小學(xué)六級(jí)奧數(shù)教案

1、小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：行程問題第一講 行程問題走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量：距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等; 速度在單位時(shí)間內(nèi) (例如 1 小時(shí)內(nèi) )行走或移動(dòng)的距離 ; 時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間. 這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：距離=速度 時(shí)間很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個(gè)人的數(shù)量 人數(shù) . 工作量 =工作效率 時(shí)間 . 因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題. 當(dāng)然，行程

2、問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味 .它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容 .因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問題的思考方法和處理技巧 . 這一講，用 5 千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了 “ 追及問題 ”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離 -乙走的距離=

3、 甲的速度 時(shí)間-乙的速度 時(shí)間=(甲的速度 -乙的速度 ) 時(shí)間. 通常， “ 追及問題 ” 要考慮速度差 . 例 1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6 千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10 分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9 千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間. 此時(shí)，小轎車比面包車多走了9 千米，而小轎車與面包車的速度差是6 千米/小時(shí)，因此所用時(shí)間 =9 6=1.5( 小時(shí)). 小轎車比面包車早10 分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9 千米，說明小轎車的速度是面包車速

4、度是54-6=48( 千米/小時(shí)). 城門離學(xué)校的距離是48 1.5=72( 千米). 答：學(xué)校到城門的距離是72 千米. 例 2 小張從家到公園，原打算每分種走50 米.為了提早 10 分鐘到，他把速度加快，每分鐘走 75 米.問家到公園多遠(yuǎn) ? 解一：可以作為 “ 追及問題 ” 處理. 假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0 分鐘出發(fā) .考慮小張以 75 米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是50 10 (75- 50)= 20( 分鐘)? 因此，小張走的距離是75 20= 1500( 米). 答：從家到公園的距離是1500 米. 還有一種不少人采用的方法. 家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“ 易于

5、思考 ” ，其次是 “ 計(jì)算方便 ”.那么你更喜歡哪一種解法呢 ?對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路. 例 3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30 千米/小時(shí)，要 1 小時(shí)才能追上 ;如果速度是35 千米/小時(shí)，要 40 分鐘才能追上.問自行車的速度是多少 ? 解一：自行車 1 小時(shí)走了30 1-已超前距離，自行車 40 分鐘走了自行車多走 20 分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是20 千米/小時(shí). 解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離 速度差1 小時(shí)與 40 分鐘是 32.所以兩者的速度差之比是23.請(qǐng)看下面示意圖：馬上可看出前

6、一速度差是15.自行車速度是35- 15= 20( 千米/小時(shí)). 解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算 . 例 4 上午 8 點(diǎn) 8 分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8 分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家 4 千米的地方追上了他 .然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8 千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分 ? 解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4(千米). 而爸爸騎的距離是4+ 8= 12( 千米). 這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12 4=3(倍).按照這個(gè)倍

7、數(shù)計(jì)算，小明騎8 千米，爸爸可以騎行8 3=24(千米). 但事實(shí)上，爸爸少用了8 分鐘，騎行了4+12=16( 千米). 少騎行 24-16=8( 千米). 摩托車的速度是 1 千米/分，爸爸騎行 16 千米需要 16 分鐘. 8+8+16=32. 答：這時(shí)是 8 點(diǎn) 32 分. 下面講 “ 相遇問題 ”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么甲走的距離 +乙走的距離=甲的速度 時(shí)間+乙的速度 時(shí)間=(甲的速度 +乙的速度 ) 時(shí)間. “ 相遇問題 ” ，常常要考慮兩人的速度和. 例 5 小張從甲地到乙地步行需

8、要36 分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長(zhǎng)的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的36 12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3 倍，也可以說，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3 倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4 段，小王走了 3 段，小張走了 1 段，小張花費(fèi)的時(shí)間是36 (3+1)=9( 分鐘). 答：兩人在 9 分鐘后相遇 . 例 6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5 千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4 千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1 千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離 . 解：畫一張

9、示意圖離中點(diǎn) 1 千米的地方是 a 點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1 千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時(shí)多走 (5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2 (5-4)=2( 小時(shí)). 因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4) 2=18( 千米). 本題表面的現(xiàn)象是 “ 相遇” ，實(shí)質(zhì)上卻要考慮 “ 小張比小王多走多少 ?” 豈不是有 “ 追及” 的特點(diǎn)嗎 ?對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡(jiǎn)單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬不要 “ 兩人面對(duì)面 ” 就是“ 相遇” ，

