二次函數(shù)與相似三角形問題(含答案)

1、綜合題講解函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題1、如圖，已知拋物線與 X交于A(-1, 0)、E(3, 0)兩點，與y軸交于點B(0, 3)。(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線頂點為 D,求四邊形AEDB的面積；(3) 4AOB與 DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。Word資料2、已知拋物線 y ax2 bx c經(jīng)過 P(石3) E苧,0及原點O(0,0).(1)求拋物線的解析式.(2)過P點作平行于x軸的直線PC交y軸于C點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線 PC下方的拋物線上，任取一點 Q ,過點Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點，交直線PC于B點，直線QA與直

2、線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形 OABC .是否存在點 Q,使得4OPC與4PQB相似？若存在，求出 Q點的坐標(biāo);若不存在，說明理由.(3)如果符合(2)中的Q點在x軸的上方，連結(jié) OQ ,矩形OABC內(nèi)的四個三角形 OPC , PQB , OQP, OQA之間存在怎樣的關(guān)系？為什么?23、如圖所不，已知拋物線 y x 1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.(1)求A、B、C三點的坐標(biāo).(2)過點A作AP/CB交拋物線于點 P,求四邊形ACBP的面積.(3)在X軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG X軸于點G,三角形與 PCA相似.若存在，請求出 M點的坐標(biāo)；否則，請說明理由.,一. . 一

3、 一.一24、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知二次函數(shù)y ax bx c(a 0)的圖象與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C ,其頂點的橫坐標(biāo)為1,且過點(2,3)和(3, 12).2- 一(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(由二股式 得拋物線的解析式為 y x 2x 3) (2)若直線l :y kx(k 0)與線段BC交于點D (不與點B, C重合)，則是否存在這樣的直線l ,使得以B, O, D為頂點的三角形與 ABAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；A( 1,0), B(3Q),C(0,3)試比較銳角 PCO與 ACO(3)若點P是

4、位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點, 的大小(不必證明)，并寫出此時點 P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍.5、如圖，已知拋物線y= 3x2+bx + c與坐標(biāo)軸交于 A、B、C三點，A點的坐標(biāo)為(一1, 0),4過點C的直線y=x 3與x軸交于點Q,點P是線段BC上的一個動點，過 P作PHLOB于點H.若 4tPB=5t,且 0vtv 1 .(1)填空：點C的坐標(biāo)是_ _ b=_ _ c=_(2)求線段QH的長(用不T的式子百)；(3)依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與 COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由.6、如圖，拋物線經(jīng)過 A(4,0

5、)B(1,0), C(0, 2)三點.(1)求出拋物線的解析式；(2) P是拋物線上一動點，過 P作PM x軸，垂足為M,是否存在P點，使得以A, P, M為頂點的三角形與4OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在直線AC上方的拋物線上有一點 D,使得4DCA的面積最大，求出點 D的坐標(biāo).7、已知，如圖1,過點E 0, 1作平行于x軸的直線l ,拋物線y12,一，八，x2上的兩點 A B的橫坐標(biāo)分別4為1和4,直線AB交y軸于點F ,過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點 C、D ,連接CF、DF .(1)求點A、B、F的坐標(biāo);E D圖1)備用圖(2)

6、求證：CF DF ；Word資料1 2(3)點P是拋物線y -x對稱軸右側(cè)圖象上白一動點，過點 P作PQ，PO交x軸于點Q ,是否存在 43EDOBA x點P使得4OPQ與4CDF相似？若存在，請求出所有符合條件的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.9、如圖，一次函數(shù) y= 2x的圖象與二次函數(shù) y= x2+3x圖象的對稱軸交于點 B.(1)寫出點B的坐標(biāo);(2)已知點P是二次函數(shù)y= x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線y= - 2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點.若以CD為直角邊的 PCD與 OCD相似，則點P的坐標(biāo)為210、如圖，拋物線 y ax bx 1與x軸

7、交于兩點A ( 1, 0), B (1, 0),與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)過點B作BD/CA與拋物線交于點D,求四邊形ACBD的面積；(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點M,過M作MN，x軸于點N,使以A、M、N為頂點的三角形與BCD相似？若存在，則求出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.11、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點.(1)求這個函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖所示，設(shè)二次 函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點為B,與y軸的交點為A, P為圖象上的一點，若以線 段PB為直徑的圓與直線 AB相切于點B,求P點的坐標(biāo)； (3)在(2)中，若圓與x軸另一交點關(guān)

