相似三角形中考復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)題型分類(lèi)練習(xí)

1、相似三角形一、知識(shí)概述1 .平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也 相等。2 .平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3 .相似三角形的定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.4 .相似三角形的基本性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等.相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比面積比等于相似比的平方溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比1.所以全等三角形是相似三角形的 特例.其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例.相似比

2、具有順序性.例如B' C'的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k, WJA A' B' U s的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有'=1.相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形 放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出.5 .相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的宜線和其他兩邊或其延長(zhǎng)線相交，所得的三角形及原三角1 / 18形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。溫馨提示：（1）判定三角形相似的幾條思路：條件中若有平行，可采用判定定理1;條件中若有一對(duì)角相等（

3、包括隱含的公共角或?qū)斀牵?，可再找一?duì)角相等或找?jiàn)A 邊對(duì)應(yīng)成比例；條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；但是，在選擇利用判定定理2時(shí), 一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等.條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對(duì)應(yīng)成比例。（2）在綜合題中，注意相似知識(shí)的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量 代換技巧的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。（3）運(yùn)用相似的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，要能夠在理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純 數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題，要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。6 .位似定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)， 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位

4、似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似 比.因此，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似史必的距離之比等于相似比.(1)注意：（1）位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形 不一定是位似圖形.（2）兩個(gè)位似圖形不僅相似而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或在同一直 線上7 .三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的重心及頂點(diǎn)的距離等于它及對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、 相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法及技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析及解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功.通常有

5、 以下幾種方法：（1）相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三 角形中最大的角（或最小的角）一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角， 對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最短的邊）一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是 對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要及三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的 思想方法遷移到相似三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶； 對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法.如：(1) “平行線型”相似三角形

6、，基本圖形見(jiàn)上節(jié)圖.“見(jiàn)平行，想相似”是解這類(lèi)題的基本思路；(2) “相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀?“見(jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類(lèi)題的基本思路:(3) “旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中N1=N2, NND(或NNE),則該圖可看成把第一個(gè)圖中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到 添加的輔助線.以上“平行線型”是常見(jiàn)的，這類(lèi)相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的 順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造 出基本圖形.相似三角形專(zhuān)題分類(lèi)練

7、習(xí)講解題型一：線段的比、黃金分割1 .在比例尺1： 10000的地圖上，相距2的兩地的實(shí)際距離是（）A. 200B. 200C. 200mD. 2002 .若則下列各式中不正確的是（）A. B. C. D.X- V?X3 .若丁 = 5,則??；已知，則；己知，且3y = 2z + 6,則工=y = 4 .若5x 4），= 0且孫工0 ,則尤：y。5 . 2和8的比例中項(xiàng)是；線段2 cm及8 cm的比例中項(xiàng)為。6 .已知 a ： b ： c = 2 ： 3 ： 4,且 2a +3b - 2c = 10,求 a, b, c 的值。題型二：相似的性質(zhì)1 .如果兩個(gè)相似三角形的面積比為3 : 4,則它

8、們的周長(zhǎng)比為。2 .己知且：1： 2,則的面積及的面積之比為5/183 .如圖，：2 ： 3,則的面積：四邊形的面積。4 .如圖，己知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1） 1, （2）、（3）的面積及的面積之比為1： 4.其中正確的有：個(gè)5 .如圖，在梯形中，及面積之比為4 ： 9,那么及面積之比為6 .平行四邊形中，28, E、F是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N,則。第3題第4題第5題第6題7 .如圖，已知平行四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F,把平行四邊形分成的四部分 的面積分別為Si, S2, S3, S,.下面結(jié)論：只有一對(duì)相似三角形；：L 2；.S：S：

9、S3： S,=l： 2： 4.： 5.其中正確的結(jié)論是（）A.B.C.D.8 .如圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是S、S ,那么，、S的 大小關(guān)系是（）A. S > S B. S = £C.D. S、S 的大小關(guān)系不確定9 .如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上，且：=2 ： 1, _1于6交于F,則的面積及四邊 形的面積之比為（）A. 1 ： 2B. 1 ： 4C. 4 ： 9D. 2 ： 310 .如圖，已知，和相交于點(diǎn)0, 叱：S“g=4：9,貝ij ：為（）A. 2 ： 1B. 2 ： 3C. 4 ： 9D. 5 ： 411 .已知三個(gè)邊長(zhǎng)為2, 3, 5的正

10、方形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為.7/1812 .如圖在中，矩形，G、F在上，D、E分別在、上，_L交于M, ： =1 ： 2, =12 ， =8 ，求矩形的各邊長(zhǎng)。13 .已知如圖，正方形中，=2, E是的中點(diǎn)，_L, F為垂足，求的面積，和四邊形的 面積S,。題型三：相似的有關(guān)證明1 .已知：如圖，梯形中，E是的中點(diǎn)，直線分別及對(duì)角線和的延長(zhǎng)線交于M、N點(diǎn)求證：=:M2 .如圖，在上，且，交于£,尸在上，且人加=人廠48,求證：s/.3.如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E,9/18(2)若 8, 66，4V5,求的長(zhǎng).題型四：函數(shù)及相似1 .如圖，正方形中，=1, G

11、為中點(diǎn)，E為上任一點(diǎn)，（E點(diǎn)及點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合）設(shè) =天，過(guò)E作平行線交于F,設(shè)面積為尸，寫(xiě)出J及x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍。2 .如圖，是矩形，=2, =4, =2, =1, F是上任一點(diǎn)（F及點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），過(guò)F作的平行線交于G,設(shè)為工，四邊形面積為，寫(xiě)出丁及兀 的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量才的取值范圍。3 .如圖，有一塊直角梯形鐵皮，=3, =6, =4,現(xiàn)要截出矩形，(E點(diǎn)在上，及點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合)，設(shè)=- 矩形周長(zhǎng)為9，(1)寫(xiě)出尸及元的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變5量工取值范圍；(2) x取何值，矩形面積等于直角梯形面積的京。4 .如圖，己知拋物線y=Fl及x軸交于月、5

