量子力學(xué)第六章

1、1 1 電子的自旋電子的自旋 2 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 3 3 簡單塞曼效應(yīng)簡單塞曼效應(yīng) 4 兩個角動量耦合兩個角動量耦合 5 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 6 6 全同粒子的特性全同粒子的特性 7 7 全同粒子體系波函數(shù)全同粒子體系波函數(shù)PauliPauli 原理原理 8 8 兩電子自旋波函數(shù)兩電子自旋波函數(shù) 9 9 氦原子（微擾法）氦原子（微擾法）第八章第八章 自旋與全同粒子自旋與全同粒子返回返回（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 實驗實驗 ( (二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) （三）電子自旋假設(shè)（三）電子自旋假設(shè) （四）

2、回轉(zhuǎn)磁比率（四）回轉(zhuǎn)磁比率1 1 電子的自旋電子的自旋返回返回（1 1）實驗描述）實驗描述Z處于處于 S S 態(tài)的態(tài)的氫原子氫原子（2 2）結(jié)論）結(jié)論I I。氫原子有磁矩。氫原子有磁矩 因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)IIII。氫原子磁矩只有兩種取向。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的即空間量子化的S S 態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。NS（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 實驗實驗（3 3）討論）討論中中的的勢勢能能為為：向向外外場場則則原原子子

3、在在，外外磁磁場場為為設(shè)設(shè)原原子子磁磁矩矩為為BZBM coszMBBMU 磁矩與磁磁矩與磁場之夾角場之夾角原子原子 Z Z 向受力向受力 coszBMzUFzz 分析分析若原子磁矩可任意取向若原子磁矩可任意取向, ,則則 coscos 可在可在 （-1-1，+1+1）之間）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng)但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng)coscos = -1 = -1 和和1 1 ，處于，處于 S S 態(tài)的氫原子態(tài)的氫原子 =0=0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，

4、即自旋磁矩。磁矩，即自旋磁矩。3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258965890鈉原子光譜中的一條亮鈉原子光譜中的一條亮黃線黃線 5893 5893，用高，用高分辨率的光譜儀觀測，分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實是可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩條譜線由靠的很近的兩條譜線組成。組成。其他原子光譜中也可以發(fā)其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才只有考慮了電子的自旋才能得到解釋能得到解釋（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)Uhle

5、nbeckUhlenbeck 和和 GoudsmitGoudsmit 1925 1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè)電子自旋假設(shè)（1 1）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：的投影只能取兩個數(shù)值：2 zSS（2 2）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系為：）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系為：SceMS 自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：)(2CGSMceMBzS Bohr Bohr 磁子磁子（三）電子自旋假設(shè)（三

6、）電子自旋假設(shè)(CGS)（1 1）電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率）電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率LceML 2 我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：我們知道，軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：ceSMzzS （2 2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率）軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：ce 2 可見可見電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍（四）回轉(zhuǎn)磁比率（四）回轉(zhuǎn)磁比率2 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋算符和自旋波函數(shù)返回返回（一）自旋算符（一）自旋算符 （二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù) （三）自旋算符的矩陣表示與（三）自旋算符的矩陣表示與

7、PauliPauli 矩陣矩陣 （四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 （五）自旋波函數(shù)（五）自旋波函數(shù) （六）力學(xué)量平均值（六）力學(xué)量平均值自旋角動量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。自旋角動量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。 自旋角動量也是一個力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別自旋角動量也是一個力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別通常的力學(xué)量都可以表通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動量的函數(shù)示為坐標(biāo)和動量的函數(shù)),(prFF 而自旋角動量則與電子的坐標(biāo)和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)而自旋角動量則與電子的坐標(biāo)和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的

8、表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。與其他力學(xué)量一樣，自旋角動量與其他力學(xué)量一樣，自旋角動量 也是用一個算符描寫，記為也是用一個算符描寫，記為S自旋角動自旋角動量量 與軌道與軌道角動量的角動量的 異同點異同點與坐標(biāo)、動量無關(guān)與坐標(biāo)、動量無關(guān)pr 不適用不適用同是角動量同是角動量滿足同樣的角動量對易關(guān)系滿足同樣的角動量對易關(guān)系（一）自旋算符（一）自旋算符yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL, 自自旋旋角角動動量量軌軌道道角角動動量量由于由于自旋角動量自旋角動量在空

9、間任意方向上的投影只能取在空間任意方向上的投影只能取 /2 /2 兩個值兩個值所以所以zyxSSS的本征值都是的本征值都是 /2/2，其平方為，其平方為 /2/22 22S算符的本征值是算符的本征值是2432222zyxSSSS仿照仿照22) 1( llL2124322) 1(sssS自旋量子數(shù)自旋量子數(shù) s s 只有一個數(shù)值只有一個數(shù)值因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用 (x, y, z) (x, y, z) 三個坐三個坐標(biāo)變量外，還需要一個自旋變量標(biāo)變量外，還需要一個自旋變量 (S(SZ Z），于是電子的含自旋的波函數(shù)需

