小學(xué)數(shù)學(xué)上樓梯問題專項(xiàng)提升

1、中小學(xué)數(shù)學(xué)上樓梯問題專項(xiàng)提升一、規(guī)律解析一個(gè)看似簡單的問題：上樓梯中的數(shù)學(xué)。請(qǐng)問葉子從 1 樓到 3 樓上了幾段樓梯？這個(gè)問題看似特別簡單，但其實(shí)蘊(yùn)含著很重要的數(shù)學(xué)思想。大部分小朋友看見問題就說出了答案是 3 段，但是如果仔細(xì)想想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)哪里出了錯(cuò)。從 1 樓到 2 樓只爬了一段樓梯，從 2 樓到 3 樓又爬了一段樓梯，所以總共爬了兩端樓梯。其實(shí)上樓梯問題它的本質(zhì)依然是兩端植樹問題，以樓層開始，以樓層結(jié)束，所以樓層數(shù)要比段數(shù)多 1 。這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要 1 分鐘，那么從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是 4 分鐘，那么你就錯(cuò)了. 正確的答案應(yīng)該是 3 分鐘。為什么是 3

2、 分鐘而不是 4 分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。例. 某人要到一座高層樓的第 8 層辦事，不巧停電，電梯停開，如從 1 層走到 4 層需要 48 秒，請(qǐng)問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？分析要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還要知道從 4 樓走到 8 樓共走幾層樓梯 . 上一層樓梯需要：48（ 4-1 ） =16 （秒），從 4 樓走到 8 樓共走 8-4=4 （層）樓梯。到這里問題就可以解決了。解：上一層樓梯需要：48（ 4-1 ） =16 （秒）從4 樓走到 8 樓共走： 8- 4=4（層）樓梯還需要的時(shí)間：164=64（秒）答：還需

3、要 64 秒才能到達(dá) 8 層。例：晶晶上樓，從 1 樓走到 3 樓需要走 36 級(jí)臺(tái)階，如果各層樓之間的臺(tái)階數(shù)相同，那么晶晶從第 1 層走到第 6 層需要走多少級(jí)臺(tái)階？分析 要求晶晶從第 1 層走到第 6 層需要走多少級(jí)臺(tái)階，必須先求出每一層樓梯有多少臺(tái)階，還要知道從一層走到 6 層需要走幾層樓梯。從 1 樓到 3 樓有3-1=2 層樓梯，那么每一層樓梯有362=18（級(jí)）臺(tái)階，而從 1 層走到 6 層需要走 6-1=5 （層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。解：每一層樓梯有：36（ 3-1 ） 18（級(jí)臺(tái)階）晶晶從1 層走到 6 層需要走：18（ 6-1 ） =90 （級(jí)）臺(tái)階。答：晶晶從第

4、 1 層走到第 6 層需要走 90 級(jí)臺(tái)階。注：例 1 例 4 所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之處，請(qǐng)同學(xué)們自己去體會(huì). 爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺(tái)階數(shù)=每層樓梯的臺(tái)階數(shù)（所到達(dá)的層數(shù)減起點(diǎn)的層數(shù)）。專項(xiàng)練習(xí)題（1）1. 有一幢樓房高 17 層，相鄰兩層之間都有 17 級(jí)臺(tái)階，某人從 1 層走到 11層，一共要登多少級(jí)臺(tái)階？2. 從 1 樓走到 4 樓共要走 48 級(jí)臺(tái)階，如果每上一層樓的臺(tái)階數(shù)都相同，那么從 1 樓到 6 樓共要走多少級(jí)臺(tái)階？3. 一座樓房每上 1 層要走 16 級(jí)臺(tái)階，到小英家要走 64 級(jí)臺(tái)階，小英家住在幾樓？4. 一列火車共 20 節(jié)，每節(jié)長

5、5 米，每兩節(jié)之間相距 1 米，這列火車以每分鐘 20 米的速度通過 81 米長的隧道，需要幾分鐘？5. 時(shí)鐘 3 點(diǎn)鐘敲 3 下， 6 秒鐘敲完， 12 點(diǎn)鐘敲 12 下，幾秒鐘敲完？6. 某人到高層建筑的 10 層去，他從 1 層走到 5 層用了 100 秒，如果用同樣的速度走到 10 層，還需要多少秒？7.a 、b 二人比賽爬樓梯，a 跑到 4 層樓時(shí)， b 恰好跑到 3 層樓，照這樣計(jì)算， a 跑到 16 層樓時(shí)， b 跑到幾層樓？8. 鐵路旁每隔 50 米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車的速度，測量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第 37 根電線桿共用了 2 分鐘，火車的速度是每秒多少米？參

6、考答案及思路1. 有一幢樓房高 17 層，相鄰兩層之間都有 17 級(jí)臺(tái)階，某人從 1 層走到 11層，一共要登多少級(jí)臺(tái)階？解：從 1 層走到 11 層共走： 11-1=10 （個(gè)）從 1 層走到 11 層一共要走：1710=170（級(jí)）答：從 1 層走到 11 層，一共要登 170 級(jí)臺(tái)階。2. 從 1 樓走到 4 樓共要走 48 級(jí)臺(tái)階，如果每上一層樓的臺(tái)階數(shù)都相同，那么從 1 樓到 6 樓共要走多少級(jí)臺(tái)階？解：每一層樓梯的臺(tái)階數(shù)為：48（ 4-1 ）=16（級(jí)）從 1 樓到 6 樓共走： 6-1=5 （個(gè)）樓梯從 1 樓到 6 樓共走： 165=80（級(jí)）臺(tái)階答：從 1 樓到 6 樓共走

