數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與教學(xué)章建躍PPT課件

1、一、教師專業(yè)發(fā)展的三大基石 理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。 “三個(gè)理解三個(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。 特別特別是，是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解的理解水平水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。第1頁/

2、共49頁例1 數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是什么 數(shù)學(xué)推廣過程的一個(gè)重要特性是：使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。 數(shù)系的擴(kuò)充：引入一種新的數(shù)，就要定義其運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究其運(yùn)算律。 擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。第2頁/共49頁 為什么說在有理數(shù)乘法法則為什么說在有理數(shù)乘法法則的教材設(shè)計(jì)中，滲透了數(shù)系的教材設(shè)計(jì)中，滲透了數(shù)系擴(kuò)充的基本思想擴(kuò)充的基本思想原有數(shù)原有數(shù)系的運(yùn)算和運(yùn)算律保持不變？系的運(yùn)算和運(yùn)算律保持不變？第3頁/共49頁例2 等式、不等式的基本性質(zhì)的本質(zhì)是什么？ 等式兩邊同加（減、乘、除）同一個(gè)數(shù)（式），等式不變；等式兩邊同加（減、乘、除）同一個(gè)數(shù)（

3、式），等式不變； 不等式兩邊同加（減、乘、除）同一個(gè)數(shù)（式），不等式不變；不等式兩邊同加（減、乘、除）同一個(gè)數(shù)（式），不等式不變； 它們的共同點(diǎn)是什么？它們的共同點(diǎn)是什么？第4頁/共49頁二、功利化環(huán)境下數(shù)學(xué)教育的問題 應(yīng)試占據(jù)主導(dǎo)地位的數(shù)學(xué)教育，注重考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率等眼前利益，忽視理性精神、數(shù)學(xué)能力等長(zhǎng)期利益，應(yīng)試占據(jù)主導(dǎo)地位的數(shù)學(xué)教育，注重考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率等眼前利益，忽視理性精神、數(shù)學(xué)能力等長(zhǎng)期利益，已經(jīng)變成了已經(jīng)變成了“唯分?jǐn)?shù)唯分?jǐn)?shù)”的功利化教育，違背了德育為先、能力為重、全面發(fā)展的要求。的功利化教育，違背了德育為先、能力為重、全面發(fā)展的要求。第5頁/共49頁具體表現(xiàn) 數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“

4、不自然不自然”，強(qiáng)加于人，壓抑了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；，強(qiáng)加于人，壓抑了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣； 缺乏問題意識(shí)，不利于創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)；缺乏問題意識(shí)，不利于創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)； 不善于甚至不重視基本概念、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，缺少必須的抽象、概括活動(dòng)，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不善于甚至不重視基本概念、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，缺少必須的抽象、概括活動(dòng)，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高；提高； 重結(jié)果輕過程，概念教學(xué)搞重結(jié)果輕過程，概念教學(xué)搞“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”，缺少一以貫之的邏輯思考和數(shù)學(xué)推理活動(dòng)，損害數(shù)，缺少一以貫之的邏輯思考和數(shù)學(xué)推理活動(dòng)，損害數(shù)學(xué)思維過程的完整性，不利于數(shù)學(xué)思維能

5、力的學(xué)思維過程的完整性，不利于數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)培養(yǎng)；第6頁/共49頁 解題教學(xué)注重解題教學(xué)注重“題型題型+技巧技巧”，學(xué)生機(jī)械重復(fù)、模仿記憶，缺少獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，數(shù)學(xué)思維發(fā)展遲緩，并，學(xué)生機(jī)械重復(fù)、模仿記憶，缺少獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，數(shù)學(xué)思維發(fā)展遲緩，并導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)課業(yè)導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)課業(yè)負(fù)擔(dān)過重負(fù)擔(dān)過重； 學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一、被動(dòng)，缺少歸納、抽象等活動(dòng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及創(chuàng)新精神學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一、被動(dòng)，缺少歸納、抽象等活動(dòng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及創(chuàng)新精神等不利。等不利。 第7頁/共49頁三、課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn) 立意不高立意不高許多教師的許多教師的“匠氣匠氣”太