10、寫為：），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：),(tSzyxz 由于由于 S SZ Z 只取只取 /2 /2 兩個值，兩個值， 所以上式可寫為兩個分量：所以上式可寫為兩個分量： ),(),(),(),(2221tzyxtrtzyxtr 寫成列矩陣寫成列矩陣 ),(),(21trtr 規(guī)定列矩陣規(guī)定列矩陣 第一行對應(yīng)于第一行對應(yīng)于S Sz z = = /2/2， 第二行對應(yīng)于第二行對應(yīng)于S Sz z = - = - /2/2。若已知電子處于若已知電子處于S Sz z = = /2/2或或S Sz z = - = - /2/2的的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為： ),(00)

11、,(212121trtr （二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（1 1） SZ的矩陣形式的矩陣形式電子自旋算符（如電子自旋算符（如S SZ Z）是作用在電子自旋）是作用在電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了2 21 1 的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是陣表示應(yīng)該是 2 22 2 矩陣。矩陣。 dcbaSz2因為因為1/2 1/2 描寫的態(tài)，描寫的態(tài)，S SZ Z有確定值有確定值 /2/2，所以，所以1/2 1/2 是是 S SZ Z 的本征態(tài)，本征值為的本征態(tài)，本征值為 /2/2，即有：即有：212

12、12 zS矩陣形式矩陣形式 0),(20),(211trtrdcba 0111 ca 01ca同理對同理對1/2 處理，有處理，有 ),(02),(0222trtrdcba 2220 db 10db最后得最后得 S SZ Z 的的矩陣形式矩陣形式 10012zSS SZ Z 是對角矩陣，對角矩陣是對角矩陣，對角矩陣元是其本征值元是其本征值 /2/2。（三）自旋算符的矩陣表示與（三）自旋算符的矩陣表示與 PauliPauli 矩陣矩陣（2 2）PauliPauli 算符算符1. Pauli 算符的引進算符的引進 2 S令令 zzyyxxSSS 222分量分量形式形式 2iSiSS 對對易易關(guān)關(guān)系

13、系：因為因為S Sx x, S, Sy y, S, Sz z的本征值都的本征值都 /2/2， 所以所以x x,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1； x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是1 1 。即：即：1222zyx yzxxzxyzzyzxyyxiii 222分分量量形形式式：2. 2. 反對易關(guān)系反對易關(guān)系基于基于的對易關(guān)系，可以證明的對易關(guān)系，可以證明 各分量之間滿足反對易關(guān)系各分量之間滿足反對易關(guān)系: : 000zxxzyzzyxyyx 證：證：我們從對易關(guān)系我們從對易關(guān)系:xyzzyi2出發(fā)出發(fā)左乘左乘y yxyyzyzyyi 2 xyyzyz

14、yi 22 xyyzyzi 2 右乘右乘y yyxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 二式相加二式相加0 xyyx 同理可證同理可證:z, y 分量的反對易關(guān)分量的反對易關(guān)系亦成立系亦成立. 證畢證畢 xyyx 或或由對易關(guān)系和反對易關(guān)系由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于還可以得到關(guān)于 PauliPauli 算算符的如下非常有用性質(zhì)：符的如下非常有用性質(zhì)： yzxxzxyzzyzxyyxiii y2=13. Pauli3. Pauli算符的矩陣形式算符的矩陣形式根據(jù)定義根據(jù)定義 1001100122zzzS 求求 Pauli 算符的算符的 其他兩個分量其他兩個分量令令 dcbax 利用反

15、對易利用反對易關(guān)系關(guān)系zxxz 10011001dcbadcba得得： dcbadcba 00daX 簡化為：簡化為： 00cbx 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：令：c = expi c = expi (為實），則為實），則 00 iixee由力學(xué)由力學(xué)量算符量算符厄密性厄密性 000000*cbbccbxx 得：得：b = c*(或或c = b*) 00*ccx x2 = I求求y 的矩陣形式的矩陣形式出出發(fā)發(fā)由由xzyxzyii 001001 iiyeei得得：iieiie 00這里有一個相位不定性，習(xí)慣上取這里有一個相位不定性，習(xí)慣上取= 0= 0， 于是得到于

16、是得到 PauliPauli 算符算符的矩陣形式為：的矩陣形式為： 1001000110zyxii 從自旋算符與從自旋算符與 PauliPauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示： 1001200201102zyxSiiSS寫成矩陣形式寫成矩陣形式（1 1）歸一化）歸一化電 子 波 函電 子 波 函數(shù)表示成數(shù)表示成 ),(),(21trtr 矩陣形矩陣形式后，式后，波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分，即波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分，即 dtrtrd ),(),(21*2*11|2221 d（2 2）幾率密度）幾率

