二次函數(shù)與相似三角形問(wèn)題(含答案)

1、綜合題講解函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題1、如圖，已知拋物線與 X交于A(-1, 0)、E(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B(0, 3)。(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 D,求四邊形AEDB的面積；(3) 4AOB與 DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。Word資料2、已知拋物線 y ax2 bx c經(jīng)過(guò) P(石3) E苧,0及原點(diǎn)O(0,0).(1)求拋物線的解析式.(2)過(guò)P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線 PC下方的拋物線上，任取一點(diǎn) Q ,過(guò)點(diǎn)Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線QA與直

2、線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形 OABC .是否存在點(diǎn) Q,使得4OPC與4PQB相似？若存在，求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.(3)如果符合(2)中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連結(jié) OQ ,矩形OABC內(nèi)的四個(gè)三角形 OPC , PQB , OQP, OQA之間存在怎樣的關(guān)系？為什么?23、如圖所不，已知拋物線 y x 1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)A作AP/CB交拋物線于點(diǎn) P,求四邊形ACBP的面積.(3)在X軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M作MG X軸于點(diǎn)G,三角形與 PCA相似.若存在，請(qǐng)求出 M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.,一. . 一

3、 一.一24、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知二次函數(shù)y ax bx c(a 0)的圖象與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C ,其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過(guò)點(diǎn)(2,3)和(3, 12).2- 一(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(由二股式 得拋物線的解析式為 y x 2x 3) (2)若直線l :y kx(k 0)與線段BC交于點(diǎn)D (不與點(diǎn)B, C重合)，則是否存在這樣的直線l ,使得以B, O, D為頂點(diǎn)的三角形與 ABAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；A( 1,0), B(3Q),C(0,3)試比較銳角 PCO與 ACO(3)若點(diǎn)P是

4、位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn), 的大小(不必證明)，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍.5、如圖，已知拋物線y= 3x2+bx + c與坐標(biāo)軸交于 A、B、C三點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1, 0),4過(guò)點(diǎn)C的直線y=x 3與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作PHLOB于點(diǎn)H.若 4tPB=5t,且 0vtv 1 .(1)填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是_ _ b=_ _ c=_(2)求線段QH的長(zhǎng)(用不T的式子百)；(3)依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與 COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由.6、如圖，拋物線經(jīng)過(guò) A(4,0

5、)B(1,0), C(0, 2)三點(diǎn).(1)求出拋物線的解析式；(2) P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作PM x軸，垂足為M,是否存在P點(diǎn)，使得以A, P, M為頂點(diǎn)的三角形與4OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn) D,使得4DCA的面積最大，求出點(diǎn) D的坐標(biāo).7、已知，如圖1,過(guò)點(diǎn)E 0, 1作平行于x軸的直線l ,拋物線y12,一，八，x2上的兩點(diǎn) A B的橫坐標(biāo)分別4為1和4,直線AB交y軸于點(diǎn)F ,過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn) C、D ,連接CF、DF .(1)求點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo);E D圖1)備用圖(2)

6、求證：CF DF ；Word資料1 2(3)點(diǎn)P是拋物線y -x對(duì)稱軸右側(cè)圖象上白一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PQ，PO交x軸于點(diǎn)Q ,是否存在 43EDOBA x點(diǎn)P使得4OPQ與4CDF相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9、如圖，一次函數(shù) y= 2x的圖象與二次函數(shù) y= x2+3x圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn) B.(1)寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y= x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y= - 2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn).若以CD為直角邊的 PCD與 OCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為210、如圖，拋物線 y ax bx 1與x軸

7、交于兩點(diǎn)A ( 1, 0), B (1, 0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)B作BD/CA與拋物線交于點(diǎn)D,求四邊形ACBD的面積；(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M作MN，x軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，則求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.11、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖所示，設(shè)二次 函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為A, P為圖象上的一點(diǎn)，若以線 段PB為直徑的圓與直線 AB相切于點(diǎn)B,求P點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)在(2)中，若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)

8、于直線 PB的對(duì)稱點(diǎn)為M,若在拋物線上，求出 M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2212、如圖，設(shè)拋物線Ci：y ax 15, C2：y a x 15,。與C2的交點(diǎn)為A, B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,4),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一2.(1)求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)D在線段AB上，過(guò)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形 DHG.記過(guò)C2頂點(diǎn)M的直 線為l ,且l與x軸交于點(diǎn)N.若l過(guò)4 DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2),求點(diǎn)N的橫坐標(biāo);若l與 DHG的邊DG相交，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.13、如圖，在矩形 ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè) AP= x ,現(xiàn)將