6、濃，太濃，“題型題型+ +技巧技巧”的教學(xué)的教學(xué)，彌漫著，彌漫著“功利功利”，缺少思想、精神的追求。，缺少思想、精神的追求。 數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的“育人育人”功能如何體現(xiàn)？功能如何體現(xiàn)？挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體。融為一體。 關(guān)鍵：提高思想性。關(guān)鍵：提高思想性。 “技術(shù)技術(shù)”：加強(qiáng)：加強(qiáng)“先行組織者先行組織者”的使用。的使用。第8頁/共49頁例3 體現(xiàn)幾何研究“基本套路”的四邊形起始課 從具體事例中抽象出從具體事例中抽象出“基本圖形基本圖形”后按照如后按照如下下“套路套路”展開：展開： 定義定義表示表

7、示分類分類性質(zhì)（判性質(zhì)（判定）定）特例特例 什么叫性質(zhì)？從哪幾個(gè)方面研究性質(zhì)？具體什么叫性質(zhì)？從哪幾個(gè)方面研究性質(zhì)？具體切入點(diǎn)在哪里？切入點(diǎn)在哪里？ 一類數(shù)學(xué)對(duì)象的共性就是性質(zhì)，變化中的不一類數(shù)學(xué)對(duì)象的共性就是性質(zhì)，變化中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)；變性、規(guī)律性就是性質(zhì)； 幾何要素以及相關(guān)要素之間的位置關(guān)系、度幾何要素以及相關(guān)要素之間的位置關(guān)系、度量關(guān)系。量關(guān)系。第9頁/共49頁 先先概括三角形中研究的問題、線索概括三角形中研究的問題、線索和基本和基本方法：定義（組成元素、分類）方法：定義（組成元素、分類）三三角形的性質(zhì)（變化中的不變性、規(guī)律性，從度量角形的性質(zhì)（變化中的不變性、規(guī)律性，從度量關(guān)

8、系關(guān)系和位置關(guān)系入手）和位置關(guān)系入手）三角三角形的全等（確定三角形的條件）形的全等（確定三角形的條件）特殊三角形的研究（特殊三角形的研究（角特殊角特殊直角三角形、直角三角形、邊特殊邊特殊等腰三角形等腰三角形，性質(zhì)、判定）性質(zhì)、判定）相似三角形（性質(zhì)、判定）相似三角形（性質(zhì)、判定） 目的：給學(xué)生一個(gè)類比對(duì)象，使他們知道研究的目的：給學(xué)生一個(gè)類比對(duì)象，使他們知道研究的“基本套路基本套路”。第10頁/共49頁 再提出問題：你能再提出問題：你能類比類比給出給出“四邊形四邊形”研究的研究的問題、線索和方法問題、線索和方法嗎？嗎？ 一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和、外角一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和

9、、外角和）；和）； 特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手； 邊的特殊性邊的特殊性平行四邊形：性質(zhì)和判定；平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)性質(zhì)”研究的是在研究的是在“平行四邊形平行四邊形”的條件下，的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系等；系、內(nèi)角的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系等；“判定判定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；形；其他度量問題；第11頁/共49頁 特殊的平行四邊形：角的特殊特殊的平行四邊形：角的特殊矩形，

10、邊的特殊矩形，邊的特殊菱形，邊角都特殊菱形，邊角都特殊正方形，都要研究性質(zhì)和判定。正方形，都要研究性質(zhì)和判定。 研究的方法：化歸為三角形、平行線的性質(zhì)等已有知識(shí)；研究的方法：化歸為三角形、平行線的性質(zhì)等已有知識(shí)； 特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識(shí)：矩形特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識(shí)：矩形直角三角形；直角三角形；菱形菱形等腰三角形；等腰三角形； 梯形梯形第12頁/共49頁這段教材有什么問題?第13頁/共49頁第14頁/共49頁第15頁/共49頁第16頁/共49頁這一段教材的問題 片面理解片面理解“學(xué)生的現(xiàn)實(shí)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)”，只講，只講“生活的現(xiàn)實(shí)生活的現(xiàn)實(shí)”，忽視，忽視