17、密度 ),(tr 2221| ),(),(21trtr 表示表示 t 時刻在時刻在 r r 點附近點附近 單位體積內(nèi)找到電子的幾率單位體積內(nèi)找到電子的幾率表示表示 t t 時刻時刻 r r 點處點處 單位體積內(nèi)找到自旋單位體積內(nèi)找到自旋 S Sz z= = /2/2的電子的幾率的電子的幾率表示表示t t時刻時刻r r點點處單位體積內(nèi)處單位體積內(nèi)找到自旋找到自旋 S Sz z = = /2 /2 的電子的幾率的電子的幾率 dtr),(1 在全空間找在全空間找到到Sz = /2的的電子的幾率電子的幾率 dtr),(2 在全空間找到在全空間找到 Sz = /2 的電子的幾率的電子的幾率（四）含自旋波

18、函數(shù)的歸一化和幾率密度（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度波函數(shù)波函數(shù) 21 這是因為，通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對這是因為，通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響。軌道運動有影響。但是，當(dāng)這種相互作用很小時，可以將其忽略，則但是，當(dāng)這種相互作用很小時，可以將其忽略，則1 1 , ,2 2 對對 (x, y, z) (x, y, z) 的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時可以寫成如下形式：可以寫成如下形式：( , )( , )()() zzzzr Str tSSS 其其 中中是是的的 本本 征征

19、 函函 數(shù)數(shù) ， 稱稱 為為 自自 旋旋 波波 函函 數(shù)數(shù) 。求：自旋波函數(shù)求：自旋波函數(shù)(S(Sz z) )S SZ Z 的本征方程的本征方程)(2)(zzzSSS 令令的的自自旋旋波波函函數(shù)數(shù)，即即和和分分別別為為本本征征值值和和22)()(2121 zzSS )(2)()(2)(21212121zzzzzzSSSSSS 一般情況下，一般情況下，1 1 2 2，二者對，二者對(x, y, z)(x, y, z)的依賴是不一樣的。的依賴是不一樣的。（五）自旋波函數(shù)（五）自旋波函數(shù)因為因為 S Sz z 是是 2 2 2 2 矩陣，所以在矩陣，所以在 S S2 2, S, Sz z 為對角矩陣

20、的表為對角矩陣的表象內(nèi)，象內(nèi)，1/21/2, , -1/2 -1/2 都應(yīng)是都應(yīng)是 2 21 1 的列矩陣。的列矩陣。 43212121aaaa 代入本征方程得：代入本征方程得： 2121210012aaaa 2121aaaa 0211aaa由歸一化條件確定由歸一化條件確定a a1 1 11|100111*1 aaaa所以所以 0121 二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交 001102121 1021 同同理理引進自旋后，任一自旋算符的函數(shù)引進自旋后，任一自旋算符的函數(shù) G G 在在 S Sz z 表象表示為表象表示為2 22 2矩陣矩陣

21、22211211GGGGG算符算符 G G 在任意態(tài)在任意態(tài)中對自旋求平均的平均值中對自旋求平均的平均值 2122211211*2*1 GGGGGG 222121212111*2*1 GGGG222*2121*2212*1111*1 GGGG 算符算符 G G 在在 態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時求平均的平均值是：態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時求平均的平均值是： dGG dGGGG 2122211211*2*1 dGGGG222*2121*2212*1111*1 （六）力學(xué)量平均值（六）力學(xué)量平均值3 3 簡單塞曼效應(yīng)簡單塞曼效應(yīng)返回返回（一）實驗現(xiàn)象（一）實驗現(xiàn)象 （二）氫、類氫原子在外場中的附加能（二）氫、類

22、氫原子在外場中的附加能 （三）求解（三）求解 Schrodinger 方程方程 （四）（四） 簡單塞曼效應(yīng)簡單塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)：塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生分氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生分 裂的現(xiàn)象該現(xiàn)象在裂的現(xiàn)象該現(xiàn)象在18961896年被年被ZeemanZeeman首先觀察到。首先觀察到。（1 1）簡單塞曼效應(yīng)：簡單塞曼效應(yīng)：在強磁場作用下，光譜線的分裂現(xiàn)象。在強磁場作用下，光譜線的分裂現(xiàn)象。 （2 2）復(fù)雜塞曼效應(yīng)：復(fù)雜塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場較弱，軌道當(dāng)外磁場較弱，軌道- -自旋相互作用不自旋相互作用不 能忽略時，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。能忽略時，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼

23、效應(yīng)。（一）實驗現(xiàn)象（一）實驗現(xiàn)象取外磁場方向沿取外磁場方向沿 Z 向，則磁場引起的附加能（向，則磁場引起的附加能（CGS 制）為：制）為：BSLceBMMUSL )2(2)( 磁場沿磁場沿 Z Z 向向BSLcezz)2(2 （二）（二）Schrodinger 方程方程考慮強磁場忽略自旋考慮強磁場忽略自旋-軌道相互作用，體系軌道相互作用，體系Schrodinger 方程：方程： ESLceBrVzz)2(2)(222 （二）氫、類氫原子在外場中的附加能（二）氫、類氫原子在外場中的附加能根據(jù)上節(jié)分析，沒有自旋根據(jù)上節(jié)分析，沒有自旋-軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：軌道相互作用的波函數(shù)可寫成： 22