12、兩點(diǎn)，及y軸交于點(diǎn)C. (1)求48、。三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)力作交拋物線于點(diǎn)尸，求四邊形的面積.(3)在x軸上方的5 .如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4, 0)、B(l, 0)、C(-2, 6). (1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2)設(shè)直線交y軸于點(diǎn)E,連接，求證：；(3)設(shè)拋物線及y軸交于點(diǎn)D,連接交于點(diǎn)F,試問(wèn)以A、B、F,為頂點(diǎn)的三角形及相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明 理由.y題型五、圓及相似1 . (2013綏化)如圖，點(diǎn)A, B, C, D為00上的四個(gè)點(diǎn)，平分N,交于點(diǎn)E, 4, 6,則的長(zhǎng)為()A. 4B. 5C. 6D. 72 .如圖，為。0的直徑，D是弧的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線

13、于E, 00的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。(1)求證：是。的切線；(2)若=3,。的半徑為5,求的長(zhǎng)。3 .如圖，中，N90。，。為直角邊上一點(diǎn)，以0為圓心，為半徑的圓恰好及斜邊相切于點(diǎn)D,及交于另一點(diǎn)E.（2）若1, 3,求。的半徑及圖中陰影部分的面積S.4 .如圖。是外接圓，是直徑，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且平分（1）求證是。的切線；（2）若6, 4,求和的長(zhǎng)5 . （2012遼寧）如圖，是。0的直徑，點(diǎn)C在。0上，N的平分線交。0于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接交于點(diǎn)F。（1）猜想及00的位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若=6, =5,求的長(zhǎng)。(1)求證：11 / 186

14、 . （2013十堰）如圖1, 中，點(diǎn)0在高上，于點(diǎn)D, _L于點(diǎn)E,以0為圓心，為 半徑作。0.（1）求證：。及相切于點(diǎn)E；（2）如圖2,若30過(guò)點(diǎn)H,且5, 6,連接，求的面積.13 / 18題型六、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問(wèn)題1 . D是的邊上一點(diǎn)，過(guò)A、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形及相似，畫(huà)出示意 圖。D是的邊上一點(diǎn)，過(guò)C、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形及相似，畫(huà)出示意圖。2 .己知在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，P （3, 4）為的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線上的動(dòng)點(diǎn)，線段把分成兩部分，問(wèn)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形及相似？畫(huà)出所有符合要求的線段，寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)。第2題第3題第4題3 .在直角坐標(biāo)系中

15、有兩點(diǎn)A （4, 0）, B （0, 2）,如果點(diǎn)C在x軸上（C及A不重合）， 當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 時(shí)，使得由點(diǎn)B、0、C組成的三角形及相似。4 .己知：如圖，P是邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)一點(diǎn)，且3, ±,垂足為B,請(qǐng)?jiān)谏渚€上找 一點(diǎn)M,使以B、M、C為頂點(diǎn)的三角形及相似。5 .正方形邊長(zhǎng)為4,收N分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持和垂直.（1）證明：（2）設(shè)，梯形的面積為y,求y及x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)"點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形面積最大，并求出最大面積;（3）當(dāng)"點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)s/i,求此時(shí)x的值.6 .如圖，在中，Z90° ,是邊上的高，E是邊

16、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不及重合），±±,14 / 18垂足分別為.（1）求證：;（2）及是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形嗎？并說(shuō)明理由.7 .矩形在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A.。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4 （6, 0）, C （0, -3）,直線），=及邊相交于點(diǎn).4（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)；（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4試確定此拋物線的表達(dá)式；4（3）設(shè)（2）中的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及直線交于點(diǎn)點(diǎn)尸為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，以尸、0、 M為頂點(diǎn)的三角形及相似，求符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).x8 .如圖，拋物線尸一+2x2及x軸相交于點(diǎn)月、B,及y軸相交于點(diǎn)U 22(1

17、)求證：s/X；(2)過(guò)點(diǎn)。作x軸交拋物線于點(diǎn)，.若點(diǎn)尸在線段上以每秒1個(gè)單位的速度由向19 / 189 如圖'二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(。 (A且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為該圖象在x軸 上截得的線段的長(zhǎng)為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P, 使最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q, 使及相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：位似1 .如圖所示，以點(diǎn)0為位似中心，將五邊形放大后得到五邊形A' B' C' D' E.己知=10 , ' =20 ,則五邊形的周長(zhǎng)及五邊形A' B' C&#

18、39; D' E'的周長(zhǎng)的比值是.2 .如圖，在6X8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)。和的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn). 以。為位似中心，在網(wǎng)格圖中作彳'B' C',使C'和位 似，且位似比為1： 2（2）連接中的求四邊形7比。的周長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）3.如圖，點(diǎn)0是等邊三角形的中心，P'、Q'、R'分別是、的中點(diǎn)，則AP' Q' R及是位似三角形.此時(shí)，Q' R'及的位似比為。相似三角形分類(lèi)題型講解（答案）題型一:1. C 283. 1；6； 10；5534.4:55. ±4、4646題型二：1. V3:22.3. 4:21A 8. A 9. C 10. A4.工個(gè) 5. 2：36. 77.11.”12.二；S47713.55題型三：4.題型四:1. y=r' + 2(0c<D2. y = _=+x+8(0<x<6)3. (2)4. (1)A (-1, 0)44B (1, 0) C (0, 1) (2) 4(3)Nt (-2, 3) M. (4, 15) M3 (