第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)

1、第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)2021-11-252差之毫厘，謬以千里差之毫厘，謬以千里出自出自禮記禮記經(jīng)解經(jīng)解開(kāi)始時(shí)雖然相差很微小，結(jié)果開(kāi)始時(shí)雖然相差很微小，結(jié)果卻會(huì)造成很大的謬誤卻會(huì)造成很大的謬誤 2021-11-253“差之毫厘，謬以千里差之毫厘，謬以千里” yfx 0 xx變變化化至至 ，0 xxx 稱(chēng)稱(chēng)為為自自變變量量增增量量 0fxfx變變化化至至， 0yfxfx 稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)增增量量. .【問(wèn)題問(wèn)題】xy 若若，的的關(guān)關(guān)系系是是xy 我我們們方方便便用用掌掌握握的的信信息息嗎嗎？2021-11-254【理想狀態(tài)理想狀態(tài)

2、】xy 很很小小時(shí)時(shí)， 也也很很小小0lim=0 xy 0 xxx 0yfxfx 0limxx0 xy 時(shí)時(shí)，也也是是無(wú)無(wú)窮窮小小 0fxfx “差之毫厘，謬以毫厘差之毫厘，謬以毫厘”【函數(shù)圖像分析函數(shù)圖像分析】 00limxxfxfx 000limlimxxxxfxfxfx y0 x)(xfy 0 x 0fxx圖圖像像在在 附附近近可可“一一筆筆畫(huà)畫(huà)” 0fxx在在連連續(xù)續(xù) 2021-11-25【定義定義】 000000 limxxfxU xfxfxfxxxfxxfx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在有有定定義義，若若，則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，或或稱(chēng)稱(chēng)是是的的 連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)，否否則則稱(chēng)稱(chēng)是是的的間

3、間斷斷點(diǎn)點(diǎn)定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,若若, 0 , 0 使當(dāng)使當(dāng) |0 xx時(shí)時(shí), ,恒有恒有,| )()(|0 xfxf那么就稱(chēng)函數(shù)那么就稱(chēng)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù). .例例 試證函數(shù)試證函數(shù) 0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).-0.1-0.050.050.1X-0.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.0750.1Y例例 )(xf是定義于是定義于,ba上的單調(diào)增加函數(shù)，上的單調(diào)增加函數(shù)，),(0bax 若若)(lim0 xfxx存在，存在，證明證明)(xf在在0 x連續(xù)連續(xù).【推廣推廣】單

4、側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)000lim( )()( );xxf xf xf xx 若若，稱(chēng)稱(chēng)在在處處左左連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)000lim( )()( ).xxf xf xf xx 若若，稱(chēng)稱(chēng)在在處處右右連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)00( )( ).f xxf xx函函數(shù)數(shù)在在處處函函數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù) 左左連連續(xù)續(xù)且且右右連連續(xù)續(xù)例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 1,410,10, 00,21)(2xxxxxxxxf在在0 x和和1 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性.例例 設(shè)設(shè),1, 22, 1,)2)(1()(4 xxxxxbaxxxf為使為使在在處連續(xù)，處連續(xù)，)(xf1 x與與應(yīng)如何取值？應(yīng)如何取值？ab【推廣推廣】區(qū)間連續(xù)區(qū)間連續(xù) ( )(,

5、),f xa bf xa b若若在在內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都連連在在續(xù)續(xù)，稱(chēng)稱(chēng)連連續(xù)續(xù)；( )( )f xxaf xxb且且在在右右連連續(xù)續(xù)，在在左左連連續(xù)續(xù)， ,.fxa b稱(chēng)稱(chēng)在在上上連連續(xù)續(xù)例例 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin 在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).),( x【考慮考慮】以下四個(gè)函數(shù)在以下四個(gè)函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x sin01100 xxfxxxx 【考慮考慮】以下四個(gè)函數(shù)在以下四個(gè)函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x 1020010 xxfxxxx 【考慮考慮】以下四個(gè)函數(shù)在以下四個(gè)函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x 1sin0300 xfxxx 【考慮考慮】以下四個(gè)函數(shù)在以下四

6、個(gè)函數(shù)在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x 4 fxx 【發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)】連連續(xù)續(xù)總總是是相相似似的的“一一筆筆畫(huà)畫(huà)”間間斷斷各各有有各各的的不不同同【間斷點(diǎn)分類(lèi)間斷點(diǎn)分類(lèi)】oxy112 000limlimxxxxfxfxfx 如如果果改改變變函函數(shù)數(shù)在在此此點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)可可以以變變成成連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)【間斷點(diǎn)分類(lèi)間斷點(diǎn)分類(lèi)】oxy 00limlimxxxxfxfx 稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)和和的的左左右右極極限限都都存存在在，稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為 第第一一類(lèi)類(lèi)間

7、間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .【間斷點(diǎn)分類(lèi)間斷點(diǎn)分類(lèi)】00( ),( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存第第在在 則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的例例如如，左左右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)是是無(wú)無(wú)窮窮大大，oyx0 x稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)【間斷點(diǎn)分類(lèi)間斷點(diǎn)分類(lèi)】第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例如如， 0 xxfx時(shí)時(shí)，總總是是不不停停的的振振蕩蕩，oyx稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)o1x2x3xyx xfy 判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型: :注：注：一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)也可能有無(wú)窮多個(gè)一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)也可能有無(wú)窮多個(gè).狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù))(xDy , 0, 1 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷，內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷， 且都是第二類(lèi)且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).例例 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，可去間