24、11002121 或或代入代入 S方程方程 00)2(2)(21122 ESLceBrVzz 02011 zS為為因因 00)(2)(21122 ELceBrVz以以所所最后得最后得 1 滿足的方程滿足的方程1122)(2)(2 ELceBrVz 同理得同理得 2 滿滿足的方程足的方程2222)(2)(2 ELceBrVz （1） 當(dāng)當(dāng) B=0 時（無外場），是有心力場問題，方程退化為時（無外場），是有心力場問題，方程退化為 不考慮自旋時的情況。其解為：不考慮自旋時的情況。其解為：),()(21 lmnlnlmYrR I。 對氫原子情況對氫原子情況22422)(neErerVn II。對類氫原

25、子情況。對類氫原子情況如如 Li，Na，等堿金屬原子，核外電子對核庫侖場有屏蔽等堿金屬原子，核外電子對核庫侖場有屏蔽作用，此時能級不僅與作用，此時能級不僅與 n 有關(guān)，而且與有關(guān)，而且與 有關(guān)，記為有關(guān)，記為E n 則有心力場方程可寫為：則有心力場方程可寫為：nlmnlmErV )(222（三）求解（三）求解 SchrodingerSchrodinger 方程方程由于由于nlmlmnllmznllmnlznlmzmYrRmYLrRYrRLL ),()(),()(),()(（2） 當(dāng)當(dāng) B 0 時（有外場）時時（有外場）時所以在外磁場下，所以在外磁場下， n m 仍為方程的解，此時仍為方程的解，

26、此時nlmnlmzELceBrV )(2)(222nlmnlmnlmEmceBrV )(2)(222nlmnlmnlmnlEmcBeE ) 1(22) 1(2 znlSformcBeEE 同理同理2) 1(2 znlSformcBeEE 2)1(22)1(2znlznlnlmSformcBeESformcBeEE （1）分析能級公式可知：在外磁場下，能級與）分析能級公式可知：在外磁場下，能級與 n, l, m 有關(guān)。原有關(guān)。原來來 m 不同能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。不同能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。（2）外磁場存在時，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于）外磁場存在時，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)

27、。當(dāng)原子處于 S 態(tài)時，態(tài)時， l = 0, m = 0 的原能級的原能級 En l 分裂為二。分裂為二。 )2(2)2(20000znznnnlmScBeEScBeEEE 這正是這正是 SternGerlach 實驗所觀察到的現(xiàn)象。實驗所觀察到的現(xiàn)象。（四）（四） 簡單簡單塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)（3）光譜線分裂）光譜線分裂2p1sSz= /2Sz= - /2m+10- 1m+10- 100(a) 無外磁場無外磁場(b) 有外磁場有外磁場I。 B = 0 無外磁場時無外磁場時電子從電子從 En 到到 En 的躍遷的譜線頻率為：的躍遷的譜線頻率為：0lnnlEE II。 B 0 有外磁場時有外磁場時m

28、lnnlmEE 1(1)(1)22nln le Be BEmEmcc ()2nln lEEe Bmmc mcBe 20 根據(jù)上一章選根據(jù)上一章選擇定則可知，擇定則可知，)1(1,0 lm所以譜線所以譜線角頻率可角頻率可取三值：取三值： cBecBe 22000無磁場無磁場時的一時的一條譜線條譜線被分裂被分裂成三條成三條譜線譜線Sz= /2 時，取時，取 +；Sz= /2 時，取時，取 。 我們已分別討論過了只有我們已分別討論過了只有 L L 和只有和只有 S S 的情況，的情況，忽略了二者之間的相互作用，實際上，在二者都存忽略了二者之間的相互作用，實際上，在二者都存在的情況下，就必須同時考慮軌

29、道角動量和自旋，在的情況下，就必須同時考慮軌道角動量和自旋，也就是說，需要研究也就是說，需要研究 L L 與與 S S 的耦合問題。下面我的耦合問題。下面我們普遍討論一下兩個角動量的耦合問題。們普遍討論一下兩個角動量的耦合問題。（一）總角動量（一）總角動量 （二）耦合表象和無耦合表象（二）耦合表象和無耦合表象4 4 兩個角動量耦合兩個角動量耦合返回返回設(shè)有設(shè)有 J1, J2 兩個角動量，分別滿足如下角動量對易關(guān)系：兩個角動量，分別滿足如下角動量對易關(guān)系：222111JiJJJiJJ 因為二者是相互獨立的角動量，因為二者是相互獨立的角動量，所以相互對易，即所以相互對易，即0,21 JJ其分量其分

