第二章流動分析基礎(chǔ)

1、B2 流動分析基礎(chǔ)B2.1 B2.1 描述流體運(yùn)動的數(shù)學(xué)方法描述流體運(yùn)動的數(shù)學(xué)方法 拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法當(dāng)?shù)胤ó?dāng)?shù)胤˙2 B2 流動分析基礎(chǔ)流動分析基礎(chǔ)描述方法描述方法隨體法隨體法拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法質(zhì)點(diǎn)軌跡：質(zhì)點(diǎn)軌跡：)(a,b,c,tr rr r參數(shù)分布：參數(shù)分布：B = B（x, y, z, t） 1.1.分類分類2.2.比較比較分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡 同時描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時參數(shù)同時描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時參數(shù)表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜 表達(dá)式簡單表達(dá)式簡單不能直接反映參數(shù)的空間分布不能直接反映參數(shù)的空間分布 直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間

2、分布不適合描述流體元的運(yùn)動變形特性不適合描述流體元的運(yùn)動變形特性 適合描述流體元的運(yùn)動變形特性適合描述流體元的運(yùn)動變形特性 拉格朗日觀點(diǎn)是重要的拉格朗日觀點(diǎn)是重要的 流體力學(xué)最常用的解析方法流體力學(xué)最常用的解析方法B2 B2 流動分析基礎(chǔ)流動分析基礎(chǔ) 例例B2.1.2B2.1.2 由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡(2-1)(2-1)求：求： 在在t = = 0時刻位于點(diǎn)（時刻位于點(diǎn)（a,b）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。對某時刻對某時刻t t 位于坐標(biāo)點(diǎn)上位于坐標(biāo)點(diǎn)上( (x,y) )的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) 解：解：求解一階常微分方程（求解一階常微分方程（a a）可得）可得已知已

3、知: : 已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為tyvtxu(a) tytyvtxtxudddd111222eede(1)ee1eede(1)ee1ttttttttttxcttctctycttctct (b) c1 ，c2 為積分常數(shù)，由為積分常數(shù)，由t = = 0時刻流體質(zhì)點(diǎn)位于時刻流體質(zhì)點(diǎn)位于 可確定可確定 ,xa yb121,1cacb(1)e1(1)e1ttxatybt 討論：討論：本例說明雖然給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點(diǎn)上速本例說明雖然給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點(diǎn)上速度分量隨時間的變化規(guī)律，仍然可由此求出指定流體質(zhì)點(diǎn)在不同度分

4、量隨時間的變化規(guī)律，仍然可由此求出指定流體質(zhì)點(diǎn)在不同時刻經(jīng)歷的空間位置，即運(yùn)動軌跡（拉格朗日法）。時刻經(jīng)歷的空間位置，即運(yùn)動軌跡（拉格朗日法）。 例例B2.1.2B2.1.2 由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡(2-2)(2-2)代入代入(b)式，可得參數(shù)形式的流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為式，可得參數(shù)形式的流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為B2.2 B2.2 速度場速度場 速度場是最基本的場速度場是最基本的場v = v (x, y, z, t ) 可用速度廓線（剖面）描述空間線或面上的速度分布可用速度廓線（剖面）描述空間線或面上的速度分布二維速度剖面二維速度剖面 u u ( x, y)速度分量：速度分量：( ,

5、, , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t三維速度廓線三維速度廓線B2.2 B2.2 速度場速度場B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度d= ()d= cos dQAvAv n單位時間流過面積元單位時間流過面積元dA的體積元，即流量微分為的體積元，即流量微分為90270cos0d0Q9090cos0d0QB2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度(2-1)B2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度Q、 指凈流出流量