10、“ 兩人一前一后 ” 就是“ 追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子 . 例 7 甲、乙兩車分別從a，b 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6 小時(shí)后相遇于 c 點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從 a，b 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距c 點(diǎn) 12 千米;如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5 千米，且兩車還從 a，b 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距c 點(diǎn) 16 千米.求a，b 兩地距離 . 解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于d 點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于e 點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的 .不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5 千米，因此，不論在d 點(diǎn)相遇，還

11、是在 e 點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵 . 下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差. 在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到e 點(diǎn)，而不加速，只能到d 點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28( 千米)，加速與不加速所形成的速度差是5 千米/小時(shí).因此，在 d點(diǎn)(或 e 點(diǎn))相遇所用時(shí)間是28 5= 5.6(小時(shí)). 比 c 點(diǎn)相遇少用6-5.6=0.4( 小時(shí)). 甲到達(dá) d，和到達(dá) c 點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4 小時(shí)，少走 12 千米，因此甲的速度是12 0.4=30(千米/小時(shí)). 同樣道理，乙的速度是16 0.4=40(千米/小時(shí)). a 到 b 距離是 (30+ 40) 6= 420(

12、千米). 答： a，b 兩地距離是420 千米. 很明顯，例 7 不能簡(jiǎn)單地說成是 “ 相遇問題 ”.例 8 如圖，從 a 到 b 是 1 千米下坡路，從 b 到 c 是 3 千米平路，從 c 到 d 是2.5 千米上坡路 .小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2 千米/小時(shí). 問：(1)小張和小王分別從a， d 同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇? (2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米? 解：(1)小張從 a 到 b 需要 1 6 60= 10(分鐘);小王從 d 到 c 也是下坡，需要2.5 6 6

13、0= 25( 分鐘);當(dāng)小王到達(dá)c 點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了25-10=15( 分鐘)，走了因此在 b 與 c 之間平路上留下3- 1= 2( 千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是2 (4+ 4) 60= 15( 分鐘). 從出發(fā)到相遇的時(shí)間是25+ 15= 40 ( 分鐘). (2)相遇后，小王再走30 分鐘平路，到達(dá) b 點(diǎn)，從 b 點(diǎn)到 a 點(diǎn)需要走1 2 60=30 分鐘，即他再走60 分鐘到達(dá)終點(diǎn) . 小張走 15 分鐘平路到達(dá) d 點(diǎn)，45 分鐘可走小張離終點(diǎn)還有 2.5-1.5=1( 千米). 答：40 分鐘后小張和小王相遇 .小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1 千

14、米. 二、環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān). 例 9 小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500 米的環(huán)形跑道上跑步 .小王的速度是 180 米/分. (1)小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75 秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米 /分? (2)小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王 ? 解：(1 )75 秒-1.25 分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是500 1.25-180=220( 米/分). (2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長(zhǎng) )，因此需要的時(shí)間

15、是500 (220-180)=12.5( 分). 220 12.5 500=5.5( 圈). 答：(1)小張的速度是 220 米/分;(2)小張跑 5.5 圈后才能追上小王 . 例 10 如圖， a、b 是圓的直徑的兩端，小張?jiān)赼 點(diǎn)，小王在 b 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)?c 點(diǎn)第一次相遇， c 離 a 點(diǎn) 80 米;在 d 點(diǎn)第二次相遇， d 點(diǎn)離 b點(diǎn) 6o 米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng) . 解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長(zhǎng);第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3 倍，那么從 a 到

16、d 的距離，應(yīng)該是從 a 到 c 距離的 3 倍，即 a 到 d 是80 3=240( 米). 240-60=180( 米). 180 2=360( 米). 答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360 米. 在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié). 例 11 甲村、乙村相距 6 千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走 (到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后 40 分鐘兩人第一次相遇 .小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2 千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少 ? 解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走

17、了甲、乙兩村間距離的3 倍，因此所需時(shí)間是40 3 60=2(小時(shí)). 從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6 2-2=10( 千米). 小王已走了6+2=8( 千米). 因此，他們的速度分別是小張 10 2=5(千米/小時(shí))，小王 8 2=4(千米/小時(shí)). 答：小張和小王的速度分別是5 千米/小時(shí)和 4 千米/小時(shí). 例 12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回 )，他們?cè)陔x甲村 3.5 千米處第一次相遇，在離乙村2 千米處第二次相遇 .問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇 )? 解：畫示意圖如下 . 第二次相遇兩人已共同