11、“數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)實(shí)”； 違背數(shù)學(xué)的基本精神違背數(shù)學(xué)的基本精神簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化；簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化； 喪失培養(yǎng)學(xué)生喪失培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問題能力發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”的機(jī)會(huì)；的機(jī)會(huì)； 破壞數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，使學(xué)生失去邏輯推理訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，削弱破壞數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，使學(xué)生失去邏輯推理訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，削弱數(shù)學(xué)的育人功能；數(shù)學(xué)的育人功能； 人為編造情境，不僅造成理解困難，而且使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的人為編造情境，不僅造成理解困難，而且使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的不良感受；不良感受； 誤導(dǎo)師生誤導(dǎo)師生以為這就是數(shù)學(xué)的探究過程；以為這就是數(shù)學(xué)的探究過程； 第17頁/共49頁新版教材做出的調(diào)整 平行四邊形的性質(zhì)的教學(xué)過程平行四邊形的性

12、質(zhì)的教學(xué)過程“試驗(yàn)試驗(yàn)+ +論證論證”，注意從定義出發(fā)，強(qiáng)調(diào)，注意從定義出發(fā)，強(qiáng)調(diào)“對(duì)平行四對(duì)平行四邊形的幾何要素和相關(guān)要素的位置關(guān)系、大邊形的幾何要素和相關(guān)要素的位置關(guān)系、大小度量的研究小度量的研究”； 平行四邊形的判定的教學(xué)過程平行四邊形的判定的教學(xué)過程“試驗(yàn)試驗(yàn)+ +猜想猜想+ +論證論證”，注意利用判定與性質(zhì)的關(guān)系，注意利用判定與性質(zhì)的關(guān)系，從性質(zhì)直接猜想判定，再加以論證；從性質(zhì)直接猜想判定，再加以論證； 菱形的教學(xué)過程菱形的教學(xué)過程從定義出發(fā)，研究特殊從定義出發(fā)，研究特殊的平行四邊形的平行四邊形“特在什么地方特在什么地方”，“猜想猜想+ +論證論證”。第18頁/共49頁例4 體現(xiàn)代數(shù)

13、研究基本套路的乘法公式教學(xué) 代數(shù)研究的基本套路： 背景（實(shí)際需要、數(shù)學(xué)概念發(fā)展的需要）定義分類（如數(shù)的分類、代數(shù)式的分類、方程的分類、數(shù)列的分類、函數(shù)的分類等）運(yùn)算法則、運(yùn)算律性質(zhì)特例第19頁/共49頁乘法公式的理解及教學(xué)設(shè)計(jì) 多項(xiàng)式運(yùn)算就是含有字母符號(hào)的算式之間的運(yùn)算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所以字母也滿足運(yùn)算律）；多項(xiàng)式運(yùn)算就是含有字母符號(hào)的算式之間的運(yùn)算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所以字母也滿足運(yùn)算律）； 兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積就是用分配律把它歸于單項(xiàng)式的乘積之和來計(jì)算，單項(xiàng)式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積就是用分配律把它歸于單項(xiàng)式的乘積之和來計(jì)算，單項(xiàng)式的乘積是用乘法的交換律、

14、結(jié)合律和指數(shù)法則來計(jì)算合律和指數(shù)法則來計(jì)算運(yùn)算法則；運(yùn)算法則； 乘法公式是一類特殊的多項(xiàng)式乘法問題，是一個(gè)模式。乘法公式是一類特殊的多項(xiàng)式乘法問題，是一個(gè)模式。第20頁/共49頁乘法公式蘊(yùn)含的思想方法 乘法公式是研究一般多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上對(duì)乘法公式是研究一般多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上對(duì)“特例特例”的考察，尋找一個(gè)模式：的考察，尋找一個(gè)模式： 在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，b，c，d有某些特殊關(guān)系時(shí)的特殊形式，即有某些特殊關(guān)系時(shí)的特殊形式，即（1）c=a，d=b時(shí)時(shí)為為平方差公式；平方差公式；（2）c=a，d=b時(shí)時(shí)為為完全平方和公式；等。完全平方和公式；等。從一般到特