6、指凈流出流量 m 封閉曲面時封閉曲面時流量流量體積流量體積流量()dAmAv n平均速度平均速度體積流量體積流量不可壓縮流體質(zhì)量流量不可壓縮流體質(zhì)量流量質(zhì)量流量質(zhì)量流量不可壓縮流體不可壓縮流體()dAQAv nQmAQV VAQ mVAB2.2.1 流量與平均速度流量與平均速度(2-2) 例例B2.2.1B2.2.1直圓管粘性定常流動：流量與平均速度直圓管粘性定常流動：流量與平均速度(2-1)(2-1)求：求：兩種速度分布的（兩種速度分布的（1 1）流量）流量Q的表達(dá)式；（的表達(dá)式；（2 2）截面上平均速度）截面上平均速度V。解：解： （1 1）流量計算時）流量計算時dA = 2rdr，拋物線

7、分布的流量為，拋物線分布的流量為已知已知: :粘性流體在圓管（半徑粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上有兩種速度分布，內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上有兩種速度分布， 一種是拋物線分布一種是拋物線分布, ,另一種是另一種是1/71/7次冪分布：次冪分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中上式中um1、um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21 vn )dA =21m02421m5 . 0422RuRrruR1 / 7次冪分布的流量為分布的流量為AQ(2RrrRru07/12m

8、d2)1 ( vn )dA RRrRrRu07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772RuRuuR（2 2）拋物線分布和）拋物線分布和1 / 7次冪分布的平均速度分別為次冪分布的平均速度分別為1m21115 . 0 uRQV2m22228167. 0uRQV討論：討論： 拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而1/71/7次冪分次冪分布的截面平均速度為最大速度的布的截面平均速度為最大速度的0.81670.8167倍，這是后者的速度廓線中倍，這是后者的速度廓線中部更平坦，速度分布

9、更均勻的緣故。部更平坦，速度分布更均勻的緣故。 例例B2.2.1B2.2.1直圓管粘性定常流動：流量與平均速度直圓管粘性定常流動：流量與平均速度(2-2)(2-2)B2.2.2 一維，二維與三維流動一維，二維與三維流動1. 1. 流動維數(shù)的確定：流動維數(shù)的確定： 三維流動三維流動: 速度場必須表示為三個空間坐標(biāo)的函數(shù)速度場必須表示為三個空間坐標(biāo)的函數(shù) v = v ( x, y, z) 二維流動二維流動: 速度場簡化為二個空間坐標(biāo)的函數(shù)速度場簡化為二個空間坐標(biāo)的函數(shù) v = v ( x, y) 或或 v = v ( r, z) 一維流動一維流動: 速度場可表示為一個空間坐標(biāo)的函數(shù)速度場可表示為一

10、個空間坐標(biāo)的函數(shù) v = v( x ) 或或 v = v ( s )2. 2. 常用的流動簡化形式：常用的流動簡化形式：(1) (1) 二維流動：平面流動，二維流動：平面流動，軸對稱流動軸對稱流動(2) (2) 一維流動：質(zhì)點(diǎn)沿曲線的流動一維流動：質(zhì)點(diǎn)沿曲線的流動 v = v ( s ) 流體沿管道的平均速度流體沿管道的平均速度 V = V ( s )B2.2.2 一維，二維與三維流動一維，二維與三維流動(2-1) 用平均速度描述圓管一維流動簡化了流量和壓強(qiáng)計算。但對用平均速度描述圓管一維流動簡化了流量和壓強(qiáng)計算。但對截面上動能和動量計算造成偏差，引入動能修正因子截面上動能和動量計算造成偏差，

11、引入動能修正因子和動量修正和動量修正因子因子，分別定義為，分別定義為2211()()22AudmVmAudmVm 表表B2.2.1 B2.2.1 圓管粘性一維定常流動修正因子圓管粘性一維定常流動修正因子3. 直圓管一維流動修正因子直圓管一維流動修正因子m/V u速度分布類型速度分布類型平均速度平均速度/ /中心速度中心速度動能修正因子動能修正因子動量修正因子動量修正因子拋物線分布拋物線分布2.01.3331.3331/71/7指數(shù)分布指數(shù)分布0.81670.81671.0581.0581.0201.020B2.2.2 一維，二維與三維流動一維，二維與三維流動(2-2) 例例B