18、走了甲、乙兩村距離的3 倍，因此張走了3.5 3=10.5( 千米). 從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2 千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2=8.5( 千米). 每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2 倍的路程 .第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2) 倍的行程 .其中張走了3.5 7=24.5( 千米)，24.5=8.5+8.5+7.5( 千米). 就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1( 千米). 答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1 千米. 下面仍回到環(huán)行路上的問題. 例 13 繞湖一周是 24 千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以 4 千米/小

19、時(shí)速度每走 1 小時(shí)后休息 5 分鐘;小張以 6 千米/小時(shí)速度每走 50 分鐘后休息 10 分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇? 解：小張的速度是 6 千米/小時(shí)， 50 分鐘走 5 千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：12+15=27 比 24 大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2 小時(shí) 10 分至 3 小時(shí)15 分之間 . 出發(fā)后 2 小時(shí) 10 分小張已走了此時(shí)兩人相距24-(8+11)=5( 千米). 由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5 千米所需時(shí)間是5 (4+6)=0.5( 小時(shí)). 2 小時(shí) 10 分再加上半小時(shí)是2 小時(shí) 40 分. 答：他們相遇時(shí)是出發(fā)

20、后2 小時(shí) 40 分. 例 14 一個(gè)圓周長(zhǎng) 90 厘米， 3 個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3 只爬蟲 a，b，c分別在這 3 個(gè)點(diǎn)上 .它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.a 的速度是 10厘米/秒，b 的速度是 5 厘米/秒，c 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮 b 與 c 這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開始時(shí)，它們相差 30厘米，每秒鐘 b 能追上 c(5-3) 厘米 0. 30 (5-3)=15( 秒). 因此 15 秒后 b 與 c 到達(dá)同一位置 .以后再要到達(dá)同一位置，b 要追上 c 一圈，也就是追上 90 厘米，需要90 (

21、5-3)=45( 秒). b 與 c 到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，105，150，195，再看看 a 與 b 什么時(shí)候到達(dá)同一位置 . 第一次是出發(fā)后30 (10-5)=6( 秒)，以后再要到達(dá)同一位置是a 追上 b 一圈.需要90 (10-5)=18( 秒)，a 與 b 到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，78，96，對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60 秒 3 只爬蟲到達(dá)同一位置 . 答：3 只爬蟲出發(fā)后 60 秒第一次爬到同一位置 . 請(qǐng)思考，3 只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例 15 圖上正方形 abcd 是一條環(huán)形公路 .已知汽車在 ab 上的速度是 90

22、千米/小時(shí)，在 bc 上的速度是 120 千米/小時(shí)，在 cd 上的速度是 60 千米/小時(shí)，在da 上的速度是 80 千米/小時(shí).從 cd 上一點(diǎn) p，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在 ab 中點(diǎn)相遇 .如果從 pc 中點(diǎn) m，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在ab上一點(diǎn) n 處相遇 .求解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè) “ 相遇” ，解題過程就是時(shí)間的計(jì)算 .要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的. 設(shè)汽車行駛 cd 所需時(shí)間是 1. 根據(jù)“ 走同樣距離，時(shí)間與速度成反比” ，可得出分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛 cd，bc，ab，ad

23、所需時(shí)間分別是24，12，16，18. 從 p 點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們?cè)赼b 中點(diǎn)相遇 .pd a與 pc b所用時(shí)間相等 . pc 上所需時(shí)間 -pd 上所需時(shí)間=da 所需時(shí)間 -cb 所需時(shí)間=18-12 =6. 而(pc 上所需時(shí)間 +pd 上所需時(shí)間 )是 cd 上所需時(shí)間 24.根據(jù)“ 和差” 計(jì)算得pc 上所需時(shí)間是 (24+6) 2=15，pd 上所需時(shí)間是 24-15=9. 現(xiàn)在兩輛汽車從 m 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行， m pd an與 m c bn所用時(shí)間相等 .m 是 pc 中點(diǎn).pd an與 c bn時(shí)間相等，就有bn 上所需時(shí)間 -an 上所需時(shí)間=pda所需時(shí)間 -

24、cb 所需時(shí)間=(9+18)-12 = 15. bn 上所需時(shí)間 +an 上所需時(shí)間 =ab 上所需時(shí)間=16. 立即可求 bn 上所需時(shí)間是 15.5，an 所需時(shí)間是 0.5. 從這一例子可以看出，對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單些. 三、稍復(fù)雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn); (2)靈活地運(yùn)用比例 . 例 16 小王的步行速度是4.8 千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4 千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去 .小李騎自行車的速度是10.8 千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們 3 人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5 分鐘，小王又