30、量 對易關(guān)系可寫為對易關(guān)系可寫為 yxzxzyzyxJiJJJiJJJiJJ,證：證： yyxxyxJJJJJJ2121, yxyxyxyxJJJJJJJJ22122111, zzJiJi2100 zJi )(21zzJJi 同理，對其他分量成立。同理，對其他分量成立。 證畢證畢 （1）二角動量之和）二角動量之和21JJJ 構(gòu)成總角動量構(gòu)成總角動量（一）總角動量（一）總角動量0,) 2(2 JJ證：證： xzyxxJJJJJJ,2222 xzxyxxJJJJJJ,222 zxzxzzyxyxyyJJJJJJJJJJJJ,0 zyyzyzzyJJiJJiJJiJJi 0 同理，對其他分量亦滿足。

31、同理，對其他分量亦滿足。事實上這是意料之中的事，因為凡是滿足角動量定義事實上這是意料之中的事，因為凡是滿足角動量定義JiJJ 的力學(xué)量都滿足如下對易關(guān)系：的力學(xué)量都滿足如下對易關(guān)系： zyxJJ,0,2 2 , 10,) 3 (22 iJJi證：證： 21212221212,2,JJJJJJJ 2121212121222121,2,JJJJJJJJJJJzzyyxx 212121212121,2,2,200JJJJJJJJJzzyyxx 0 上面最后一步證明中，上面最后一步證明中，使用了如下對易關(guān)系：使用了如下對易關(guān)系： 0,212121212121 JJJJJJJJJzzyyxx同理可證同理

32、可證 0222 JJ成立。成立。 證畢證畢由上面證明過程可以看出，若對易括號將由上面證明過程可以看出，若對易括號將 J J1 12 2用用J J1 1代替，顯然有如下關(guān)系：代替，顯然有如下關(guān)系： 0,0,2212JJJJ這是這是因為因為0,1212121 JJJJJJJzzyyxx . 2 , 10)4(2 iJJiz證：證： 212121,JJJJJzzz 212211,JJJJzz 0同理同理 0,22 JJz亦成立。亦成立。 證畢證畢 所以這四個角動量算符有共同的正所以這四個角動量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系。記為：交歸一完備的本征函數(shù)系。記為：綜合上述對易關(guān)系可綜合上述對易關(guān)系

33、可知：四個角動量算符知：四個角動量算符22212,JJJJz兩兩兩兩對易對易（1 1）本征函數(shù)）本征函數(shù) mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJmjjjz,|,|,|) 1(,|,|212121221221zzJJJJ222121,也兩兩對易，故也有共同完也兩兩對易，故也有共同完備的本征函數(shù)系，記為：備的本征函數(shù)系，記為： 22112211,|,|,|mjmjmjmj耦合耦合 表象表象 基矢基矢非耦合表象基矢非耦合表象基矢（二）耦合表象和無耦合表象（二）耦合表象和無耦合表象由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即： mj

34、jjmjmjmjmjmjjjmm,|,|,|21221122112121稱為矢量耦合系數(shù)稱為矢量耦合系數(shù) 或或 Clebsch - Gorldon 系數(shù)系數(shù)因為因為zzzJJJ21 所以有所以有21mmm 于是上式求和只需對于是上式求和只需對 m m2 2 進行即可?？紤]到進行即可?？紤]到 m m1 1 = m - m = m - m2 2 ，則上式可改寫為：，則上式可改寫為： mjjjmjmmjmjmmjmjjjm,|,|,|2122212221212或：或： mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|,|2112111211211我們知道，兩個表象之間的么正變換有一個相位不定性，如果取

35、我們知道，兩個表象之間的么正變換有一個相位不定性，如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使C-GC-G系數(shù)為實數(shù)。系數(shù)為實數(shù)。|,|,|,1211121121211mmjmjmmjmjmjjjmjjjm 共軛式共軛式j(luò) j的取值范圍（的取值范圍（j j與與j j1 1,j,j2 2的關(guān)系）的關(guān)系）1.1.對給定對給定j j1 1 j j2 2 ，求，求 j jmaxmax因為因為m mm m1 1 m m2 2 取值范圍分別是：取值范圍分別是：m = j, j-1,., -j+1, -j mm = j, j-1,., -j+1, -j mmaxmax = j; = j; m m1

36、 1 = j = j1 1, j, j1 1-1,., -j-1,., -j1 1+1, -j+1, -j1 1 (m (m1 1) )maxmax = j = j1 1; ; m m2 2 = j = j2 2, j, j2 2-1,., -j-1,., -j2 2+1, -j+1, -j2 2 (m (m2 2) )maxmax = j = j2 2; ;再考慮到再考慮到m = mm = m1 1 + m + m2 2，則有：，則有：m mmaxmax = (m = (m1 1) )maxmax+ (m+ (m2 2) )maxmax = j = j = j = jmaxmax，于是：于是