12、2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子(3-1)(3-1)(1) (1) 按單位質(zhì)量流體的動能計算，動能修正因子定義為按單位質(zhì)量流體的動能計算，動能修正因子定義為解：解：已知已知: :粘性流體在直圓管（半徑粘性流體在直圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。圓截面上有兩種速度分布，內(nèi)作定常流動。圓截面上有兩種速度分布，一種是拋物線分布一種是拋物線分布, ,另一種是另一種是1/71/7次冪分布：次冪分布：2m111Rruu上式中上式中um1，um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 7/12

13、m21Rruu求：求：（1 1）關(guān)于平均速度的動能修正因子）關(guān)于平均速度的動能修正因子 ； （2 2）關(guān)于平均速度的動量修正因子）關(guān)于平均速度的動量修正因子。mVmuA)21(d)21(22上式中上式中V為平均速度，設(shè)為平均速度，設(shè)= = 常數(shù)常數(shù), ,截面積截面積 A =R2，微元圓環(huán)面積，微元圓環(huán)面積 。rrAd2d，rruAurQrmd2d)(d)(drrVuRAVuAARd)(2d)(10323對拋物線分布對拋物線分布RRRRrrrRrRrrVuR0004232231121212d116d2對對1/71/7次冪分布次冪分布05838. 1d1981202d207/332032222rr

14、RrRrrVuRRR（2 2）按單位質(zhì)量流體的動量計算，動量修正因子）按單位質(zhì)量流體的動量計算，動量修正因子定義為定義為mVmuAdVAQm由質(zhì)由質(zhì)量量流量定義，流量定義， 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子(3-2)(3-2)可得可得RArrVuRAVuA0222d2d1拋物線分布拋物線分布333. 134d18d20222021121RRrrRrRrrVuR1/71/7次冪分布次冪分布020. 14950d1)98120(2d207/222022222RRrrRrRrrVuR討論：討論：將例將例B2.2.

15、1B2.2.1和本例的結(jié)果列表和本例的結(jié)果列表說明說明1/71/7次冪分布比較接近平均速度廓線，用一維流動近似計算動能和動次冪分布比較接近平均速度廓線，用一維流動近似計算動能和動量時，可取量時，可取= =1=1，即不必修正。，即不必修正。表表B2.2.1B2.2.1 圓管粘性一維定常流動修正因子m/uV動能修正因子1.0201.0580.81671/7次冪分布1.3332.00.5拋物線分布動量修正因子速度分布類型平均速度/中心速度 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子(3-3)(3-3)B2.2.3 定常與不

16、定常流動定常與不定常流動a. a. 定常流動定常流動b. b. 準(zhǔn)定常流動準(zhǔn)定常流動c. c. 周期性諧波脈動流周期性諧波脈動流d.d. 周期性非諧波脈動流（生理波）周期性非諧波脈動流（生理波） e. e. 非周期性脈動流非周期性脈動流( (衰減波）衰減波）f. f. 隨機(jī)流動（湍流）隨機(jī)流動（湍流） 不定常流與定常流的轉(zhuǎn)換不定常流與定常流的轉(zhuǎn)換B2.2.3 定常與不定常流動定常與不定常流動B2.3 B2.3 流體運(yùn)動的幾何描述流體運(yùn)動的幾何描述 跡線跡線 流線流線定義定義拉格朗日法拉格朗日法()a,b,c,trr歐拉法歐拉法微分方程微分方程ddddddxutyvtzwt（t為自變量，為自變量

17、， x, y, z 為為t 的函數(shù)的函數(shù) ）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡切線與速度方向一致的假想曲線切線與速度方向一致的假想曲線B2.3 流體運(yùn)動的幾何描述流體運(yùn)動的幾何描述( (x, y, z 為自變量，為自變量，t為參數(shù)）為參數(shù)）ddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzu x y z tv x y z tw x y z t 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與流線流線(4-1)(4-1) 求：求： （1 1）質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程；的跡線方程；解：解：此流場屬無周期性的不定常流場。此流場屬無周期性的不定常流場。1dd1ddtyttx