15、殊，歸納的思想，從一般到特殊，歸納的思想，“考察特例考察特例”是數(shù)學(xué)研究的是數(shù)學(xué)研究的“基本套路基本套路”。第21頁/共49頁第22頁/共49頁教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1復(fù)習(xí)與引入復(fù)習(xí)與引入 問題問題1 前面我們學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？這些運(yùn)算的依據(jù)是什么？前面我們學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？這些運(yùn)算的依據(jù)是什么？ 設(shè)計(jì)意圖：回顧運(yùn)算法則，強(qiáng)化設(shè)計(jì)意圖：回顧運(yùn)算法則，強(qiáng)化“用運(yùn)算律計(jì)算用運(yùn)算律計(jì)算”的意識(shí)。的意識(shí)。第23頁/共49頁 先行組織者：先行組織者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，中，a，b，c，d可以是數(shù)、式或可以是數(shù)、式或別的什么。

16、數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，例別的什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，例如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用得到了一些有用的的結(jié)論。類似的，在多項(xiàng)式乘法中，也有一些特殊情形值得研結(jié)論。類似的，在多項(xiàng)式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。究。第24頁/共49頁 2公式的探究公式的探究 問題問題2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結(jié)果。它是可以利用公式直接寫出結(jié)果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x時(shí)的特例。在時(shí)的特例

17、。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？你能得到什么？ 設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)計(jì)意圖：通過“先行組織者先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認(rèn)識(shí)數(shù)，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法；在讓學(xué)生自主活動(dòng)之前，先指出已有特例學(xué)對(duì)象的方法；在讓學(xué)生自主活動(dòng)之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生，使學(xué)生有一個(gè)類比對(duì)象，明確思考方向。有一個(gè)類比對(duì)象，明確思考方向。第25頁/共49頁 問題問題3 請(qǐng)你用自己的語言表述平方差公式、完全平方公式。請(qǐng)你用自己的語言表述平方差公式、完全平方公式。 設(shè)計(jì)意圖：幫

18、助學(xué)生理解公式。設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解公式。 3例題例題 本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母a，b取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會(huì)公取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會(huì)公式在式在“形式化運(yùn)算形式化運(yùn)算”中的作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。中的作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(ab)或或(ab)2，就可以用公式；，就可以用公式；第二，要注意哪個(gè)代表第二，要注意哪個(gè)代表a，哪個(gè)代表，哪個(gè)代表b。第26頁/共49頁 4公式的多元聯(lián)系表示公式的多元聯(lián)系表示 問題問題4 如果如果a

19、，b表示線段的長(zhǎng)，則表示線段的長(zhǎng)，則a2，b2分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式，自己構(gòu)造一個(gè)圖形表示上述乘法公式嗎？式的形式，自己構(gòu)造一個(gè)圖形表示上述乘法公式嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、設(shè)計(jì)意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，以加深理解、增強(qiáng)記憶。圖形直觀，以加深理解、增強(qiáng)記憶。第27頁/共49頁 5小結(jié)小結(jié) （1）請(qǐng)你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。）請(qǐng)你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“基本套路基本套路”，即，即“多項(xiàng)

20、式乘法（一般）多項(xiàng)式乘法（一般）乘法公乘法公式（特殊）式（特殊）公式特征分析公式特征分析與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系”。 （2）你能說說公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意哪些問題？你能說說公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意哪些問題？ 設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：注重知識(shí)的使用條件注重知識(shí)的使用條件。第28頁/共49頁 （3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時(shí)可作提示，如公式設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時(shí)可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推廣中，推廣“次數(shù)次數(shù)”，可以，可以研究研究(a+b)3，