25、與小李相遇 .問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：圖中 a 點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)b 點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn) .5 分鐘后小王與小李相遇，也就是5 分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了 b 與 a 之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是1.3 (5.4-4.8)60=130( 分鐘). 這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度 10.8 千米/小時(shí)是小張速度 5.4 千米/小時(shí)的 2 倍.因此小李從 a 到甲地需要130 2=6

26、5( 分鐘). 從乙地到甲地需要的時(shí)間是130+65=195( 分鐘)=3 小時(shí) 15 分. 答：小李從乙地到甲地需要3 小時(shí) 15 分. 上面的問題有 3 個(gè)人，既有 “ 相遇” ，又有 “ 追及 ” ，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè) b 點(diǎn)，使我們的思考直觀簡(jiǎn)明些. 例 17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西 .小華問姐姐： “ 是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”? 姐姐算了一下說： “ 如果騎車與步行的速度比是 41，那么從公園門口到目的地的距離超過2 千米時(shí)，回

27、家取車才合算. ”請(qǐng)推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖設(shè) a 是離公園 2 千米處，設(shè)置一個(gè) b 點(diǎn)，公園離 b 與公園離家一樣遠(yuǎn) .如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到b 點(diǎn).現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開始，步行從b 點(diǎn)開始，騎車追步行，能在a 點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行 . 具體計(jì)算如下：不妨設(shè) b 到 a 的距離為 1 個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4 倍，所以從家到 a 的距離是 4 個(gè)單位，從家到 b 的距離是 3 個(gè)單位 .公園到 b 是 1.5 個(gè)單位 .從公園到 a 是1+1.5=2.5( 單位). 每個(gè)單位是20002.5=800( 米)

28、. 因此，從公園到家的距離是800 1.5=1200( 米). 答：從公園門口到他們家的距離是1200 米. 這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請(qǐng)?jiān)倏匆焕?. 例 18 快車和慢車分別從a，b 兩地同時(shí)開出，相向而行.經(jīng)過 5 小時(shí)兩車相遇 .已知慢車從 b 到 a 用了 12.5 小時(shí)，慢車到 a 停留半小時(shí)后返回 .快車到 b 停留1 小時(shí)后返回 .問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：設(shè) c 點(diǎn)是第一次相遇處 .慢車從 b 到 c 用了 5 小時(shí)，從 c 到 a 用了 12.5-5=7.5( 小時(shí)).我們把慢車半小時(shí)行程作為1 個(gè)單位 .

29、b 到 c10 個(gè)單位， c 到 a15 個(gè)單位 .慢車每小時(shí)走 2 個(gè)單位，快車每小時(shí)走3 個(gè)單位 . 有了上面 “ 取單位 ” 準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了. 慢車從 c 到 a，再加停留半小時(shí)，共8 小時(shí).此時(shí)快車在何處呢 ?去掉它在 b 停留 1 小時(shí).快車行駛 7 小時(shí)，共行駛 3 7=21(單位).從 b 到 c 再往前一個(gè)單位到d 點(diǎn).離 a 點(diǎn) 15-1=14( 單位). 現(xiàn)在慢車從 a，快車從 d，同時(shí)出發(fā)共同行走14 單位，相遇所需時(shí)間是14 (2+3)=2.8( 小時(shí)). 慢車從 c 到 a 返回行駛至與快車相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8( 小時(shí)). 答：從第一相遇

30、到再相遇共需10 小時(shí) 48 分. 例 19 一只小船從 a 地到 b 地往返一次共用2 小時(shí).回來時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛 8 千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6 千米.求 a 至 b 兩地距離. 解：1 小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了b 地.我們?cè)赽 之前設(shè)置一個(gè) c 點(diǎn)，是小船逆水行駛1 小時(shí)到達(dá)處 .如下圖第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是c 至b 距離的 2 倍，它等于 6 千米，就知 c 至 b 是 3 千米. 為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8 千米，在圖中再設(shè)置d點(diǎn)，d至 c 是 8 千米.也就是 d 至 a 順?biāo)旭倳r(shí)間是 1 小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了 .d 至 b是 5 千米順?biāo)旭?，與c 至 b 逆水行駛 3 千米時(shí)間一樣多 .因此