18、由上兩式分別積分可得由上兩式分別積分可得21221ctycttx已知：已知：設(shè)速度場為設(shè)速度場為 u = t+1 ,v = 1，t = 0時刻流體質(zhì)點(diǎn)時刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)。位于原點(diǎn)。(1)(1)由歐拉跡線方程式，本例跡線方程組為由歐拉跡線方程式，本例跡線方程組為（2 2）t = 0時刻過原點(diǎn)的流線方程；時刻過原點(diǎn)的流線方程；（3 3）t = 1時刻質(zhì)點(diǎn)時刻質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動方向。的運(yùn)動方向。T = 0時質(zhì)點(diǎn)時質(zhì)點(diǎn)A 位于位于x =y =0，得，得c1= c2= 0。質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)A的跡線方程為跡線方程為消去參數(shù)消去參數(shù) t 可得可得21) 1(212122yyyx上式表明質(zhì)點(diǎn)上式表明質(zhì)點(diǎn)A的跡線是一條

19、以（的跡線是一條以（1/2，1）為頂點(diǎn)，且通過原點(diǎn)的）為頂點(diǎn)，且通過原點(diǎn)的拋物線（見圖）。拋物線（見圖）。（2 2）由流線微分方程式，）由流線微分方程式，1d1dytx積分可得積分可得tyttx221(a)cytx1(b) 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與流線流線(4-2)(4-2)在在 t = 0時刻，流線通過原點(diǎn)時刻，流線通過原點(diǎn) x = y = 0，可得，可得C = 0，相應(yīng)的流線方程為，相應(yīng)的流線方程為3/211 1C 可得可得C = 1/4 。（c）x = y這是過原點(diǎn)的一、三象限角平分線，與質(zhì)點(diǎn)這是過原點(diǎn)的一、三象限角平分線，與質(zhì)點(diǎn)A A的跡線在

20、原點(diǎn)相切（見圖）。的跡線在原點(diǎn)相切（見圖）。(3)(3)為確定為確定t = 1時刻質(zhì)點(diǎn)時刻質(zhì)點(diǎn)A A的運(yùn)動方向，需求此時刻過質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向，需求此時刻過質(zhì)點(diǎn)A所在位置的所在位置的流線方程。由跡線參數(shù)式方程流線方程。由跡線參數(shù)式方程(a)(a)可確定，可確定，t =1時刻質(zhì)點(diǎn)時刻質(zhì)點(diǎn) A位于位于x =3/2，y =1位置，代入流線方程位置，代入流線方程(b)(b) 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與流線流線(4-3)(4-3)討論：討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某固以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某固定點(diǎn)的流線可以

21、不同（見定點(diǎn)的流線可以不同（見b b式），通過某流體質(zhì)點(diǎn)所在位置的流線式），通過某流體質(zhì)點(diǎn)所在位置的流線也可以不同（見也可以不同（見c c和和d d式）。式）。t = 1時刻過流體質(zhì)點(diǎn)時刻過流體質(zhì)點(diǎn)A所在位置的流線方所在位置的流線方程為程為x = 2 y1/2 (d)上式是一條與流體質(zhì)點(diǎn)上式是一條與流體質(zhì)點(diǎn) A的跡線相切于的跡線相切于（3/23/2，1 1）點(diǎn)的斜直線，運(yùn)動方向為）點(diǎn)的斜直線，運(yùn)動方向為沿該直線朝沿該直線朝 x, y值增大方向。值增大方向。 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與流線流線(4-4)(4-4)B2.3.3B2.3.34 4 脈線與流體

