 設(shè)設(shè)2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點(diǎn)在 點(diǎn))

17、1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導(dǎo)數(shù)的定存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出a表示什么？表示什么？ 1 1、axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存在，則存在，則0)0( f. .四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什

18、么條滿足什么條件，件，)(xf在在0 x處處 (1)(1)連續(xù)；連續(xù)； （2 2）可導(dǎo)；）可導(dǎo)；（3 3）導(dǎo)數(shù)連續(xù)）導(dǎo)數(shù)連續(xù). .五、五、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf在在1 x處連續(xù)且可導(dǎo)，處連續(xù)且可導(dǎo)，ba ,應(yīng)取什么值應(yīng)取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明：雙曲線證明：雙曲線2axy 上任一點(diǎn)處的切線與兩上任一點(diǎn)處的切線與兩 坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于22a. .八八、 設(shè)設(shè)有有一一根根細(xì)細(xì)棒棒，取取棒棒的的一一端端作作為為原原點(diǎn)點(diǎn)，棒棒上

19、上任任意意點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為x，于于是是分分布布在在區(qū)區(qū)間間1,0上上細(xì)細(xì)棒棒的的質(zhì)質(zhì)量量m是是x的的函函數(shù)數(shù))(xmm 應(yīng)應(yīng)怎怎樣樣確確定定細(xì)細(xì)棒棒在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的線線密密度度（對(duì)對(duì)于于均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒來來說說，單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度細(xì)細(xì)棒棒的的質(zhì)質(zhì)量量叫叫作作這這細(xì)細(xì)棒棒的的線線密密度度）？一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ； 2 2、)0(f ； 3 3、)(20 xf . .四、四、(1)(1)當(dāng)當(dāng)0 k時(shí)時(shí), ,)(xf在在0 x

20、處連續(xù)；處連續(xù)；(2)(2)當(dāng)當(dāng)1 k時(shí)時(shí), ,)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,且且0)0( f； (3) (3)當(dāng)當(dāng)2 k及及0 x時(shí)時(shí), ,)(xf 在在0 x處連續(xù)處連續(xù). .五、五、1, 2 ba. .六、六、 0, 10,cos)(xxxxf. . 八、八、0 xxdxdm . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割