8、于直線 PB的對稱點為M,若在拋物線上，求出 M點的坐標(biāo)；若不在，請說明理由.2212、如圖，設(shè)拋物線Ci：y ax 15, C2：y a x 15,。與C2的交點為A, B,點A的坐標(biāo)是(2,4),點B的橫坐標(biāo)是一2.(1)求a的值及點B的坐標(biāo)；(2)點D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形 DHG.記過C2頂點M的直 線為l ,且l與x軸交于點N.若l過4 DHG的頂點G,點D的坐標(biāo)為(1,2),求點N的橫坐標(biāo);若l與 DHG的邊DG相交，求點N的橫坐標(biāo)的取值范圍.13、如圖，在矩形 ABCD中，AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動，設(shè) AP= x ,現(xiàn)將

9、紙片折疊，使點 D與 點P重合，得折痕EF (點E、F為折痕與矩形邊的交點)，再將紙片還原。(1)當(dāng)x=0時，折痕EF的長為;當(dāng)點E與點A重合時，折痕EF的長為 ;(2)請寫出使四邊形 EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng) x=2時菱形的邊長；.2(3)令EF y ,當(dāng)點E在AD、點F在BC上時，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)y取最大值時，判斷VEAP與VPBF是否相似？若相似，求出 x的值；若不相似，請說明理由。L狀“也留14、如圖，已知 A( 4,0) , B(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為 9:4,將OB向右側(cè)放大，B點的對應(yīng)點為C.(1)求C點坐標(biāo)及直線 BC的解析式；(2) 一

10、拋物線經(jīng)過 B、C兩點，且頂點落在 x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象(3)現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P,請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為3/2的點P.S24JHH參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為y a(x 2)2 1拋物線過原點， 0 a(0 2)2 11a412 L12拋物線的解析式為 y (x 2)2 1,即y -x2 x如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時，CD2ob,A4412由 0(x 2)1 得 x10,x2 4,4B(4,0),OB = 4.D點的橫坐標(biāo)為612將 x=6 代入 y (x 2)1,得 y=-3,4D(6,

11、-3);根據(jù)拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形 ODCB是平行四邊形，此時D點的坐標(biāo)為(-2-3),當(dāng)OB為對角線即四邊形 OCBD是平行四邊形時，D點即為A點，此時D點的坐標(biāo)為(2,1)如圖2,由拋物線的對稱性可知 ：AO = AB,/AOB= / ABO.BOPAAOB 相似,必須有 / POB= / BOA= / BPO設(shè)OP交拋物線的對稱軸于 A點，顯然A (2,-1)1,直線OP的解析式為y -x24 11 2由一x x x,24得 x1 0,x26.P(6,-3)過 P 作 PELx 軸，在 RtA BEP中,BE= 2,PE= 3,PB=而現(xiàn)PBOB,

12、.1.Z BOP也 BPO,. PBO與ABAO不相似，同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得 BOP與 AOB相似.練習(xí)1、解：（1）由已知可得：3a、3b 3 755 325 3一a b 0 解之得，a bc 0.4233c 02 2 5.3 因而得，拋物線的解析式為：y -x2 x.3 3（2）存在. 22 5.3 設(shè)Q點的坐標(biāo)為（m, n）,則n m m,333 2 2 5V3要使OCPs/XPBQ,史-PB,則有 3/m-3 ,即 一3一廠成一m工3CPOC 133.33解之得，mi 2 3, m2 2.當(dāng)m, 2百時，n 2,即為Q

13、點，所以得Q（2向2） 3 2 2 5V3要使OCPs/qbp,EQ PB 則有 3_ m_/3 即 一33- m-/3OC CP3、33.3解之得，m1 3后 m2 73,當(dāng)m 73時，即為P點， 當(dāng)明 3百時,n 3,所以得Q（3石3）.故存在兩個Q點使得 OCP與 PBQ相似.Q點的坐標(biāo)為（262）（3%, 3）. CP 、.3°（3）在 RtzXOCP 中，因為 tan COP 所以 COP 30o . OC 3當(dāng)Q點的坐標(biāo)為（273,2）時， BPQ COP 30°.所以 OPQ OCP B QAO 90 0.因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三

14、角形. , 一一 QA 、. 30又在RtAOAQ中，因為tan QOA 所以 QOA 30 .AO 3 Word資料在 ADCE 中，CD2 DE2 CE2,即有 POQ QOA QPB COP 300.所以 zOPC s pqb s oqp s oqa ,又因為 QP ± OP, QA ± OA POQ AOQ 30°,所以 zOQA ©zOQP .練習(xí)2解：（1） AOCD 與 AADE 相似。理由如下：由折疊知， CDE B 90° , . 12 90 , Q 13 900,23.又; COD DAE 90°,.OCDs/X