21、(a+b)4；或推廣字母?jìng)€(gè)數(shù)；或推廣字母?jìng)€(gè)數(shù)(a+b+c)2。雖不是。雖不是“課標(biāo)課標(biāo)”的的要求，但對(duì)學(xué)生思維發(fā)展是有要求，但對(duì)學(xué)生思維發(fā)展是有好處的。好處的。第29頁/共49頁 提高課堂教學(xué)的立意，是落實(shí)提高課堂教學(xué)的立意，是落實(shí)“教育中的科學(xué)發(fā)展觀教育中的科學(xué)發(fā)展觀”，全面關(guān)注全面關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。學(xué)生的發(fā)展。 當(dāng)前，社會(huì)功利化、各級(jí)政府的教育行政主管部門等以升學(xué)率為主要考核標(biāo)準(zhǔn)的不良導(dǎo)向，導(dǎo)致教育的短當(dāng)前，社會(huì)功利化、各級(jí)政府的教育行政主管部門等以升學(xué)率為主要考核標(biāo)準(zhǔn)的不良導(dǎo)向，導(dǎo)致教育的短期行為愈演愈烈，期行為愈演愈烈，“全面關(guān)注全面關(guān)注”變成了變成了“只關(guān)注分?jǐn)?shù)只關(guān)注分?jǐn)?shù)”，而且為了分

22、數(shù)可以不擇手段，而且為了分?jǐn)?shù)可以不擇手段竭澤而漁。竭澤而漁。第30頁/共49頁四、提高概念的教學(xué)水平1當(dāng)前概念教學(xué)的問題 概念教學(xué)走過場(chǎng)，常常采用概念教學(xué)走過場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠 有些老師不知如何教概念有些老師不知如何教概念第31頁/共49頁危害 以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是以解題教學(xué)代替概念教學(xué)

23、的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”終將落空終將落空第32頁/共49頁2 2教概念的意義 李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！第33頁/共49頁3 3概念教學(xué)的核心 概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，

24、歸納得出數(shù)學(xué)概念。展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。第34頁/共49頁4 4理論依據(jù) 概括是人們掌握概念的直接前提；概括是人們掌握概念的直接前提； 概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；思維品質(zhì)的基礎(chǔ)； 概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制；概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制； 學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過程也是概括的過程；學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過程也是概括的過程； 數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概括能力的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概括能力的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)；能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)； 概括與

25、歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。概括與歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。第35頁/共49頁5.5.概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 概念的引入概念的引入借助具體事例，借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念；解決實(shí)際問題的需要引入概念； 概念屬性的歸納概念屬性的歸納提供提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征；析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征； 概念的明確與表示概念的明確與表示下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號(hào)的）；字的、符

26、號(hào)的）；第36頁/共49頁 概念的辨析概念的辨析以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；例）； 概念的鞏固應(yīng)用概念的鞏固應(yīng)用用概念作判斷的具體事例，形成用概念作用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；判斷的具體步驟； 概念的概念的“精致精致”納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。第37頁/共49頁例5 5 三角函數(shù)起始課任意角 立意：以數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程為載體，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)研究過程，逐步學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)和解決問題的立意：以數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程為載體，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)研究過程，逐步學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)和解決

27、問題的方法。方法。 明確問題，獲得對(duì)象，明確問題，獲得對(duì)象， 確定內(nèi)容，選取方法，確定內(nèi)容，選取方法， 實(shí)施過程，獲得結(jié)論。實(shí)施過程，獲得結(jié)論。第38頁/共49頁(1)(1)如何“開篇” 本課是本課是“三角函數(shù)三角函數(shù)”的的“開篇開篇”，應(yīng)發(fā)揮，應(yīng)發(fā)揮“先行組織者先行組織者”的作用。的作用。 要充分重視構(gòu)建本章的基本研究思路的教學(xué)，為整章學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。要充分重視構(gòu)建本章的基本研究思路的教學(xué)，為整章學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。 解決好兩個(gè)問題：第一，為什么要學(xué)習(xí)本章內(nèi)容；第二，從哪里入手。解決好兩個(gè)問題：第一，為什么要學(xué)習(xí)本章內(nèi)容；第二，從哪里入手。第39頁/共49頁為什么要學(xué)習(xí)本章？ 已有的函數(shù)模型不能解決