22、線脈線與流體線 流體線流體線又稱又稱 染色線、煙線或條紋線染色線、煙線或條紋線脈線脈線定義定義 相繼通過某空間點(diǎn)的相繼通過某空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)連線質(zhì)點(diǎn)連線 時間線時間線某時刻標(biāo)記的一串相連的某時刻標(biāo)記的一串相連的質(zhì)點(diǎn)連線質(zhì)點(diǎn)連線B2.3.34 脈線與流體線脈線與流體線 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與脈線脈線(3-1)(3-1)解：解：此流場是周期性變化的不定常流動。設(shè)此流場是周期性變化的不定常流動。設(shè)t = 0時刻起，每隔時刻起，每隔1s1s從坐從坐 標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)依次編號為標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)依次編號為a, b, c, d, e, f，每過每過6s重復(fù)循環(huán)一次。重復(fù)

23、循環(huán)一次。 將每個質(zhì)點(diǎn)每隔將每個質(zhì)點(diǎn)每隔1s的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個質(zhì)的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個質(zhì) 點(diǎn)的跡線，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時刻的脈線。點(diǎn)的跡線，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時刻的脈線。 已知：已知：設(shè)速度場為設(shè)速度場為 （0t3s） t6s重復(fù)循環(huán)。重復(fù)循環(huán)。0m/s1vum/s10vu（3st6s） 求：求： 試畫出試畫出 （1 1）0-6s內(nèi)每隔內(nèi)每隔1s從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的跡線；從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的跡線； （2 2）7-12s內(nèi)每隔內(nèi)每隔1s的時刻從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線。的時刻從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線。t (s)0123456789101112a(0,0) (1,0) (2,0)

24、 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)b(0,0) (1,0) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)c (0,0) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)d(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)e (0,0) (0,1) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (3,

25、3) (3,4) (3,5)f (0,0) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與脈線脈線(3-2)(3-2) 在不定常流場中從某點(diǎn)發(fā)出的脈線形狀在不同時刻可以不同。本例中在不定常流場中從某點(diǎn)發(fā)出的脈線形狀在不同時刻可以不同。本例中 在在7-12s內(nèi)的每一瞬時的脈線均不相同，但在下一個內(nèi)的每一瞬時的脈線均不相同，但在下一個6 6秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)。 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與脈線脈線(3-3)(3-3)(a)中分別為質(zhì)點(diǎn)中分別為質(zhì)點(diǎn)a, b

26、, c, d, e, f 的跡線的跡線(0-6s) ，隨時間增長不斷延伸；隨時間增長不斷延伸； (b)為從原點(diǎn)每隔為從原點(diǎn)每隔1s時刻時刻(7-12s) 流出的不同質(zhì)點(diǎn)在每一瞬時連成的線流出的不同質(zhì)點(diǎn)在每一瞬時連成的線 （以后重復(fù)循環(huán)），即從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線。（以后重復(fù)循環(huán)），即從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的脈線。B2.3.5 B2.3.5 流管，流束與總流流管，流束與總流流管：流管： 流線圍成的管子流線圍成的管子流束：流束： 流管內(nèi)的流體流管內(nèi)的流體緩變流流束：流線平行或接近平行緩變流流束：流線平行或接近平行微元流束：有限截面無限小的流束微元流束：有限截面無限小的流束總流：總流：微元流束的總和微元流束的

27、總和在有效截面上取平均值，按一維流動處理在有效截面上取平均值，按一維流動處理B2.3.5 流管，流束與總流流管，流束與總流B2.4 B2.4 流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù) 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：質(zhì)點(diǎn)物理量隨時間的總變化率質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)：質(zhì)點(diǎn)物理量隨時間的總變化率質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)p 的位置的位置隨隨時間時間變化，其物理量變化，其物理量B為為Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t (1)(1)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的歐拉表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的歐拉表達(dá)式DDBBBBBuvwttxyz(2)(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的物理意義質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的物理意義Bt 為固定點(diǎn)上物理量為固定點(diǎn)上物理量B 隨時間變化率，稱為隨時間變