15、ade。AE 3（2） . tan EDA ，.設(shè) AE=3t, AD 4貝U AD=4t。由勾股定理得DE=5t。OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t。由（1） /XOCDs/XADE ,得 OC CD, AD DE8t CD ,4t 5t .CD 10to (10t)2 (5t)2(52,解得 t=1。OC=8 , AE=3，點 C 的坐標(biāo)為(0,8),點E的坐標(biāo)為(10, 3),設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b ,Word資料10k bb 8,3解得k ；，b 8,8,則點P的坐標(biāo)為（16, 0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y= 2x+12 ,y=2x 12。如圖2:

16、準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1） Q二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標(biāo)為1,且過點（2,3）和（3,12),b 1,2a由 4a 2b c 3,解得1,2,9a 3b 212.3.此二次函數(shù)的表達(dá)式為2x 3.（2）假設(shè)存在直線l:ykx(k0）與線段BC交于點D （不與點B,C重合），使得以B, O, D為頂點1,x23的三角形與ABAC相似.2x 2x 3中，令y 0,則由 x 2x 3 0,解得x1A(1,0) B(3,0).0,得y3.C(0,3).設(shè)過點O的直線l交BC于點D ,過點Q點B的坐標(biāo)為（3,0），點C的坐標(biāo)為AB 4, OBOC 3, OBC45OBC ，32 32 3五.要使

17、/XBODs BAC或BDOsBAC,已有 BBDBOBOBDBCBABCBAD作DE，x軸于點E.（0,3），點A的坐標(biāo)為（成立.若是，則有BDBO gBC而 OBC 450,BE在 RtA BDE 中,解得BEDEOEOBBE點D的坐標(biāo)為將點D的坐標(biāo)代入滿足條件的直線BA由勾股定理，得BEDE2 BEBD9.29 （負(fù)值舍去）.444y kx(k0）中，求得3.l的函數(shù)表達(dá)式為y 3x.或求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y3x 3,則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為易知ZXBOD bac ,再求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為x 3.聯(lián)立 y 3x, yy 3x .此時x 3求得點D的坐標(biāo)為44若是

18、，則有BDBO gBABC3:2而 OBC 450,BE在 RtA BDE 中,由勾股定理，得 BEDE2 BEBD2 (2歷2.解得BEDE2 （負(fù)值舍去）.OEOBBE3 2 1.點D的坐標(biāo)為（1,2）.將點D的坐標(biāo)代入y kx（k 0）中，求得k2.滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y 2x .存在直線l :y3x或y 2x與線段BC交于點D（不與點B, C重合），使得以B, O,D為頂點的三 3 9角形與ABAC相似，且點D的坐標(biāo)分別為 一，或（1,2）.4 40）與該二次函數(shù)的圖象交于點(3)設(shè)過點 C(0,3), E(1,0)的直線 y kx 3(k將點E（1,0）的坐標(biāo)代入y kx

19、3中，求得k 3.此直線的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x 3.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x, 3x3）,并代入yx2 2x 3,得 x2 5x 0 .解得a12 , a21 （不合題意，舍去）解得xi 5, x2 0 （不合題意，舍去）.x 5, y 12 .點P的坐標(biāo)為（5, 12）.此時，銳角 PCOACO.又Q二次函數(shù)的對稱軸為 x 1 ,點C關(guān)于對稱軸對稱的點 C的坐標(biāo)為（2,3） .當(dāng)xp 5時，銳角 PCO ACO；當(dāng)xp 5時，銳角 PCO ACO;p當(dāng)2 xp 5時，銳角 PCO ACO.p練習(xí)四2解：(1)令y 0,得x 1 0 解得x 1令x 0 ,得y 1 A( 1,0) B(1,0)C(

20、0, 1)(2) OA=OB=OC= 1.1. BAC= ACO= BCO= 45o AP / CB,PAB= 45o過點P作PE x軸于E,則 APE為等腰直角三角形令 OE= a ,貝U PE=a 1 P(a,a 1)點P在拋物線y x2 1上a 1 a2 1PE=3四邊形ACBP的面積S =AB?OC+ AB?PE= PAB= BAC = 45oPA AC MG x軸于點G,MGA= PAC = 90o在 RtA AOC 中，OA=OC=AC= 2 2在 RtPAE 中，AE=PE=3AP= 3,2設(shè)M點的橫坐標(biāo)為m ,則,2(m, m 1)點M在y軸左側(cè)時，則m(i )當(dāng)AMG s PCA 時,» AG MG有=一PACA. . AG=,2 m 1m 1, MG= m2 1 即一 3.221 (舍去) m2 (舍去)3(ii)當(dāng)MAG s PCA 時有AG MGCAPAm2 1一一解得：m3 2（舍去）m2M( 2,3)點M在y軸右側(cè)時，則m(i )當(dāng) AMG sPCA時有AGPAMGCAAG= mm 13.2m2 1（舍去）m2/4 7、M( , )3 9(ii)當(dāng) MAGs PCA 時有AGMGC