9、紙片折疊，使點(diǎn) D與 點(diǎn)P重合，得折痕EF (點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn))，再將紙片還原。(1)當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為 ;(2)請(qǐng)寫(xiě)出使四邊形 EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng) x=2時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；.2(3)令EF y ,當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)y取最大值時(shí)，判斷VEAP與VPBF是否相似？若相似，求出 x的值；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。L狀“也留14、如圖，已知 A( 4,0) , B(0,4),現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心，相似比為 9:4,將OB向右側(cè)放大，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C.(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線 BC的解析式；(2) 一

10、拋物線經(jīng)過(guò) B、C兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)落在 x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫(huà)出函數(shù)圖象(3)現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P,請(qǐng)找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為3/2的點(diǎn)P.S24JHH參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為y a(x 2)2 1拋物線過(guò)原點(diǎn)， 0 a(0 2)2 11a412 L12拋物線的解析式為 y (x 2)2 1,即y -x2 x如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí)，CD2ob,A4412由 0(x 2)1 得 x10,x2 4,4B(4,0),OB = 4.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為612將 x=6 代入 y (x 2)1,得 y=-3,4D(6,

11、-3);根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形 ODCB是平行四邊形，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2-3),當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形 OCBD是平行四邊形時(shí)，D點(diǎn)即為A點(diǎn)，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2,由拋物線的對(duì)稱性可知 ：AO = AB,/AOB= / ABO.BOPAAOB 相似,必須有 / POB= / BOA= / BPO設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于 A點(diǎn)，顯然A (2,-1)1,直線OP的解析式為y -x24 11 2由一x x x,24得 x1 0,x26.P(6,-3)過(guò) P 作 PELx 軸，在 RtA BEP中,BE= 2,PE= 3,PB=而現(xiàn)PBOB,

12、.1.Z BOP也 BPO,. PBO與ABAO不相似，同理可說(shuō)明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得 BOP與 AOB相似.練習(xí)1、解：（1）由已知可得：3a、3b 3 755 325 3一a b 0 解之得，a bc 0.4233c 02 2 5.3 因而得，拋物線的解析式為：y -x2 x.3 3（2）存在. 22 5.3 設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m, n）,則n m m,333 2 2 5V3要使OCPs/XPBQ,史-PB,則有 3/m-3 ,即 一3一廠成一m工3CPOC 133.33解之得，mi 2 3, m2 2.當(dāng)m, 2百時(shí)，n 2,即為Q

13、點(diǎn)，所以得Q（2向2） 3 2 2 5V3要使OCPs/qbp,EQ PB 則有 3_ m_/3 即 一33- m-/3OC CP3、33.3解之得，m1 3后 m2 73,當(dāng)m 73時(shí)，即為P點(diǎn)， 當(dāng)明 3百時(shí),n 3,所以得Q（3石3）.故存在兩個(gè)Q點(diǎn)使得 OCP與 PBQ相似.Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（262）（3%, 3）. CP 、.3°（3）在 RtzXOCP 中，因?yàn)?tan COP 所以 COP 30o . OC 3當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（273,2）時(shí)， BPQ COP 30°.所以 OPQ OCP B QAO 90 0.因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三

14、角形. , 一一 QA 、. 30又在RtAOAQ中，因?yàn)閠an QOA 所以 QOA 30 .AO 3 Word資料在 ADCE 中，CD2 DE2 CE2,即有 POQ QOA QPB COP 300.所以 zOPC s pqb s oqp s oqa ,又因?yàn)?QP ± OP, QA ± OA POQ AOQ 30°,所以 zOQA ©zOQP .練習(xí)2解：（1） AOCD 與 AADE 相似。理由如下：由折疊知， CDE B 90° , . 12 90 , Q 13 900,23.又; COD DAE 90°,.OCDs/X

15、ade。AE 3（2） . tan EDA ，.設(shè) AE=3t, AD 4貝U AD=4t。由勾股定理得DE=5t。OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t。由（1） /XOCDs/XADE ,得 OC CD, AD DE8t CD ,4t 5t .CD 10to (10t)2 (5t)2(52,解得 t=1。OC=8 , AE=3，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10, 3),設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b ,Word資料10k bb 8,3解得k ；，b 8,8,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16, 0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y= 2x+12 ,y=2x 12。如圖2:

16、準(zhǔn)確畫(huà)出兩條直線。練習(xí)3解：（1） Q二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過(guò)點(diǎn)（2,3）和（3,12),b 1,2a由 4a 2b c 3,解得1,2,9a 3b 212.3.此二次函數(shù)的表達(dá)式為2x 3.（2）假設(shè)存在直線l:ykx(k0）與線段BC交于點(diǎn)D （不與點(diǎn)B,C重合），使得以B, O, D為頂點(diǎn)1,x23的三角形與ABAC相似.2x 2x 3中，令y 0,則由 x 2x 3 0,解得x1A(1,0) B(3,0).0,得y3.C(0,3).設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線l交BC于點(diǎn)D ,過(guò)點(diǎn)Q點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為AB 4, OBOC 3, OBC45OBC ，32 32 3五.要使

17、/XBODs BAC或BDOsBAC,已有 BBDBOBOBDBCBABCBAD作DE，x軸于點(diǎn)E.（0,3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（成立.若是，則有BDBO gBC而 OBC 450,BE在 RtA BDE 中,解得BEDEOEOBBE點(diǎn)D的坐標(biāo)為將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入滿足條件的直線BA由勾股定理，得BEDE2 BEBD9.29 （負(fù)值舍去）.444y kx(k0）中，求得3.l的函數(shù)表達(dá)式為y 3x.或求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y3x 3,則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為易知ZXBOD bac ,再求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為x 3.聯(lián)立 y 3x, yy 3x .此時(shí)x 3求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為44若是

18、，則有BDBO gBABC3:2而 OBC 450,BE在 RtA BDE 中,由勾股定理，得 BEDE2 BEBD2 (2歷2.解得BEDE2 （負(fù)值舍去）.OEOBBE3 2 1.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,2）.將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y kx（k 0）中，求得k2.滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y 2x .存在直線l :y3x或y 2x與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B, C重合），使得以B, O,D為頂點(diǎn)的三 3 9角形與ABAC相似，且點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為 一，或（1,2）.4 40）與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)(3)設(shè)過(guò)點(diǎn) C(0,3), E(1,0)的直線 y kx 3(k將點(diǎn)E（1,0）的坐標(biāo)代入y kx

19、3中，求得k 3.此直線的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x 3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, 3x3）,并代入yx2 2x 3,得 x2 5x 0 .解得a12 , a21 （不合題意，舍去）解得xi 5, x2 0 （不合題意，舍去）.x 5, y 12 .點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5, 12）.此時(shí)，銳角 PCOACO.又Q二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 x 1 ,點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) C的坐標(biāo)為（2,3） .當(dāng)xp 5時(shí)，銳角 PCO ACO；當(dāng)xp 5時(shí)，銳角 PCO ACO;p當(dāng)2 xp 5時(shí)，銳角 PCO ACO.p練習(xí)四2解：(1)令y 0,得x 1 0 解得x 1令x 0 ,得y 1 A( 1,0) B(1,0)C(

20、0, 1)(2) OA=OB=OC= 1.1. BAC= ACO= BCO= 45o AP / CB,PAB= 45o過(guò)點(diǎn)P作PE x軸于E,則 APE為等腰直角三角形令 OE= a ,貝U PE=a 1 P(a,a 1)點(diǎn)P在拋物線y x2 1上a 1 a2 1PE=3四邊形ACBP的面積S =AB?OC+ AB?PE= PAB= BAC = 45oPA AC MG x軸于點(diǎn)G,MGA= PAC = 90o在 RtA AOC 中，OA=OC=AC= 2 2在 RtPAE 中，AE=PE=3AP= 3,2設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m ,則,2(m, m 1)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，則m(i )當(dāng)AMG s PCA 時(shí),» AG MG有=一PACA. . AG=,2 m 1m 1, MG= m2 1 即一 3.221 (舍去) m2 (舍去)3(ii)當(dāng)MAG s PCA 時(shí)有AG MGCAPAm2 1一一解得：m3 2（舍去）m2M( 2,3)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，則m(i )當(dāng) AMG sPCA時(shí)有AGPAMGCAAG= mm 13.2m2 1（舍去）m2/4 7、M( , )3 9(ii)當(dāng) MAGs PCA 時(shí)有AGMGC