28、化率，稱為當(dāng)?shù)刈兓十?dāng)?shù)刈兓剩?反映流場的不定常性。反映流場的不定常性。Bux 為遷移到不同位置由物理量的差異引起的變化率，稱為為遷移到不同位置由物理量的差異引起的變化率，稱為 遷移變化率遷移變化率，反映流場的不均勻性。，反映流場的不均勻性。B2.4 流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)B2.4.1 B2.4.1 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)B2.4.2 B2.4.2 加速度場加速度場svvavts1. 三維流動三維流動取取 ，速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為加速度，速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為加速度()B=x,y,z,tvD()Duvwttxyz vvvvvavvt2. 一維流動一維流動(1)(1)沿流線沿流線s s，v = v

29、(s,t)(2)(2)沿總流沿總流s s，V = V(s,t)sVVaVtsB2.4.2 加速度場加速度場xuuuuauvwtxyzzwwwwauvwtxyzyvvvvauvwtxyz分量式分量式 例例B2.4.2B2.4.2收縮噴管流動：遷移加速度收縮噴管流動：遷移加速度(3-1)(3-1) 已知：已知：圖示一圓錐形收縮噴管。長為圖示一圓錐形收縮噴管。長為36 cm，底部與頂部直徑分別為，底部與頂部直徑分別為 d0= 9 cm，d3 = 3 cm，恒定流量恒定流量Q = 0.02 m 3 / s。解：解：設(shè)流動方向為設(shè)流動方向為x軸，原點(diǎn)在圓錐底部。噴管內(nèi)為定常流動，當(dāng)?shù)丶虞S，原點(diǎn)在圓錐底部

30、。噴管內(nèi)為定常流動，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，只有遷移加速度。按一維流動式計算速度為零，只有遷移加速度。按一維流動式計算xVVa220218. 00235. 000636. 012045. 0 xxxA求：求：按一維流動計算按一維流動計算圖示四個截面圖示四個截面A0 ，A1 ，A2，A3上的加速度。上的加速度。V為管截面上平均速度。設(shè)截面與底部的距離為為管截面上平均速度。設(shè)截面與底部的距離為x，面積，面積A與與x的關(guān)系為的關(guān)系為任一截面上的平均速度和加速度為任一截面上的平均速度和加速度為230436. 00235. 0QAxxVVAQV計算結(jié)果如下表計算結(jié)果如下表1 -s/xV8834.00 312.2

31、5 28.290.000710.36A 3682.0067.18 10.150.001970.24A 2128.0024.655.1900.003850.12A 136.5011.603.1440.006360.00A 0a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面 例例B2.4.2B2.4.2收縮噴管流動：遷移加速度收縮噴管流動：遷移加速度(3-2)(3-2)討論：討論：計算結(jié)果表明噴管進(jìn)出口的直徑比為計算結(jié)果表明噴管進(jìn)出口的直徑比為1:31:3，速度比為，速度比為1:91:9，加速度，加速度比為比為1:2421:242。按牛頓第二定律流體有加速度必產(chǎn)生對噴管的沖擊力，。按牛頓第二定律流

32、體有加速度必產(chǎn)生對噴管的沖擊力，而且該沖擊力在不同截面上數(shù)值不同。例而且該沖擊力在不同截面上數(shù)值不同。例B4.4.2B4.4.2將計算流體對噴將計算流體對噴管的沖擊力合力。管的沖擊力合力。速度與加速度的變化曲線如圖所示速度與加速度的變化曲線如圖所示 例例B2.4.2B2.4.2收縮噴管流動：遷移加速度收縮噴管流動：遷移加速度(3-3)(3-3)B2.5 B2.5 一點(diǎn)鄰域內(nèi)相對運(yùn)動分析一點(diǎn)鄰域內(nèi)相對運(yùn)動分析B2.5.1 B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理在在 xy 平面流場中，平面流場中，M0 點(diǎn)鄰近點(diǎn)鄰近 M 點(diǎn)點(diǎn)的速度在的速度在 x 方向的分量可分解為方向的分量可分解為