28、已有的函數(shù)模型不能解決“周而復(fù)始周而復(fù)始”的變化規(guī)律的刻畫問題。的變化規(guī)律的刻畫問題。 “周而復(fù)始周而復(fù)始”現(xiàn)象中，最本質(zhì)的就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)中，研究一類現(xiàn)象，往往從簡(jiǎn)單而本質(zhì)的情形入現(xiàn)象中，最本質(zhì)的就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)中，研究一類現(xiàn)象，往往從簡(jiǎn)單而本質(zhì)的情形入手。因此，可以進(jìn)一步地把刻畫單位圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)作為研究手。因此，可以進(jìn)一步地把刻畫單位圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)作為研究“周而復(fù)始周而復(fù)始”現(xiàn)象的起點(diǎn)?，F(xiàn)象的起點(diǎn)。第40頁/共49頁從哪里入手？ 確定單位圓周上點(diǎn)的勻速運(yùn)動(dòng)的要素是什么？可用帶有方向的角或帶有方向的弧長(zhǎng)來刻畫（這里可以類比確定單位圓周上點(diǎn)的勻速運(yùn)動(dòng)的要素是什么？可用帶有

29、方向的角或帶有方向的弧長(zhǎng)來刻畫（這里可以類比“相反意義的量相反意義的量”和和“負(fù)數(shù)的引入負(fù)數(shù)的引入”）。如果用同樣的）。如果用同樣的“單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度”來度量角和弧長(zhǎng)的話，兩者就可以統(tǒng)來度量角和弧長(zhǎng)的話，兩者就可以統(tǒng)一。所以，把角作為原始變量，再用單位圓的弧長(zhǎng)來度量角，就可為刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)提供必要的基礎(chǔ)。一。所以，把角作為原始變量，再用單位圓的弧長(zhǎng)來度量角，就可為刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)提供必要的基礎(chǔ)。這樣，把角推廣到這樣，把角推廣到“任意角任意角”、引進(jìn)、引進(jìn)“弧度制弧度制”是需要先做的事情。是需要先做的事情。第41頁/共49頁(2)(2)如何獲得“任意角”概念 角是角是“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”出來的。出來的。

30、類比：用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，以及確定一個(gè)類比：用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，以及確定一個(gè)“平面圖形的旋轉(zhuǎn)平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的的“三要素三要素”，給定角的始，給定角的始邊，只要確定了旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量，這個(gè)角就唯一確定了。邊，只要確定了旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量，這個(gè)角就唯一確定了。 為了表示旋轉(zhuǎn)量超過一周的角，需要將角的范圍擴(kuò)大；為了表示不同方向的角，需要引進(jìn)正角、零角、負(fù)為了表示旋轉(zhuǎn)量超過一周的角，需要將角的范圍擴(kuò)大；為了表示不同方向的角，需要引進(jìn)正角、零角、負(fù)角等概念；相關(guān)概念有角的頂點(diǎn)、始邊、終邊等。角等概念；相關(guān)概念有角的頂點(diǎn)、始邊、終邊等。第42頁/共49頁 具體教學(xué)時(shí)，可以采取如

31、下過程：生活事例到數(shù)學(xué)抽象具體教學(xué)時(shí)，可以采取如下過程：生活事例到數(shù)學(xué)抽象類比（有理）數(shù)范圍的擴(kuò)充，概括共同特征類比（有理）數(shù)范圍的擴(kuò)充，概括共同特征定義定義關(guān)鍵詞辨析。關(guān)鍵詞辨析。 這里需要強(qiáng)調(diào)這里需要強(qiáng)調(diào)“定義一個(gè)新概念的方法定義一個(gè)新概念的方法”，確定一個(gè)，確定一個(gè)“任意角任意角”的條件的條件旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。 任意角不僅是可以取任意大小的角，而且還有方向，這很重要。任意角不僅是可以取任意大小的角，而且還有方向，這很重要。第43頁/共49頁(3)(3)如何表示“任意角” 除用度數(shù)表示外，還可用除用度數(shù)表示外，還可用“形形”表示。類比數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，以表示。類比數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，以“沒有正負(fù)的沒有正負(fù)的0角角”為為“基準(zhǔn)基準(zhǔn)”，角的，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的方向相同，在這個(gè)統(tǒng)一前提下，任意角就只與它的終邊相關(guān)。由此可以軸的方向相同，在這個(gè)統(tǒng)一前提下，任意角就只與它的終邊相關(guān)。由此可以讓學(xué)生理解象限角定義的思想，而且其中滲透了標(biāo)準(zhǔn)化、簡(jiǎn)單化、對(duì)應(yīng)等思想，在同一讓學(xué)生理解