37、： j jmama x x = j= j1 1 + j+ j2 22.2.求求 j jminmin由于基矢由于基矢|j|j1 1 m m1 1, |j, |j2 2 m m2 2 對給定的對給定的j j1 1 j j2 2分別有分別有2j2j1 1+1+1和和2j2j2 2+1+1個，個， 所以非耦合表象的基矢所以非耦合表象的基矢 |j|j1 1, m, m1 1,j,j2 2,m,m2 2 = |j = |j1 1,m,m1 1 |j |j2 2, m, m2 2 的數(shù)目為的數(shù)目為(2j(2j1 1+1)( 2j+1)( 2j2 2+1)+1)個個 。另一方面，對于一個另一方面，對于一個 j

38、 j 值，值，|j|j1 1, j, j2 2, j, m , j, m 基矢有基矢有 2j+12j+1個，個，那末那末 j j 從從 j jminmin 到到 j jmaxmax 的所有基矢數(shù)則由下式給出：的所有基矢數(shù)則由下式給出：maxminj2222maxmin12minj( 2 j1 )( j1 )j( jj1 )j 等差級數(shù)求和公式等差級數(shù)求和公式Jmax = j1 + j2由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢相等，所以耦合表象基矢|j|j1 1,j,j2 2,j,m ,

39、j,m 的數(shù)亦應(yīng)等于的數(shù)亦應(yīng)等于(2j(2j1 1+1)(2j+1)(2j2 2+1)+1)個，個， mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|,|2112111211211從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等于是于是 (j(j1 1+j+j2 2+1)+1)2 2 - j - jminmin2 2 = (2j = (2j1 1+1)(2j+1)(2j2 2+1) +1) 從而可解得：從而可解得： j jminmin = |j = |j1 1-j-j2 2| |。3. j 3. j 的取值范圍的取值范圍由

40、于由于 j j 只取只取 0 0 的數(shù)，所以當(dāng)?shù)臄?shù)，所以當(dāng) j j1 1 j j2 2 給定后，給定后，j j 的可能取值由的可能取值由下式給出：下式給出： j = jj = j1 1+j+j2 2, j, j1 1+j+j2 2-1, j-1, j1 1+j+j2 2-2, ., |j-2, ., |j1 1 - j - j2 2|.|.該結(jié)論與舊量子論中角動量求和規(guī)則相符合。該結(jié)論與舊量子論中角動量求和規(guī)則相符合。j j1 1, j, j2 2 和和 j j 所滿足所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為(j(j1 1, j, j2 2, j), j)。求得求

41、得 j, m j, m 后，后， J J2 2, J, Jz z 的本征值問題就得到解決。的本征值問題就得到解決。 mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJz,|,|,|) 1(,|2121212212 mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|,|2112111211211本征矢本征矢作為一個例子下面列出了電子自旋角動量作為一個例子下面列出了電子自旋角動量j j2 2 = 1/2 = 1/2情況下幾情況下幾個個C-GC-G系數(shù)公式。系數(shù)公式。11122122,|, , jmmmjj m121212121211121121112111211211212212 jmjjmjjjmjjmjj

42、mmj將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得：將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得： 21212111211212121112112112112121211121121212111211211211,|12,|12,|,|12,|12,|mjjmjmjjmjmjjmjjmjmjjmjmjj（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（二）有自旋軌道相互作用情況（二）有自旋軌道相互作用情況（1 1）無耦合表象）無耦合表象（2 2）耦合表象）耦合表象（1 1）HamiltonHamilton量量（2 2）微擾法求解）微擾法求解（3 3）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)（4 4）零級

43、近似波函數(shù)）零級近似波函數(shù)本節(jié)討論無外場作用下，考慮電子自旋對類氫原子能級本節(jié)討論無外場作用下，考慮電子自旋對類氫原子能級和譜線的影響。和譜線的影響。5 5 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)返回返回（1 1）無耦合表象）無耦合表象類氫原子類氫原子Hamilton量量)(2220rVH 對類氫原子在不對類氫原子在不考慮核外電子對考慮核外電子對核電得屏蔽效應(yīng)核電得屏蔽效應(yīng)情況下，勢場可情況下，勢場可寫為：寫為：rZerV2)( 因為因為 H H0 0, L, L2 2, L, Lz z 和和 S Sz z 兩兩對易，兩兩對易， 所以它們有共同完備得本征函數(shù)（無耦合表象基矢）：所以它們有共同完備得本征函數(shù)（

44、無耦合表象基矢）： slmlmnlmnlmmmlnYrRrslsl,|),()(),( 可見電子狀態(tài)由可見電子狀態(tài)由 n, l, mn, l, ml l , m, ms s 四個量子數(shù)確定，四個量子數(shù)確定，能級能級公式公式, 3 , 2 , 122242 nneZEn 只與只與 n 有關(guān)有關(guān)能級簡并度，不計電子自旋時，是能級簡并度，不計電子自旋時，是 n n2 2 度簡并，度簡并， 考慮電子自旋后，因考慮電子自旋后，因 m ms s 有二值，故有二值，故 E En n 是是 2n2n2 2 度簡并。度簡并。（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）（2 2