7、80 級(jí)臺(tái)階。3. 一座樓房每上 1 層要走 16 級(jí)臺(tái)階，到小英家要走 64 級(jí)臺(tái)階，小英家住在幾樓？解：到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：6416=4（層），小英家住在：41=5（樓）答：小英家住在樓的第 5 層。4. 一列火車共 20 節(jié)，每節(jié)長 5 米，每兩節(jié)之間相距 1 米，這列火車以每分鐘 20 米的速度通過 81 米長的隧道，需要幾分鐘？解：火車的總長度為：520+1（ 20-1 ）=119（米），火車所行的總路程：11981=200（米），所需要的時(shí)間：20020=10（分鐘）答：需要 10 分鐘。5. 時(shí)鐘 3 點(diǎn)鐘敲 3 下，6 秒鐘敲完， 12 點(diǎn)鐘敲 12 下，幾秒鐘敲完？解

8、：每個(gè)間隔需要：6（3-1 ）=3（秒），12 點(diǎn)鐘敲 12 下，需要 3（ 12-1）=33（秒）答： 33 秒鐘敲完。6. 某人到高層建筑的 10 層去，他從 1 層走到 5 層用了 100 秒，如果用同樣的速度走到 10 層，還需要多少秒？解：每上一層樓梯需要：100（ 5-1 ）=25（秒），還需要的時(shí)間：25（ 10-5 ）=125（秒）答：從 5 樓再走到 10 樓還需要 125 秒。7.a 、b 二人比賽爬樓梯，a 跑到 4 層樓時(shí)， b 恰好跑到 3 層樓，照這樣計(jì)算， a 跑到 16 層樓時(shí)， b 跑到幾層樓？解：由 a 上到 4 層樓時(shí)， b 上到 3 層樓知， a 上 3

9、 層樓梯， b 上 2 層樓梯。那么， a 上到 16 層時(shí)共上了 15 層樓梯，因此 b 上 25=10 個(gè)樓梯，所以 b 上到 101=11（層）。答： a 上到第 16 層時(shí)， b 上到第 11 層樓。8. 鐵路旁每隔 50 米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車的速度，測量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第 37 根電線桿共用了 2 分鐘，火車的速度是每秒多少米？解：火車 2 分鐘共行：50（ 37-1 ）=1800（米）2 分鐘 =120 秒火車的速度：1800120=15（米 / 秒）答：火車每秒行 15 米。附：拓展提高類型（適合學(xué)有余力的同學(xué)）例 1 . 有 一 樓 梯 共8 級(jí) ， 如

10、果 規(guī) 定 每 步 只 能 跨 上 一 級(jí) 或 兩 級(jí) ， 要 登 上8 級(jí) 臺(tái) 階 共 有 _ 種 不 同 走 法 第 一 級(jí) ： 只 跨1 步 ，有1 種 ；第二級(jí)：（1 、 1 ） ， （ 2 ） ， 有 2 種；第三級(jí)：（1 、 1 、 1 ） ， （ 1 、 2 ） ， （ 2 、 1 ）， 有 1 + 2 =3 種；第四級(jí)：（1 、 1 、 1 、 1 ） ， （ 1 、 1 、 2 ） ， （ 2 、 1 、 1 ） ， （ 2 、 2 ） ，（ 1 、 2 、 1 ） ， 有 2 +3 = 5 種；第五級(jí)： 有3 +5 =8 種；可 以 發(fā) 現(xiàn) 從 第 三 次 開 始 ， 后

11、一 種 情 況 總 是 前 兩 種 情 況 的 和 ；所 以 ， 第 六 級(jí) ： 有5 + 8 = 1 3 種 ；第 七 級(jí) ： 有8 + 1 3 = 2 1 種 ；第 八 級(jí) ： 有1 3 + 2 1 = 3 4 種 ；答 ： 要 登 上8 級(jí) 臺(tái) 階 共 有3 4 種 不 同 走 法 故 答 案 為 ：3 4 列表如下：級(jí)數(shù)12345678走法12358132134上面走法部分形成了一個(gè)有規(guī)律的數(shù)列。這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列。如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契（leonardof

12、ibonacci），生于公元 1170 年，卒于 1240 年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202 年，他撰寫了珠算原理一書。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。上面的上樓梯問題可改編為如下兩個(gè)問題。例 2 . 有 8 根火柴，如果規(guī)定每步只能從中取 1 根或 2 根，最后把這8 根 全 部 取 完 共 有 _ 種 不 同 的 取 法 這道題的答案和解法全都和例1 是一樣，仍然得 34 。取一根火柴，相當(dāng)于走了一級(jí)臺(tái)階，取 2 根火柴相當(dāng)于走了二級(jí)臺(tái)階。最后全部取完相當(dāng)于走完了全部的8 級(jí)臺(tái)階。例 3 . 有 一 樓 梯 共8 級(jí) ， 如 果 規(guī) 定 每 步 只 能 跨 上 一 級(jí) 或 兩 級(jí) 或 三 級(jí) ， 要 登 上8 級(jí) 臺(tái) 階 共 有 _ 種 不 同 走法 根據(jù)題意列表如下：級(jí)數(shù)1234567