33、011()()()dd()d22uvuuvu Mu Myxyyxxyx旋轉(zhuǎn)速率旋轉(zhuǎn)速率線變形速率線變形速率角變形速率角變形速率 M0 平移速度平移速度M 相對相對M0的速度的速度B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理B2.5.2 B2.5.2 流體的變形流體的變形1.1.線變形（以平面流動為例）線變形（以平面流動為例）()xxux tux=xtx(2)(2)面積擴(kuò)張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴(kuò)張速率面積擴(kuò)張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴(kuò)張速率uvvxy(3)(3)體積膨脹率：體元的體積在空間的局部瞬時相對膨脹速率體積膨脹率：體元的體積在空間的局部瞬時相對膨脹速

34、率uvwvxyz yyvyB2.5.2 流體的變形流體的變形(2-1)(1)線應(yīng)變率：線元在線應(yīng)變率：線元在 x 方向的局部瞬時相對伸長速率方向的局部瞬時相對伸長速率 例例B2.5.2B2.5.2膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴(kuò)張率率(3-1)(3-1)解：解：(1)(1)按流線微分方程式，因按流線微分方程式，因v =0得得dy = 0，積分可得流線方程為積分可得流線方程為 已知：已知：設(shè)平面流場為設(shè)平面流場為 （k 0 0，為常數(shù)），為常數(shù)）0vkxu說明流線是平行于說明流線是平行于x軸的直線族。線應(yīng)變率為軸的直線族。線應(yīng)變率為kxuxx0yvyy 求：求：（1 1）流

35、線、線應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；）流線、線應(yīng)變率和面積擴(kuò)張率表達(dá)式；y = C ( C為常數(shù)為常數(shù) ) ) （2 2）設(shè)）設(shè)k =1,t =0時刻邊長為時刻邊長為1的正方形流體面的正方形流體面abcd位于圖中所示位于圖中所示 位置位置, ,求求 t = t 時刻點(diǎn)時刻點(diǎn)a(1,3)到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)a(3,3)時流體面時流體面abcd 的位置和形狀。的位置和形狀。說明說明x方向的線元以恒速率方向的線元以恒速率k 伸長，伸長，y方向的線元長度保持不變。方向的線元長度保持不變。面積擴(kuò)張率為面積擴(kuò)張率為kyvxuv 說明面元的瞬時面積相對擴(kuò)張率為常數(shù)。任何單位面積的流體面均以說明面元的瞬時面積相對擴(kuò)張率為

36、常數(shù)。任何單位面積的流體面均以恒速率恒速率k 擴(kuò)張，通常將這種流動稱為膨脹流（當(dāng)擴(kuò)張，通常將這種流動稱為膨脹流（當(dāng)k 0，為常數(shù)），為常數(shù)） 求：求：試分析該流場的運(yùn)動學(xué)特征。試分析該流場的運(yùn)動學(xué)特征。0ukyv 速度分布如圖所示。由流線微分方程速度分布如圖所示。由流線微分方程 k y dy = 0,積分得流線方程為積分得流線方程為 y = C (C為常數(shù)為常數(shù))， 說明流線是平行于說明流線是平行于x軸的直線族。軸的直線族。kyuxvyvxuyyxx, 0, 0 x, y方向的線應(yīng)變率和方向的線應(yīng)變率和 x y平面內(nèi)的角變形率分別為平面內(nèi)的角變形率分別為221kyuxv說明一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體作順

37、時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。說明一點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。面積擴(kuò)張率為面積擴(kuò)張率為0yvxuv屬不可壓縮流動。圖中四邊形流體面在運(yùn)動過程中面積保持不變，對屬不可壓縮流動。圖中四邊形流體面在運(yùn)動過程中面積保持不變，對角線與角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。本例中本例中k 0 ，即，即 ，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為減小。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為0 例例B2.5.3B2.5.3線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度(2-2)(2-2) 例例B2.5.3AB2.5.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度