45、）耦合表象）耦合表象電子總角動量電子總角動量SLJ 因為因為 L L2 2, S, S2 2, J, J2 2, J, Jz z 兩兩對兩兩對易且與易且與 H H0 0 對易，故體系定態(tài)也對易，故體系定態(tài)也可寫成它們得共同本征函數(shù)：可寫成它們得共同本征函數(shù)： mjlnsurRsrzljmnlznljm,|),()(),(21 耦合表象基矢耦合表象基矢電子狀態(tài)用電子狀態(tài)用 n,l,j,m n,l,j,m 四個量子四個量子 數(shù)確定。數(shù)確定。通過一么正變換相聯(lián)系與),(),(zmnlmznljmsrsrsl （1 1）Hamilton Hamilton 量量基于相對論量子力學(xué)和實基于相對論量子力學(xué)和

46、實驗依據(jù)，驗依據(jù)，L-SL-S自旋軌道作用自旋軌道作用可以表示為：可以表示為：SLrSLdrdVrcH )(12122 稱為自旋稱為自旋 軌道耦合項軌道耦合項（二）有自旋軌道相互作用情況（二）有自旋軌道相互作用情況于是體系于是體系HamiltonHamilton量量SLrrVHHH )()(2220 由于由于 H H 中包含有自旋中包含有自旋-軌道耦合項，所以軌道耦合項，所以 L Lz z, S, Sz z與與 H H 不再對不再對易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù)易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù) m ml l, m, ms s都不是好量子數(shù)了都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)。，不能用

47、以描寫電子狀態(tài)。 現(xiàn)在好量子數(shù)是現(xiàn)在好量子數(shù)是 l, j, m l, j, m ，這是因為其相應(yīng)的力學(xué)量算符，這是因為其相應(yīng)的力學(xué)量算符 L L2 2, , J J2 2, J, Jz z 都與都與 H H 對易的緣故。對易的緣故。證：證：SLSLSLJ2)(2222 因因為為243222122221 LJSLJSL所所以以0,0,0,22 SLLSLJSLJz有有顯顯然然所以所以 L L2 2, J, J2 2, J, Jz z 都與都與 HH對易從而也與對易從而也與 H H 對易。對易。（2 2）微擾法求解）微擾法求解 EHH )(0本本征征方方程程因為因為 H H0 0的本征值是簡并的，

48、的本征值是簡并的，因此需要使用簡并微擾法因此需要使用簡并微擾法求解。求解。 H H0 0 的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù)。為方便的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù)。為方便計，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級近似波函數(shù)。計，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級近似波函數(shù)。 之所以方便，是因為微擾之所以方便，是因為微擾 Hamilton Hamilton 量量 HH在耦合表象矩陣是對角在耦合表象矩陣是對角化的，而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級波函數(shù)是化的，而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級波函數(shù)是 HH對角化。這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟。

49、對角化。這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟。令：令： mjlnCljmljm,| 展開系數(shù)滿足如下方程：展開系數(shù)滿足如下方程：0)1(, ljmmmjjllnljmmjlljmCEH 其中其中 矩陣元矩陣元,|, , l j mljmHn ljmHn lj m下面我們計算此矩陣元下面我們計算此矩陣元, , ,| , , , l j m ljmHn l j m H n l j m*20( ),| , , nlnlRr R r drlj mL S l j m 2223124| ( )|, ,| | , , nlrnll j mJLl j m 23124| ( )| (1)(1), ,| , ,

50、nlrnlj jl ll j m l j m mmj jl llljjnlrnl 24321) 1() 1(| )(|mmj jl lnljH 其中：其中：243212202*0)1()1(| )(|)()(| )(| lljjnlrnlHdrrrRdrrRrRnlrnlnljnlnlnl 代入關(guān)于代入關(guān)于Cljm的方的方程得：程得：0)1( nnljEH于是00)1()1( mjlnjlnljmmmjjllnnljljmCEHCEH 為書寫簡捷將為書寫簡捷將 lj mlj m用用 l j m l j m 代替代替0)1( ljmnnljCEH由于由于 C Cljmljm 0 0 ，nljnl

51、jnHEE )1()1(所以能量一所以能量一級修正級修正24321)1()1(| )(| lljjnlrnl （3 3）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)1. 1. 簡并性簡并性由上式給出的能量一級修正可以看出，由上式給出的能量一級修正可以看出，L-SL-S耦合使耦合使原來簡并能級分裂開來，簡并消除，但是是部分原來簡并能級分裂開來，簡并消除，但是是部分消除。這是因為消除。這是因為 E Enljnlj(1) (1) 仍與仍與 m m 無關(guān)，同一無關(guān)，同一j j值，值，m m 可取可取 2j+12j+1個值，所以還有個值，所以還有 2j+12j+1度簡并。度簡并。2. 精細(xì)結(jié)構(gòu)精細(xì)結(jié)構(gòu)對給定的對給定的 n

52、, n, 值，值，j=j= (1/ 2)(1/ 2)有二值有二值 = 0 = 0除外除外具有相同具有相同 n, n, 的能級有二個的能級有二個由于由于(r) (r) 通常很小，通常很小，所以這二個能級間距所以這二個能級間距很小，這就是產(chǎn)生精很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因。細(xì)結(jié)構(gòu)的原因。 例例: : 鈉原子鈉原子 2p 2p 項精細(xì)結(jié)構(gòu)項精細(xì)結(jié)構(gòu) 求求 322222212121)()(rcZedrdVrcrrZerV 則若212123212212212232211, 0, 12, 1, 22, 1, 22, 0, 2SjlnPjlnPjlnSjln 58905896鈉原子鈉原子 2P 項的精細(xì)結(jié)

53、構(gòu)項的精細(xì)結(jié)構(gòu)drrrrRrnl220)()()( drrrRcZenl)(220222 2221343222)1)(2ealllnZace 其中關(guān)于上式積分具體計算參見關(guān)于上式積分具體計算參見 E.U. Condon and G.H. E.U. Condon and G.H. ShortleyShortley, The Theory of Atomic Spectra, p.120-125., The Theory of Atomic Spectra, p.120-125.原能級分裂為：原能級分裂為：精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。其中1371)()(2)12(42)0(,)1)(12(42)0(,22122

54、1 ceEEEEllnnZcnljnlllnnZcnljnl n, j= +1/2j= 1/2（4）零級近似波函數(shù)）零級近似波函數(shù)波函數(shù)的零級近似取為波函數(shù)的零級近似取為 nljmnljm 對不同對不同 m m 的線性組合，也可以的線性組合，也可以就直接取為就直接取為 nljmnljm 因為微擾因為微擾 Hamilton Hamilton 量量 HH在該態(tài)的矩陣元在該態(tài)的矩陣元已是對角化的了。已是對角化的了。上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的 DiracDirac 符號后符號后并用非耦合表象基矢表示出來。并用非耦合表象基矢表示出來。 212121212

55、1212121212121212121212121212121, ,|12, ,|12, ,|, ,|12, ,|12, ,|mlnlmlmlnlmlmllnmlnlmlmlnlmlmlln上述討論適用于上述討論適用于 0 0的情況，當(dāng)?shù)那闆r，當(dāng) = 0 = 0時，沒有自旋軌道耦合時，沒有自旋軌道耦合作用，因而能級不發(fā)生移動。作用，因而能級不發(fā)生移動。作作 業(yè)業(yè)周世勛周世勛 量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程 7.2、7.4、7.5 、7.7 （一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì) （三）波函數(shù)對稱性的不隨時間變化（三）波函數(shù)對稱性的不隨時間變

56、化 （四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子6 全同粒子的特性全同粒子的特性返回返回（1 1）全同粒子）全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度。確定的位置和速度。軌軌道道速速度度位位置置 可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子可判斷哪個是第一

57、個粒子哪個是第二個粒子1212（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理（3）微觀粒子的不可區(qū)分性）微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運動微觀粒子運動服從服從量子力學(xué)量子力學(xué)用用波函數(shù)描寫波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變?；ハ啻鷵Q不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。（1）Hamilton 算符的對稱性算符的對稱性N 個全同粒子組成的體系，其個全同粒子組成的體系，其

58、Hamilton 量為：量為：個個粒粒子子的的坐坐標(biāo)標(biāo)和和自自旋旋。為為第第其其中中isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji,),(),(2),(22121 調(diào)換第調(diào)換第 i 和第和第 j 粒子，粒子， 體系體系 Hamilton 量不變。量不變。即：即：),(),(2121tqqqqqHtqqqqqHNjiNij 表明，表明，N 個全同粒子組成的體系的個全同粒子組成的體系的Hamilton 量具有交換對稱性，量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標(biāo)（交換任意兩個粒子坐標(biāo)（q i , q j ) 后不變。后不變。（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)（2）對稱和反對

59、稱波函數(shù)）對稱和反對稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時考慮全同粒子體系的含時 Shrodinger 方程方程),(),(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji 將方程中（將方程中（q i , q j ) 調(diào)換，得：調(diào)換，得：),(),(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij 由于由于 Hamilton 量對于（量對于（q i , q j ) 調(diào)換調(diào)換 不變不變),(),(2121tqqqqqtqqqqqHNijNji 表明：表明： （q i , q j ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger

60、方程的解。方程的解。根據(jù)全同根據(jù)全同性原理：性原理： ),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji描寫同一狀態(tài)。描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。因此，二者相差一常數(shù)因子。),(),(2121tqqqqqtqqqqqNjiNij 再做一次（再做一次（q i , q j ) 調(diào)換調(diào)換),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji 112 所所以以),(),(12121tqqqqqtqqqqqNijNji 變變，即即二二粒粒子子互互換換后后波波函函數(shù)數(shù)不不 ),(),(12121tqqqqqtqqqqqNijNji 號號，即即二二粒粒子子互